Szabályos sokszög

szabályos sokszög
Szabályos nyolcszög
Típusú	Poligon
Schläfli szimbólum	${\displaystyle \{n\))$
Egyfajta szimmetria	diédercsoport $(\mathrm {D} _{5})$
Négyzet	$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\operátornév {ctg} {\frac {\pi }{n}}$
Belső sarok	${\displaystyle (n-2)*180^{\circ ))$
Tulajdonságok
konvex , beírt , egyenlő oldalú , egyenlő szögű , izotoxális
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A szabályos sokszög olyan konvex sokszög , amelyben minden oldal és a szomszédos oldalak közötti szögek egyenlőek.

A szabályos sokszög meghatározása függhet a sokszög definíciójától : ha lapos zárt szaggatott vonalként van definiálva, akkor a szabályos csillagsokszög definíciója nem konvex sokszögként jelenik meg , amelyben minden oldal egyenlő másik és minden szög egyenlő egymással.

Kapcsolódó definíciók

Egy szabályos sokszög középpontját tömegközéppontjának nevezzük , amely egybeesik a beírt és körülírt köreinek középpontjával.

Egy szabályos sokszög középső szögét a körülírt kör középső szögének nevezzük , az oldala alapján. A szabályos -gon középponti szögének értéke . [1] [2] $n$ ${\frac {2\pi }{n}}$

Tulajdonságok

Koordináták

Legyen és a középpont koordinátái, és legyen a szabályos sokszög körül leírt kör sugara , legyen az első csúcs középponthoz viszonyított szögkoordinátája , akkor a szabályos n-szög csúcsainak derékszögű koordinátáit határozzuk meg. a képletekkel: $x_{C}$ $y_{C}$ $R$ ${\phi }_{0}$

x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\jobb)

y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\jobbra)

ahol az értékeket veszi át -tól -ig . $én$ $0$ $n-1$

Méretek

Legyen a szabályos sokszög köré körülírt kör sugara , akkor a beírt kör sugara egyenlő $R$

r=R\cos {\frac {\pi }{n))

a sokszög oldalhossza pedig az

a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r{\mathop {{\mathrm {tg}}}}\,{\frac {\pi }{n}}

Terület

Egy szabályos sokszög területe az oldalak számával és oldalhosszával : $n$ $a$

S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\operátornév {ctg}{\frac {\pi }{n}}

A sugarú körbe írt oldalszámú szabályos sokszög területe: $n$ $R$

S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}

Egy szabályos sokszög területe, amelynek oldalai száma egy sugarú kör körül van: $n$ $r$

S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg))))\,{\frac {\pi }{n))

Egy szabályos sokszög területe az oldalak számával $n$

S={\frac {nra}{2}}={\frac {1}{2}}Pr

ahol a sokszög beírt körének sugara, oldalának hossza és kerülete. $r$ $a$ $P$

Kerület

Ha ki kell számítanunk egy körbe írt szabályos n-szög oldalának hosszát, a kör hosszának ismeretében kiszámolhatjuk a sokszög egyik oldalának hosszát: $a_n$ $L$

a_n

egy szabályos n-szög oldalának hossza.

a_{n}=\sin {\Big (}{\frac {\pi }{n}}{\Big )}\cdot {\frac {L}{\pi }}

A kerület az $P_{n}$

P_{n}=a_{n}\cdot n

ahol a sokszög oldalainak száma. $n$

Szabályos sokszögek átlóinak tulajdonságai

Egy szabályos -szög átlóinak maximális száma, amelyek egy olyan pontban metszik egymást, amely nem a csúcsa vagy középpontja: $n$
- $2$ , ha páratlan ; $n$
- $3$ , ha páros , de nem osztható -vel ; $n$ $6$
- $5$ , ha osztható -vel, de nem osztható -val ; $n$ $6$ $30$
- $7$ ha osztható vele $n$ $30$

Csak három kivétel van: ez a szám egyenlő egy háromszögben , egy hatszögben és egy kétszögben . [3] .

0

2

négy

Páros esetén az átlók a sokszög közepén metszik egymást .

n

n/2

Vezessünk be egy függvényt , amely egyenlő , ha osztható -vel , és egyenlő ellenkező esetben. Akkor: $\delta _{m}(n)$ $egy$ $n$ $m$ $0$

A szabályos -gon átlóinak metszéspontjainak száma az $n$

{\begin{array}{l}C_{n}^{4}+\left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24\right)/24\cdot \delta _ {2}(n)-(3n/2)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-45n^{2}+262n\right)/6\cdot \delta _{6 }(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+\\+35n\cdot \delta _{24}(n)-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-\\-144n\cdot \delta _{84}(n )-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}

Hol van a kombinációk száma a [ 3] szerint .

{\displaystyle C_{n}^{4))

n

négy

Azon részek száma, amelyekre egy szabályos -gon osztja az átlóit $n$

{\begin{array}{l}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24\right)/24+\\+\left(-5n ^{3}+42n^{2}-40n-48\jobbra)/48\cdot \delta _{2}(n)-(3n/4)\cdot \delta _{4}(n)+\\ +\left(-53n^{2}+310n\right)/12\cdot \delta _{6}(n)+(49n/2)\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \ delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n) -190n\cdot \delta _{60}(n)-\\-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{ 120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{tömb}}

[3] .

Alkalmazás

A szabályos sokszögek definíció szerint a szabályos poliéderek lapjai .

Az ókori görög matematikusok ( Antiphón , Héraklész Brysonja , Arkhimédész stb.) szabályos sokszögeket használtak a π szám kiszámításához . Kiszámolták a körbe írt sokszögek területét és körülírták, fokozatosan növelve oldalaik számát, és így becsülték meg a kör területét. [négy]

Történelem

A matematikusok számára egészen a 19. századig problémát jelentett egy szabályos sokszög építése, amelynek oldalai iránytűvel és egyenes éllel vannak ellátva . Egy ilyen konstrukció megegyezik a kör egyenlő részekre való felosztásával, mivel a kört részekre osztó pontok összekapcsolásával megkaphatja a kívánt sokszöget. $n$ $n$

Eukleidész " Elvek " című művében szabályos sokszögek felépítésével foglalkozott a IV. könyvben, megoldva a problémát . Ezenkívül már meghatározta a sokszögek felépítésének első kritériumát: bár ez a kritérium nem hangzott el az "Elvek"-ben, az ókori görög matematikusok képesek voltak oldalakat tartalmazó sokszöget (egy egésszel ) megszerkeszteni, miután már sokszöget építettek. az oldalak számával : az ív két részre bontásának lehetőségével két félkörből négyzetet építünk , majd szabályos nyolcszöget , szabályos hatszöget stb. Ezenkívül ugyanabban a könyvben Eukleidész a második szerkesztési kritériumot is megjelöli: ha ismert, hogyan kell sokszöget szerkeszteni mindkét oldallal és és a koprímszámmal , akkor lehetséges egy sokszög szerkesztése oldalakkal. Ezt úgy érjük el, hogy egy oldalas sokszöget és egy oldalsó sokszöget úgy készítünk, hogy egy körbe legyenek beírva, és legyen egy közös csúcsuk - ebben az esetben ezeknek a sokszögeknek néhány két csúcsa a -gon szomszédos csúcsa lesz. E két módszert szintetizálva arra a következtetésre juthatunk, hogy az ókori matematikusok képesek voltak szabályos sokszögeket építeni -val és oldalakkal bármely nem-negatív egész számhoz . $n=3,4,5,6,15$ $2^{m}$ $m>1$ $2^{m-1}$ $r$ $s$ $r$ $s$ $r\cdot s$ $s$ $r$ $rs$ $2^{m}\cdot 3$ $2^{m}\cdot 5$ $2^{m}\cdot 3\cdot 5$ $m$

A középkori matematika szinte semmit sem ért el ebben a kérdésben. Carl Friedrich Gaussnak csak 1796 -ban sikerült bebizonyítania, hogy ha egy szabályos sokszög oldalainak száma megegyezik a Fermat-prímszámmal , akkor az iránytű és vonalzó segítségével megszerkeszthető. Ma a következő Fermat-prímek ismertek: . Az egyéb ilyen számok meglétének vagy hiányának kérdése nyitva marad. Konkrétan Gauss volt az első, aki bebizonyította a szabályos -gon építésének lehetőségét, és élete végén hagyatékosan kiütötte a sírkövére, de a szobrász nem volt hajlandó ilyen nehéz munkát elvégezni. [5] $3,5,17,257,65537$ $17$

Gauss eredményéből rögtön az is következett, hogy szabályos sokszög szerkeszthető, ha oldalainak száma egyenlő -val , ahol egy nemnegatív egész szám, és páronként különálló Fermat-prímszámok. Gauss gyanította, hogy ez a feltétel nemcsak elégséges, hanem szükséges is, de ezt először Pierre-Laurent Wantzel bizonyította 1836 - ban . A két eredményt egyesítő végső tételt Gauss-Wanzel-tételnek nevezzük . $2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}$ ${k}$ ${p_{j}}$

A szabályos sokszögek felépítésének legújabb eredményei a 17- , 257- és 65537- szögek explicit konstrukciói . Az elsőt Johannes Erchinger találta meg 1825 -ben , a másodikat Friedrich Julius Richelot 1832 - ben , az utolsót pedig Johann Gustav Hermes 1894 - ben .

Lásd még

szabályos poliéder

Jegyzetek

↑ MATVOX
↑ treugolniki.ru . Letöltve: 2020. május 12. Az eredetiből archiválva : 2020. július 2. (határozatlan)
↑ 1 2 3 Bjorn Poonen és Michael Rubinstein "Egy szabályos sokszög átlói által alkotott metszéspontok száma" . Letöltve: 2020. július 16. Az eredetiből archiválva : 2020. július 17. (határozatlan)
↑ A. V. Zsukov. A pi számról. — M.: MTsNMO, 2002. ISBN 5-94057-030-5 .
↑ Labuda

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

Helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még