Kollinearitás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Kollinearitás ( lat. col - kompatibilitás és lat. linearis - lineáris ) - a vektorok párhuzamosságának összefüggése : két nullától eltérő vektort akkor nevezünk kollineárisnak, ha párhuzamos egyeneseken vagy egy egyenesen fekszenek [1] . Tételezzünk fel egy szinonimát - "párhuzamos" vektorok.

A kollineáris vektorok irányulhatnak ugyanabba az irányba ("társirányban") vagy ellentétes irányban (ez utóbbi esetben néha "antikollineárisnak" vagy "antiparallelnek" nevezik őket).

A fő megnevezés: ; az egyirányú kollineáris vektorokat , ellentétes irányú - . Ha nem egyenlőek ${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}$ ${\vec {a}}\upuparrows {\vec {b}}$ ${\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}$

Tulajdonságok

A kollineáris reláció reflexív ( ). ${\vec {a}}||{\vec {a}}$
A kollinearitási reláció szimmetrikus ( ). ${\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}$
A nem nulla vektorok kollinearitási relációja tranzitív : ha és , akkor . ${\vec {a}}||{\vec {b}},\ {\vec {b}}||{\vec {c}}$ ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ ${\vec {a}}||{\vec {c}}$
A nulla vektor kollineáris bármely vektorral.
Két vektor akkor és csak akkor lineárisan függ , ha kollineáris.
Ha és , akkor van olyan valós szám , hogy (ráadásul , ha a vektorok együtt irányítottak, és ha ellentétesek). Ez az arány a kollinearitás kritériumaként is szolgálhat. ${\vec {a}}||{\vec {b}}$ ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ $\lambda$ ${\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}\;$ $\lambda>0$ $\lambda < 0$
A kollineáris vektorpárt tartalmazó vektorok hármasa koplanáris .
A síkon lévő vektorok akkor és csak akkor kollineárisak, ha pszeudoszkaláris szorzatuk 0. A síkon két nem-kollineáris vektor és képez bázist . Ez azt jelenti, hogy bármely vektor ábrázolható: . Ekkor lesznek a koordináták az adott alapon. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}$ $\;\{x_{1},x_{2}\}$ ${\vec {c}}$
A kollineáris vektorok skaláris szorzata egyenlő hosszuk szorzatával (mínusz előjellel vesszük, ha a vektorok ellentétes irányúak).
A kollineáris vektorok keresztszorzata egyenlő 0-val – a kollinearitás szükséges és elégséges feltétele .

Általánosítások

A kollinearitási kritériumok lehetővé teszik, hogy meghatározzuk ezt a fogalmat a nem geometriai értelemben vett vektorokra, hanem egy tetszőleges lineáris tér elemeiként .

Néha kollineáris pontokat hívnak, amelyek egy egyenesen helyezkednek el [1] .

Jegyzetek

↑ 1 2 A.B. Ivanov. Kollineáris vektorok // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : ill. — 150.000 példány.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb