Toda lánca

A Toda - lánc diszkrét nemlineáris egyenletrendszer , amely az összekapcsolt nemlineáris oszcillátorok dinamikáját írja le . Nagy jelentősége van a kristályrácsok rezgéselméletében .

A rendszer általános esetben a következő formájú [1] :

m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})

ahol az n-edik oszcillátor egyensúlyi helyzettől való eltérését jelenti, és egy nemlineáris függvény , amelynek jelentése az i-edik oszcillátorra ható helyreállító erő. A pontok a differenciálási művelet felvételét jelentik . $r_{n}(t)$ $f(r_{i})$

Először Morikazu Toda javasolta és elemezte az esetet 1967 -ben [2] [3] . $f(t)=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

Egyenértékű forma

Célszerű a Toda-láncegyenletet a következő alak ekvivalens alakjában elemezni

{\pont {s}}_{n}=f(r_{n})

m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}

Döntések

Kimutatható, hogy a Toda-lánc dinamikáját leíró egyenleteknek van megoldása állóhullámok formájában, amelyek alakja

s_{n}=S(\theta )=S(\omega t-pn)

ahol a függvény a , esetben kielégíti az egyenletet $S(\theta )$ $f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

{\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\ theta -p)-S(\theta )

Ennek az egyenletnek a megoldását Jacobi elliptikus függvényekkel fejezzük ki :

S(\theta )=bZ(2K\theta )

ahol

Z(\theta )=E(\theta )-\theta {\frac {E(K)}{K))

a Jacobi-zéta -függvény 2 K periódussal

E(\zeta )=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz

Itt K az első típusú teljes elliptikus integrál . A b együtthatók és a , és m paraméterekkel való kapcsolat meglehetősen bonyolult, de korlátozó esetekben egyszerűsödik. $\omega$ $\alpha$ $\beta$

A függvényt a relációból találjuk meg $r_{n}$

-\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\pont {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\jobbra)

Speciális megoldás a szoliton típusú szoliter lokalizált megoldás. Limitben szerezhető meg , a feltételek egyidejű teljesítésével: $K\to \infty$

2K\omega \to \Omega

2Kp\to P

Ebben az esetben az elliptikus függvények hiperbolikussá válnak, és a megoldás formát ölt

-\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \cosh ^{2}\left[ \Omega t-Pn\jobbra]}}

M. Toda munkáiban megmutatta, hogy ezek a szolitonok nem változtatják meg eredeti formájukat az egymással való kölcsönhatás után. Az evolúció folyamatában minden kezdeti eloszlás sok szolitonra oszlik. A probléma pontos megoldását az inverz szórásos módszerrel [4] [5] kaptuk meg .

Jegyzetek

↑ J. Whitham. Lineáris és nemlineáris hullámok . - Mir, 1977. - S. 554. - 622 p.
↑ Morikazu Toda. Nemlineáris kölcsönhatású lánc vibrációja // J. Phys . szoc. Jpn. . - 1967. - 1. évf. 22 . — P. 431-436 .
↑ Morikazu Toda. Hullámterjedés anharmonikus rácsokban // J. Phys . szoc. Jpn. . - 1967. - 1. évf. 23 . — P. 501-506 .
↑ S. V. Manakov. A teljes integrálhatóságról és sztochasztizálásról diszkrét dinamikus rendszerekben // ZhETF . - 1974. - T. 67 , 2. sz . - S. 543-555 .
↑ H. Flashka. On the Toda lattice II (angol) // Progr. Theor. Phys. . - 1974. - 1. évf. 51 . - P. 703-716 .

Irodalom

Morikazu Toda. Nemlineáris rács tanulmányozása (angol) // Physics Reports . - 1975. - 1. évf. 18 , iss. 1 . - 1-123 . o .
J. Whitham. Lineáris és nemlineáris hullámok . - Mir, 1977. - S. 584-588. — 622 p.