Pszeudoszkaláris termék

A vektorok pszeudoszkaláris [1] vagy ferde szorzata egy síkon egy szám $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \theta ,

ahol a forgási szög (az óramutató járásával ellentétes irányban) -tól -ig . Ha legalább az egyik vektor nulla , akkor . Geometriailag a vektorok pszeudoszkaláris szorzata a paralelogramma orientált területe, amelyet ezek a vektorok fednek le. Segítségével kényelmes a sokszögek területeivel dolgozni, kifejezni a vektorok kollinearitási feltételeit és megtalálni a köztük lévő szögeket. $\theta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0$

A pszeudoszkaláris szorzat csak a 2-dimenziós vektoroknál létezik, a 3D térbeli megfelelője a hárompontos szorzat .

Tulajdonságok

Linearitás : Itt tetszőleges valós számok vannak . $\mathbf {a} \wedge (\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} )=\lambda \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mu \mathbf {a} \wedge \mathbf {c} .$ $\lambda$ $\mu$
Antikommutativitás : . $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a}$
$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ pszeudoszkaláris , azaz invariáns minden olyan nem degenerált izometria alatt, amely nem tartalmaz reflexiókat.
A pszeudoskaláris szorzat a paralelogramma orientált területe, amelyet a vektorok és a . $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$
- A pszeudoszkaláris szorzat abszolút értéke egy ilyen paralelogramma
területe . $|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} |$
A háromszög orientált területét a képlet fejezi ki $\háromszög ABC$ $S(A,B,C)={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}),$

és területe tehát egyenlő ennek a mennyiségnek a modulusával.

Ha egy síkot tekintünk a háromdimenziós térben, akkor

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\pm (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} ,

ahol « » és « » a vektor és a skaláris szorzat , és a sík normáljának egységvektora. A pluszjelet akkor vesszük fel, ha a síkon a megfelelő bázis a vektorral kiegészítve szintén megfelelő bázist képez; egyébként mínusz.

\szor

\ \cdot

\mathbf {n}

\mathbf {n}

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\mathbf {0}$ szükséges és elégséges feltétele a nem nulla vektorok kollinearitása a síkon. A nullvektort általában minden más vektorra merőlegesnek tekintik a kényelem érdekében a gyakoribb pontszorzattal , bár ez egy tetszőleges megegyezés.
A linearitásból és az antikommutativitásból következik, hogy ha a síkon adott egy ortonormális bázis és két vektor koordinátákkal , akkor ezek pszeudoszkaláris szorzata egyenlő a determinánssal. $\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle ,~~\angle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2 })={\tfrac {\pi }{2)),$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}),~~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}),$

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix))

Ez a kifejezés a Levi-Civita szimbólummal is felírható két dimenzióban:

{\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\sum _{i,\;j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j))

Lásd még

Jegyzetek

↑ Prasolov V.V. , Feladatok a planimetriában. Archív példány 2011. november 16-án a Wayback Machine -nél - 4. kiadás, kiegészítve - M .: MTSNMO, 2001. - 584 p. ; ISBN 5-900916-82-0 .

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb