Lorentz csoport

A stabil verziót 2022. június 24-én nézték meg . Ellenőrizetlen változtatások vannak a sablonokban vagy a .

A Lorentz-csoport a Minkowski -tér Lorentz-transzformációinak csoportja, amelyek megőrzik a koordináták origóját (vagyis lineáris operátorok ) [1] .

A Lorentz-csoport a négydimenziós tér-idő koordináták homogén lineáris transzformációiból áll:

x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },

x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,

amelyek invariánsan hagyják az (1, 3) aláírású másodfokú formát , amely egy négydimenziós intervallum matematikai kifejezése [2] . Konkrétan a Lorentz-csoport magában foglalja a három síkban történő térbeli elforgatásokat , a Lorentz-transzformációkat , a térbeli tengelyek tükröződéseit és az összes terméküket. ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ $xy,\yz,\zx$ $xt,\yt,\zt$ $x,y,z$ $x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z$

A Lorentz-csoport a határozatlan ortogonális csoport speciális esete [3] , ezért jelöljük (vagy , ami ellentétes előjelű és permutált koordinátákkal rendelkező másodfokú alaknak felel meg), vagy , valamint [2] . $O(1,3)$ $O(3,1)$ $O(1,3;\mathbb {R} )$ $\mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $\mathcal{L}$

A speciális Lorentz-csoport vagy a megfelelő Lorentz-csoport olyan transzformációk alcsoportja, amelyek mátrixdeterminánsa 1 (általános esetben ±1). $SO(1,3)$

Ortokron Lorentz-csoport (más néven , és azonosítható a projektív (határozatlan) ortogonális csoporttal ), speciális (vagy tulajdonképpeni) ortokron Lorentz-csoport - hasonló, de minden transzformáció megőrzi a jövő irányát az időben ( koordinátajel ). A csoport , az egyetlen a négy közül, kapcsolódik és izomorf a Möbius csoporthoz . $O_{\uparrow }(1,3)$ $\mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )$ $\mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $SO_{\uparrow }(1,3)$ $x^0$ $SO_{\uparrow }(1,3)$

A Lorentz-csoport definíciójában néha az ortokrón állapot is szerepel, ilyenkor az idő irányát megváltoztató transzformációkat tartalmazó csoportot általános Lorentz-csoportnak nevezhetjük [4] [5] . Néha a Lorentz-csoport a megfelelő ortokron Lorentz-csoport is értendő [6] .

A Lorentz-csoport reprezentációi

Szimmetria a fizikában
átalakítás	Megfelelő változatlanság	A megfelelő természetvédelmi törvény
↕ Adásidő _	Az idő egységessége	…energia
⊠ C , P , CP és T - szimmetriák	Idő izotrópia	... paritás
↔ Műsorszórási tér	A tér homogenitása	…impulzus
↺ A tér elforgatása	A tér izotrópiája	… lendület
⇆ Lorentz csoport (növeli)	Relativitáselmélet Lorentz-kovariancia	… a tömegközéppont mozgása
~ Mérő átalakítás	Mérő invariancia	... töltés

Egy fizikai mennyiséget (például egy négydimenziós energia-impulzus vektort vagy egy elektromágneses térpotenciált) írjunk le többkomponensű koordinátafüggvénnyel . Az egyik tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerből a másikba való átmenet során egy fizikai mennyiség összetevői lineárisan átalakulnak egymáson keresztül: . Ebben az esetben a mátrix rangja megegyezik a mennyiség összetevőinek számával . A Lorentz- csoport minden eleme egy lineáris transzformációnak felel meg, a Lorentz-csoport azonossági eleme (azonos transzformáció) egy egységtranszformációnak , valamint a Lorentz-csoport két elemének szorzatának és két transzformáció szorzatának felel meg . A felsorolt tulajdonságokkal rendelkező mátrixrendszert a Lorentz-csoport lineáris ábrázolásának nevezzük. [7] $U_{\alpha }(x)$ $u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)$ $\lambda$ $\nu$ ${\displaystyle u_{\alpha ))$ $P$ $\lambda (P)$ $\lambda=1$ $P_1$ $P_2$ $\Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})$

A Lorentz-csoport összetett lineáris terekben való ábrázolása nagyon fontos a fizika számára, mivel a spin fogalmához kapcsolódnak . A speciális ortokrón Lorentz-csoport összes irreducibilis reprezentációja megszerkeszthető spinorok segítségével . $SO_{\uparrow }(1,3)$

Jegyzetek

↑ A Lorentz-csoport félig közvetlen termékét és a Minkowski-tér párhuzamos fordításainak csoportját történelmi okokból Poincaré -csoportnak nevezik . Másrészt a Lorentz -csoport alcsoportja a 3 dimenziós tér forgásának csoportja .
↑ 1 2 S. I. Azakov, V. P. Pavlov. Lorentz csoport // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Enciklopédia (1-2. kötet); Great Russian Encyclopedia (3-5. kötet), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Brian C. Hall. Hazugságcsoportok, hazugságalgebrák és ábrázolások: elemi bevezető. — Springer, 2003. — 7. o.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , p. 165-166.
↑ Shirkov, 1980 , p. 146.
↑ Naber, 2012 , p. 19.
↑ Shirkov, 1980 , p. 147.

Irodalom

Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. A rotációs csoport és a Lorentz-csoport reprezentációi. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 367 p.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometria: módszerek és alkalmazások. - M. : Nauka, 1986. - 760 p.
Lyubarsky G. Ya. Csoportelmélet és alkalmazása a fizikában. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 355 p.
Naimark M. A. A Lorentz-csoport lineáris ábrázolásai. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 376 p.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Csoportok és szimmetriák elmélete. végcsoportok. Hazugságcsoportok és algebrák. - M. : URSS, 2018. - 491 p.
Fedorov F. I. Lorentz csoport. - M. : Nauka, 1979. - 384 p. ( Bemutatjuk a Lorentz -csoport vektorparaméterezését és annak alkalmazását)
Artin, Emily. Geometriai algebra . - New York: Wiley, 1957 . Lásd a III. fejezetet az O(p, q) ortogonális csoportokról.
Carmeli, Moshe. Csoportelmélet és általános relativitáselmélet, A Lorentz-csoport reprezentációi és alkalmazásaik a gravitációs mezőre . - McGraw-Hill, New York, 1977 . Egy kanonikus hivatkozás; lásd az 1-6. fejezeteket a Lorentz-csoport ábrázolásaiért.
Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2. kiadás) (angol) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2004 . Kiváló forrás a hazugságelmélethez, a szálkötegekhez, a spinoriális burkolatokhoz és sok más témához.
Fulton, William; & Harris, Joe. Ábrázoláselmélet : első tanfolyam . - New York: Springer-Verlag , 1991 . Lásd a 11. előadást az SL(2, C )irreducibilis reprezentációiért
Hall, GS szimmetriák és görbületi struktúra az általános relativitáselméletben . - Szingapúr: World Scientific , 2004 . Lásd a 6. fejezetet a Lorentz-csoport Lie algebrájának részalgebráiért.
Hatcher, Allen. Algebrai topológia . - Cambridge: Cambridge University Press , 2002 . Lásd még az online verziót . Hozzáférés dátuma: 2005. július 3. Az eredetiből archiválva : 2012. február 20. (határozatlan) Lásd az 1.3. szakaszt a terek lefedésének gyönyörűen illusztrált ismertetéséhez. A forgatási csoportok topológiájával kapcsolatban lásd a 3D szakaszt .
Naber, Gregory. Minkowski téridő geometriája . — New York: Springer , 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7 . . Kiváló hivatkozás a Minkowski téridőről és a Lorentz-csoportról.
Needham, Tristam. Vizuális komplex elemzés . – Oxford: Oxford University Press , 1997 . A Möbius-transzformációk nagyszerűen illusztrált tárgyalását lásd a 3. fejezetben .
Shirkov DV A mikrokozmosz fizikája. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1980. - 527 p.

Lásd még

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció