Pitagorasz mozaik

A Pitagorasz -csempészet ( két négyzetes csempe ) az euklideszi sík két különböző méretű négyzetekkel történő burkolása , amelyben minden négyzet négy különböző méretű négyzetet érint a négy oldalával. E mozaik alapján (intuitív módon) be lehet bizonyítani a Pitagorasz-tételt [2] , amelyre a mozaikot Pitagorasznak [1] nevezték el . A mozaikot gyakran használják csempézett padló mintázatként . Ebben az összefüggésben a csempézést osztálymintának is nevezik [3] .

Topológia és szimmetria

A Pythagorean burkolás az egyetlen olyan burkolólap, amelyben két különböző méretű négyzet található, amelyben nincs két négyzetnek közös oldala, ugyanakkor bármely két azonos méretű négyzet egymáshoz leképezhető a burkolás szimmetriájával [ 4] .

Topológiailag a Pythagore-i csempe felépítése megegyezik a négyzetek és szabályos nyolcszögek csonka négyzetes burkolásával [5] . A Pythagore-i csempe kisebb négyzetei négy nagy csempével szomszédosak, csakúgy, mint a csonka négyzetlapok négyzetei, míg a Pitagorasz-csempészetben a nagyobb négyzetek nyolc szomszéddal szomszédosak, felváltva nagyok és kicsik, csakúgy, mint a csonka csempék nyolcszögei. négyzet alakú csempézés. A két burkolólap szimmetriája azonban eltérő – a csonka négyzet alakú burkolólapok kétszögletes szimmetriájúak az egyes csempék közepe körül, míg a Pitagorasz-csempe kisebb ciklikus szimmetriakészlettel rendelkezik a megfelelő pontok körül, ami p4 szimmetriát képez [6] . A mozaik királis , ami azt jelenti, hogy nem nyerhető ki a tükörképből csak párhuzamos fordításokkal és forgatásokkal.

Az egységes  csempézés olyan burkolólap, amelyben minden lapka szabályos sokszög, és amelyben van egy szimmetria, amely bármely csúcsot bármely másik csúcshoz leképez. Általában egyenletes burkolásra van szükség ahhoz, hogy a csempék egymáshoz érjenek, de ha ez a korlátozás megszűnik, akkor nyolc további egységes csempe lesz – négy végtelen négyzetcsíkból vagy szabályos háromszögből, három pedig szabályos burkolatból van kialakítva. háromszögek és szabályos hatszögek, a nyolcadik pedig a Pitagorasz-mozaik [7] .

A Pitagorasz-tétel és vágások

A mozaikot Pythagorean-nak nevezik, mert a 9. századi arab matematikusok , An-Nairizi és Thabit ibn Qurra , a 19. században pedig Henry Perigal brit amatőr matematikus használták a Pitagorasz-tétel bizonyítására [1] [8] [9] . Ha két mozaikot alkotó négyzet oldalait és betűkkel jelöljük , akkor az azonos négyzetek megfelelő pontjai közötti legközelebbi távolság a következő lesz , ahol egy olyan derékszögű háromszög befogójának hossza, amelynek lábai egyenlők és . Például a bal oldali képen a Pitagorasz csempék két négyzete 5 és 12 egység hosszúságú, a ráhelyezett négyzet burkolólap oldalának hossza (piros vonalak) pedig 13, ami a Pythagorean hármasának (5 ) felel meg. ,12,13).

Ha egy Pitagorasz csempére felhelyezünk egy oldalsó négyzetrácsot, akkor két és oldalú, egyenlőtlen négyzet öt részre vágható , amelyből négyzetet készíthetünk oldallal , ez azt mutatja, hogy a két kisebb négyzet teljes területe megegyezik a nagy négyzet területével. Ugyanígy két Pitagorasz-csempe szuperpozíciójával két egyenlőtlen négyzet hat részre vágható, amelyből két másik egyenlőtlen négyzet is hozzáadható [8] [10] .

Időszakos szakaszok

Bár maga a pitagoraszi csempézés periodikus ( párhuzamos fordítások négyzetrácsa van ), metszetei felhasználhatók egydimenziós, nem periodikus sorozatok kialakítására [11] .

Az aperiodikus sorozatok "blokkkonstrukciójában" egy Pitagorasz-mozaik két négyzetből épül fel, amelyek oldalhosszának aránya irracionális (egyenlő -vel ). Ebben az esetben a négyzetek oldalaival párhuzamos egyenest választunk, és a bináris értékek sorozatát állítjuk elő attól függően, hogy a négyzet melyik négyzetet metszi - a 0 a nagyobb négyzet metszéspontjának felel meg, az 1 pedig. a kisebb tér metszéspontjához. Ebben a sorozatban a nullák és egyesek előfordulásának aránya relációban van . Ezt az arányt nem kaphatjuk meg nullák és egyesek periodikus sorozatával, mivel irracionális [11] .

Ha minőségnek az aranymetszést választja , akkor az így képzett nullák és egyesek sorozata ugyanolyan rekurzív szerkezetű, mint a Fibonacci szó  - "01" és "0" formájú részkarakterláncokra bontható ( azaz két egymást követő nélkül ) és ha ezt a két részstringet egymás után rövidebb "0" és "1" karakterláncokra cseréljük, akkor egy másik, azonos szerkezetű karakterláncot kapunk [11] .

Kapcsolódó eredmények

Keller sejtése szerint a sík azonos négyzetekkel történő bármilyen csempézettjének tartalmaznia kell két olyan négyzetet, amelyek éltől élig érintkeznek [12] . A Pythagore-i csempékben nincs két négyzet, amely éltől élig érinti [4] , de ez a tény nem sérti Keller sejtését, mivel nem minden négyzet egyforma.

A Pitagorasz-csempézés általánosítható háromdimenziós euklideszi térre , mint két különböző méretű, hasonló módon érintkező kockák burkolása. Bölcskey Attila az ilyen háromdimenziós tesszellációkat Rogers csempézésnek nevezi . Azt javasolta, hogy minden háromnál nagyobb dimenzióban van egy egyedülálló módszer egy két különböző méretű hiperkocka tér tesszellálására, amelyek tulajdonságai hasonlóak a fent leírtakhoz (nincs két hiperkockának közös oldala, és bármely két azonos méretű hiperkocka leképezhető egymáshoz burkolási szimmetriával) [13] [14] .

Burns és Rigby talált néhány prototilt , köztük a Koch-hópehelyet , amelyek segítségével egy repülőgépet két vagy több különböző méretű másolattal lehet tesszelálni [15] [16] . Danzer, Grünbaum és Shepard egy korábbi tanulmánya egy másik példát ad, egy domború ötszöget, amely csak két dimenzió kombinációjában tesszelálja a síkot [17] . Bár a Pythagorean csempézése két különböző méretű négyzetet használ, a négyzetek nem ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a feltüntetett prototilok, amelyek csak két (vagy több) különböző méretű csempével burkolhatók, mivel a sík csempézhető a ugyanaz a méret.

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 Nelsen, 2003 , p. 5–8.
2. ↑ Wells, 1991 , p. 260–261.
3. ↑ Hopscotch: Ez több, mint egy gyerekjáték. — Tile Inc., 2008. augusztus .
4. ↑ 1 2 Martini, Makai, Soltan, 1998 , p. 481–495.
5. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. 171.
6. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. 42.
7. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. 73–74.
8. ↑ 1 2 Aguilo, Fiol, Fiol, 2000 , p. 341–352.
9. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. 94.
10. ↑ Frederickson, 1997 , p. 30–31.
11. ↑ 1 2 3 Steurer, Deloudi, 2009 , p. 91–92.
12. ↑ Ennek a sejtésnek a helyességét a kétdimenziós burkolólapoknál Keller már tudta, de később bebizonyosodott, hogy a sejtés nem igaz a nyolcas és nagyobb méretekre. A hipotézissel kapcsolatos eredmények áttekintését lásd ( Zong 2005 ).
13. ↑ Bölcskei, 2001 , p. 317–326.
14. ↑ Dawson ( 1984 ) készített egy rajzot egy háromdimenziós mozaikról, amelyet Rogersnek tulajdonít, de idézett Richard Guy 1960-as írását .
15. ↑ Burns, 1994 , p. 193–196.
16. ↑ Rigby, 1995 , p. 560–561.
17. ↑ Danzer, Grünbaum, Shephard 1982 , p. 568–570+583–585, 3. ábra.

Irodalom

• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Kvazikristályok krisztallográfiája: fogalmak, módszerek és szerkezetek. - Springer, 2009. - T. 126. - S. 91–92. - (Springer sorozat az anyagtudományban). - ISBN 978-3-642-01898-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 .
• David Wells. A pingvin szótára a különös és érdekes geometriáról . - New York: Penguin Books, 1991. -  260-261 . — ISBN 0-14-011813-6 .
• Horst Martini, Makai Endre, Valeriu Soltan. A sík egyoldalú burkolása három méretű négyzetekkel // Beiträge zur Algebra und Geometrie. - 1998. - T. 39 , sz. 2 . – S. 481–495 . .
• Branko Grünbaum, GC Shephard. Burkolatok és minták. - W. H. Freeman, 1987. - 171. o.
• Francesc Aguilo, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Periodikus csempézés mint boncolási módszer  // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , sz. 4 . – S. 341–352 . - doi : 10.2307/2589179 .
• Greg N. Frederickson. Boncolások: Plane & Fancy . - Cambridge University Press, 1997. - S.  30-31 .
• Chuanming Zong. Mit tudunk az egységkockákról // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , sz. 2 . – S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Bolcskei Attila. Tér kitöltése két méretű kockákkal // Publicationes Mathematicae Debrecen. - 2001. - T. 59 , szám. 3-4 . – S. 317–326 .
• RJM Dawson. A tér kitöltése különböző egész kockákkal // Journal of Combinatorial Theory. A. sorozat - 1984. - T. 36 , sz. 2 . – S. 221–229 . - doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 .
• Chuanming Zong. Mit tudunk az egységkockákról // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , sz. 2 . – S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Roger B. Nelsen. Festmények, síkburkolatok és próbanyomatok // Math Horizons. - 2003. - Kiadás. november . — P. 5–8 .
  • Újranyomva Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. Az univerzum széle: A matematikai horizontok tíz évének megünneplése. - Mathematical Association of America, 2007. - S. 295-298. - ISBN 978-0-88385-555-3 .
  • Lásd még: Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Bájos bizonyítékok: utazás az elegáns matematikába. - Mathematical Association of America, 2010. - V. 42. - S. 168-169. — (Dolciani matematikai fejtegetések). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• Aidan Burns. 78.13 Fraktálcsempék  // Matematikai Közlöny. - 1994. - T. 78 , sz. 482 . – S. 193–196 . — .
• John Rigby. 79.51 A sík burkolása két méretű hasonló sokszöggel  // Mathematical Gazette. - 1995. - T. 79 , sz. 486 . – S. 560–561 . — .
• Danzer L., Grünbaum B., Shephard GC Megoldatlan problémák: Lehet-e egy burkolólap minden csempe ötszörös szimmetriája? // Az American Mathematical Monthly. - 1982. - T. 89 , sz. 8 . - doi : 10.2307/2320829 .
• Aguilo F., Fiol MA, Fiol ML Periodic tilings as a dissection method // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , sz. 4 . - doi : 10.2307/2589179 .