Laxot képviselve

Lax reprezentáció – az integrálható rendszerek elméletében használatos , a rendszer egyenleteinek reprezentációja Lax-egyenlet formájában egy időfüggő operátorpárra, amelyet Lax-párnak neveznek . Az ilyen ábrázolás előnye, hogy ha lehetséges volt az egyenleteket ilyen formában felírni, akkor automatikusan megkapjuk az első mozgásintegrálok halmazát.

A Lax -pár olyan időfüggő operátorpár , amely egy adott Hilbert-térre hat, és kielégíti a Lax-egyenletet : $L(t),P(t)$

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

Ilyen esetben a mennyiségek (talán nem mind függetlenek) a mozgás első integráljai . $\operatorname {tr} L^{k}$

Az ábrázolást eredetileg Peter Laks javasolta a szolitonok elméletével összefüggésben . Például a Korteweg-de Vries egyenlet :

{\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx))

egy párral ábrázolható:

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+ 3u_{x}\end{igazított}}

A halmaz megszámlálható konzervált mennyiségeket ad. $\operatorname {tr} L^{k}$

Sok más rendszer is felírható Lax-reprezentációként, például a szinusz-Gordon egyenlet , a Toda lánc , a Kovalevskaya top , a Kadomtsev-Petviashvili egyenlet és így tovább.

Irodalom

P. Lax. Nemlineáris evolúciós egyenletek integráljai és magányos hullámok // Kommunikáció a tiszta és alkalmazott matematikáról. - 1968. - T. 21 , sz. 5 . – S. 467–490 . - doi : 10.1002/cpa.3160210503 .
P. Lax, RS Phillips. Az automorf függvények szóráselmélete // Bull. Am. Math. szoc. . - 1980. - T. 2 , szám. 2 .