Simplex

A szimplex vagy n - dimenziós tetraéder (a latin simplex 'egyszerű' szóból) egy geometriai alakzat , amely egy háromszög n - dimenziós általánosítása .

Definíció

Egy szimplex (pontosabban egy n -szimplex , ahol az n számot a szimplex dimenziójának nevezzük ) egy ( n vagy nagyobb dimenziójú ) affin térben lévő n  + 1 pont konvex burkai, amelyekről feltételezzük, hogy függetlenek . (azaz ne feküdjenek az n  − 1 dimenziójú altérben). Ezeket a pontokat az [1] [2] szimplex csúcsainak nevezzük .

Egy szimplex a csúcsai összes lehetséges konvex kombinációjának halmazaként jellemezhető : $A_{i}$

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i} =1\jobbra)\ék (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Kapcsolódó definíciók

A nyílt szimplex a csúcsok összes lehetséges baricentrikus kombinációjának halmaza pozitív együtthatókkal (ebben az esetben az előző szakasz definícióját kielégítő, azonos csúcsokkal rendelkező szimplexet zárt szimplexnek is nevezzük; az általános terminológiának megfelelően topológia , a zárt szimplex a megfelelő nyílt szimplex bezárása , ez a nyitott szimplex pedig egy zárt szimplex nyitott kernelje ) [1] [3] .
Egy szimplex váza az összes csúcsának halmaza [4] .
Egy szimplex élei a csúcsait összekötő szakaszok [5] .
Egy szimplex s dimenziójú lapjait s -dimenziós egyszerűségnek nevezzük , amelyek vázai az eredeti szimplex vázának részhalmazai [6] .
Egy szimplexről akkor beszélünk , ha a magja egy jól rendezett halmaz ; Feltételezzük, hogy az egymástól a csúcsok egyenletes permutációjával eltérõ sorrendek ugyanazt az orientációt határozzák meg (az orientált 0 szimplex egy olyan pont, amelyhez egy jel van hozzárendelve: „plusz” vagy „mínusz”) [6] [7 ] .
Az euklideszi térben fekvő szimplexet szabályosnak nevezzük, ha minden éle azonos hosszúságú [8] .

Szabványos szimplex

A szabványos n - szimplex az aritmetikai tér egy részhalmaza , amelyet a következőképpen határoz meg: [9] $\mathbb {R} ^{n+1}$

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1 \right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Csúcsai pontok [9]

e 0 = (1, 0, …, 0), e 1 = (0, 1, …, 0), … e n = (0, 0, …, 1).

Létezik egy kanonikus egy-egy leképezés egy szabványos n szimplexről bármely más n - simplex Δ -re csúcskoordinátákkal : $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$

(t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

A szimplex Δ adott pontjának értékeit baricentrikus koordinátáinak nevezzük [3] . $t_{i}$

Tulajdonságok

Az n -dimenziós szimplexnek vannak csúcsai, amelyek bármelyike k - dimenziós lapot alkot . $n+1$ $k+1$
- Konkrétan, egy
n- szimplexben a k -dimenziós lapok száma egyenlő a binomiális együtthatóval ${\tbinom {n+1}{k+1)).$
Konkrétan, a legnagyobb dimenziójú lapok száma egybeesik a csúcsok számával, és egyenlő . $n+1$

Egy n szimplex orientált térfogata n dimenziós euklideszi térben a képlettel határozható meg

V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0 }).

A Cayley-Menger determináns lehetővé teszi egy szimplex térfogatának kiszámítását az élek hosszának ismeretében: $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1 \\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\pontok &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\pontok &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\pontok &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\dpontok &\vpontok \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\pontok &0\\\end{vmátrix}},$

ahol az i - edik és a j -edik csúcs közötti távolság, n a tér mérete . Ez a képlet a Heron-képlet általánosítása a háromszögekre.

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

Az egységoldalas szabályos n -szimplex térfogata . ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$

A leírt n - dimenziós gömb sugara kielégíti az összefüggést $R$ $(R\cdot V)^{2}=T,$

hol a szimplex térfogata, és

V

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{ 2}&d_{02}^{2}&\pontok &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\pontok &d_{1n}^{2} \\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\pontok &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0 }^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\pontok &0\\\end{vmatrix}}.

Épület

Ha egy tér mérete n , akkor a hipersík bármelyik n pontján keresztül megrajzolható , és vannak n + 1 pontból álló halmazok,  amelyeken keresztül a hipersíkot nem lehet megrajzolni. Így n  + 1 az olyan pontok minimális száma az n - dimenziós térben , amelyek nem ugyanazon a hipersíkon helyezkednek el; ezek a pontok egy n - dimenziós poliéder csúcsaiként szolgálhatnak [10] .

A legegyszerűbb , n  + 1 csúcsú n - dimenziós poliédert szimplexnek nevezzük (az " n - dimenziós tetraéder " elnevezés is elfogadott). Alacsonyabb dimenziójú terekben ez a meghatározás a következő ábráknak felel meg [11] :

0-simplex ( pont ) — 1 csúcs;
1 szimplex ( szegmens ) — 2 csúcs;
2 szimplex ( háromszög ) - 3 csúcs;
3 szimplex ( tetraéder ) - 4 csúcs.

Mindezek az ábrák három közös tulajdonsággal rendelkeznek.

A definíció szerint az egyes figurák csúcsainak száma eggyel több, mint a térdimenzió.
Van egy általános szabály az alacsonyabb dimenziójú egyszerűségek magasabb dimenziós egyszerűsítésekké alakítására. Abból áll, hogy a szimplex valamely pontjáról olyan sugarat rajzolnak , amely nem ennek a szimplexnek affin héjában van , és ezen a sugáron egy új csúcsot választanak, amelyet élek kötnek össze az eredeti összes csúcsával. szimplex.
A 2. bekezdésben leírt eljárásból következik, hogy a szimplex bármely csúcsát élek kötik az összes többi csúcshoz.

Leírt gömb

Egy n - gömb leírható bármely n - szimplex körül az euklideszi térben .

Bizonyíték

Egy szimplex esetében ez az állítás nyilvánvaló. A leírt 1-gömb két egyenlő távolságra lévő pont lesz a szakasz középpontjától, egybeesik a szakasz végeivel, sugara pedig R = a /2 lesz. Adjunk hozzá még egy pontot az 1 szimplexhez, és próbáljunk meg leírni egy 2-gömböt körülöttük.

Megszerkesztünk egy a /2 sugarú s 0 2 gömböt úgy, hogy az AB szakasz az átmérője . Ha a C pont az s 0 körön kívül van , akkor a kör sugarának növelésével és a C pont felé tolásával biztosítható, hogy mindhárom pont a körön legyen. Ha a C pont az s 0 körön belül van , akkor a kört e pont alá illeszthetjük úgy, hogy növeljük a sugarát és a C ponttal ellentétes irányba toljuk el. Amint az ábrán látható, ez minden esetben megtehető, ha a C pont nem egy egyenesen fekszik az A és B ponttal . A C pontnak az AB szakaszhoz viszonyított aszimmetrikus elhelyezkedése sem akadály .

Az általános esetet figyelembe véve tegyük fel, hogy létezik egy r sugarú ( n  − 1)-gömb S n −1 , körülírva valamilyen ( n −1)-dimenziós alakzatot. Helyezze a gömb középpontját a koordináták origójába. A gömbegyenlet így fog kinézni

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pontok +x_{n-1}^{2}=r^{2}. \qquad(1)

Szerkesszünk egy n - gömböt, amelynek középpontja a (0, 0, 0, ... 0, h S ) pontban van, és sugara R , és

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Ennek a gömbnek az egyenlete

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pontok +x_{n-1}^{2}+(x_{n}- h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

vagy

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pontok +x_{n-1}^{2}=r^{2}- x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Ha x n = 0-t behelyettesítünk a (2) egyenletbe, megkapjuk az (1) egyenletet. Így bármely h S esetén az S n −1 gömb az S n gömb részhalmaza , nevezetesen annak az x n = 0 sík általi metszete .

Tegyük fel, hogy a C pontnak vannak koordinátái ( x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Alakítsuk át a (2) egyenletet alakra

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\pontok +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{ 2}=r^{2}+2x_{n}ó_{S}

és helyettesítsd be a C pont koordinátáit :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\pontok +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{ 2}=r^{2}+2X_{n}ó_{S}.

A bal oldali kifejezés az origó és a C pont közötti RC távolság négyzete, ami lehetővé teszi , hogy az utolsó egyenletet a formába hozzuk.

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}ó_{S},

honnan tudjuk a h S paramétert kifejezni :

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Nyilvánvalóan h S létezik bármely R C , X n és r esetén, kivéve X n = 0. Ez azt jelenti, hogy ha a С pont nem az S n −1 gömb síkjában fekszik , mindig találhatunk egy h paramétert. S úgy, hogy a (0, 0, 0, ..., h S ) középpontú S n gömbön az S n −1 gömb és a C pont is feküdjön . Így egy n -gömb leírható bármely n  + 1 pont körül, ha ezek közül n pont ugyanazon az ( n  − 1) -gömbön található, és az utolsó pont nem velük ugyanabban az ( n  − 1) - repülőgép.

Az indukcióval érvelve vitatható, hogy egy n -gömb bármely n + 1 pont körül leírható  , amennyiben azok nem ugyanabban az ( n  − 1)-síkban helyezkednek el.

Egy szimplex lapjainak száma

Egy szimplexnek n  + 1 csúcsa van, amelyek mindegyike élekkel kapcsolódik az összes többi csúcshoz.

Mivel egy szimplex minden csúcsa össze van kötve, a csúcsok bármely részhalmaza ugyanazzal a tulajdonsággal rendelkezik.  Ez azt jelenti, hogy egy szimplex L + 1 csúcsának bármely részhalmaza meghatározza annak L -dimenziós lapját, és ez az oldal maga is L -szimplex. Ekkor egy szimplex esetén az L - dimenziós lapok száma megegyezik azzal, hogy hány módon választhatunk L  + 1 csúcsot az összes n  + 1 csúcshalmazból.

Jelölje K ( L , n ) szimbólummal egy n - politóp L -dimenziós lapjainak számát; akkor az n - szimplexre

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

ahol az n -től k -ig terjedő kombinációk száma . ${\displaystyle C_{n}^{k))$

Különösen a legnagyobb dimenziójú lapok száma egyenlő a csúcsok számával, és egyenlő n  + 1-gyel:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Relációk a reguláris szimplexben

Szabályos n - dimenziós szimplex esetén a következőket jelöljük:

$a$ - oldalhossz;
$H_n$ - magasság;
$V_{n}$ - hangerő;
$R_n$ a körülírt gömb sugara;
$r_{n}$ a beírt gömb sugara;
$\alpha_{n}$ - kétszögű szög .

Akkor

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^ {n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$ [nyolc]
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
${\displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2))$

Képletek egy szabályos szimplexhez

L-dimenziós lapok száma	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Magasság	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n))}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Hangerő	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!)}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n} } }$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
A körülírt gömb sugara	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n))}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
A beírt gömb sugara	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)))}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Kétszögű szög	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$

Szimplexek a topológiában

A topológiai szimplex egy topológiai tér olyan részhalmaza , amely homeomorf valamilyen affin tér szimplexével (vagy ezzel egyenértékűen a megfelelő dimenzió standard szimplexével). A topológiai szimplex koncepciója az egyszerűsített komplexek elméletének alapja (az egyszerűsített komplex egy topológiai tér, amely topológiai egyszerűségek uniójaként reprezentálódik, és amelyek egy adott tér háromszögletét alkotják) [12] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Aleksandrov és Pasynkov, 1973 , p. 197-198.
↑ Zalgaller V. A. . Simplex // Matematikai enciklopédia. T. 4 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Levéltári példány 2022. január 21-én a Wayback Machine -nél - 1216 stb. - Stb. 1151.
↑ 1 2 Aleksandrov, 1968 , p. 355.
↑ Alekszandrov és Paszinkov, 1973 , p. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 211.
↑ 1 2 Baladze D. O. . Komplex // Matematikai enciklopédia. Vol. 2 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Levéltári példány 2012. november 20-án a Wayback Machine -nél - 1104 stb. - Stb. 995-1101.
↑ Rudin U. . A matematikai elemzés alapjai. 2. kiadás — M .: Mir , 1976. — 319 p. - S. 257-258.
↑ 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . A szabályos n -Simplex diéderszögének elemi számítása // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). - P. 756-758. - doi : 10.2307/3072403 .
↑ 1 2 Kostrikin és Manin, 1986 , p. 200-201.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 353-355.
↑ Kostrikin és Manin, 1986 , p. 201.
↑ Khokhlov A. V. . Egyszerű tér // Matematikai enciklopédia. T. 4 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Levéltári példány 2022. január 21-én a Wayback Machine -nél - 1216 stb. - Stb. 1168.

Irodalom

P. S. Alekszandrov . kombinatorikus topológia. - M. - L .: GITTL , 1947. - 660 p.
P. S. Alekszandrov . Előadások az analitikus geometriáról. — M .: Nauka , 1968. — 912 p.
P. S. Aleksandrov , B. A. Pasynkov. Bevezetés a dimenzióelméletbe. Bevezetés a topológiai terek elméletébe és az általános dimenzióelméletbe. — M .: Nauka , 1973. — 576 p.
V. G. Boltyansky . Különálló rendszerek optimális vezérlése. — M .: Nauka , 1973. — 448 p.
A. I. Kostrikin , Yu. I. Manin . Lineáris algebra és geometria. 2. kiadás — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
L. S. Pontryagin . A kombinatorikus topológia alapjai. - M. - L .: GITTL , 1947. - 142 p. - S. 23-31.

Linkek

Simplex - cikk a Nagy Szovjet Enciklopédiából .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika