Klein-Gordon egyenlet

A Klein-Gordon egyenlet (néha Klein-Gordon-Fock , Klein-Fock [1] [2] , Schrödinger-Gordon [3] ) a Schrödinger egyenlet relativisztikus változata :

\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2 }}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0

vagy (egységek használatával, ahol , a d'Alembert operátor ): $\hbar=c=1$ $\négyzet\$

(\négyzet \ -m^{2})\psi =0

Gyorsan mozgó részecskék leírására szolgál, amelyek tömeggel (nyugalmi tömeggel) rendelkeznek. Szigorúan alkalmazható skaláris masszív mezők leírására (például a Higgs-mezőre ). Általánosítható egész és félegész spinű részecskékre [4] . Többek között egyértelmű, hogy az egyenlet a hullámegyenlet általánosítása , amely alkalmas tömeg nélküli skalár- és vektormezők leírására.

A Klein-Gordon-Fock egyenlet által leírt mechanikai rendszerek (valós vagy képzeletbeli) a hullámegyenlet által leírt rendszerek egyszerű módosításai lehetnek, például:

egydimenziós esetben egy rugalmas (Hooke) bélésen fekvő (ragasztott) feszített nehéz cérna.
makroszkopikusan izotróp kristály, amelynek minden atomja amellett, hogy a szomszédos atomokhoz kötődik, térben jól rögzített másodfokú potenciálban is van.
reálisabb, ha valódi kristályokról beszélünk, ha figyelembe vesszük a transzverzális rezgésmódokat, amelyekben például a szomszédos atomrétegek antifázisban rezegnek: az ilyen módusok (lineáris közelítésben) engedelmeskednek a kétdimenziós Klein- Gordon-Fock egyenlet a rétegek síkjában fekvő koordinátákban.

Az az egyenlet, amelyben az utolsó ("tömeg") tagnak a szokásos előjellel ellentétes előjele van, egy tachiont ír le az elméleti fizikában . Az egyenlet ezen változata is megenged egy egyszerű mechanikai megvalósítást.

A szabad részecske Klein-Gordon-Fock egyenletének (amelyet fentebb megadtunk) egyszerű megoldása van szinuszos síkhullámok formájában .

A térbeli deriváltokat nullára állítva (ami a kvantummechanikában a részecske zérus impulzusának felel meg), a szokásos Klein-Gordon-Fock egyenlethez egy frekvenciájú harmonikus oszcillátort kapunk , amely egy nem nulla nyugalmi energiának felel meg, amelyet a a részecske tömege . Az egyenlet tachion változata ebben az esetben instabil, és megoldása általános esetben korlátlanul növekvő kitevőt tartalmaz. $\pm mc^{2}/\hbar$ $m$

Történelem

Az Oskar Kleinről és Walter Gordonról elnevezett egyenletet eredetileg Erwin Schrödinger írta, mielőtt megírta volna a ma nevét viselő nem-relativisztikus egyenletet. Elhagyta (közzététel nélkül), mert az elektron spinjét nem tudta belefoglalni ebbe az egyenletbe. Schrödinger leegyszerűsítette az egyenletet, és megtalálta "az ő" egyenletét.

1926- ban , röviddel a Schrödinger-egyenlet közzététele után , Fock [5] [6] írt egy cikket annak általánosításáról a mágneses terek esetére, ahol az erők a sebességtől függtek, és egymástól függetlenül származtatta ezt az egyenletet. Klein [7] (munkája valamivel korábban jelent meg, de kifogyott, miután Fock cikkét publikálásra elfogadták), és Fock is a Kaluza-Klein módszert alkalmazta . Fock a hullámegyenlethez egy mérőműszer-elméletet is bevezetett.

Gordon írása (1926 elején) a Compton-effektusnak volt szentelve [8] .

Következtetés

(Itt mértékegységeket használunk, ahol ). $\hbar=c=1$

A szabad részecske Schrödinger-egyenlete a következőképpen írható fel:

{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\partial _{t}\psi

hol van a momentum operátor ; az operátort a hamiltonival ellentétben egyszerűen energiakezelőnek fogják hívni. ${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i{\mathbf {\nabla }}$ ${\hat {E}}=i\részleges _{t}$

A Schrödinger-egyenlet nem relativisztikusan kovariáns, vagyis nem egyezik a speciális relativitáselmélettel (SRT).

A relativisztikus diszperziós (energia és impulzus összekapcsolása) összefüggést használjuk ( SRT -ből ):

{\displaystyle p^{2}+m^{2}=E^{2))

Ezután egyszerűen helyettesítve a kvantummechanikai impulzusoperátort az energiaoperátorral [9] , a következőt kapjuk:

((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi

amely kovariáns formában a következőképpen írható fel:

(\négyzet \ -m^{2})\psi =0

hol van a d'Alembert operátor . $\square \ =\nabla ^{2}-\partial _{t}^{2}$

A Klein-Gordon-Fock egyenlet megoldása szabad részecskére

Keressen megoldást a Klein-Gordon-Fock egyenletre egy szabad részecskére

\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}} }\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi

ugyanúgy, mint bármely állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, síkhullámok szuperpozíciója (vagyis bármely véges vagy végtelen lineáris kombinációja) formájában:

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

minden ilyen hullámot behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk a és feltételt : ${\mathbf k}$ $\omega$

-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{ 2}}}

A síkhullám, amint jól látható, egy tiszta állapotot ír le bizonyos energiával és impulzussal (azaz a megfelelő operátorok sajátfüggvénye). Az energia és az impulzus (azaz ezen operátorok sajátértékei) ennek alapján egyszerűen kiszámítható, mint egy nem relativisztikus részecske esetében:

\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k}

\langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E))|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))|\ psi \rangle =\hbar \omega

A talált arány , majd (ismét) megadja a klasszikusokból ismert, nullától eltérő tömegű relativisztikus részecske energiája és lendülete közötti összefüggés egyenletét: $k$ $\omega$

\langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}

Ezen túlmenően világos, hogy az átlagértékekre vonatkozó összefüggés nem csak bizonyos energiájú és impulzusú állapotok esetén teljesül, hanem azok szuperpozícióinak bármelyikére, vagyis a Klein-Gordon-Fock egyenlet bármely megoldására ( ami különösen biztosítja, hogy ez az összefüggés a klasszikus határértékben is teljesüljön).

Tömegnélküli részecskék esetében az utolsó egyenletet is feltehetjük. Ekkor tömeg nélküli részecskékre megkapjuk a diszperziós törvényt (ez az energia és az impulzus aránya is) a következő formában: $m=0$

\langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}

A csoportsebesség képlet segítségével nem nehéz megszerezni a szokásos relativisztikus képleteket az impulzus és az energia sebességgel való kapcsolatára; elvileg ugyanazt az eredményt érhetjük el, ha egyszerűen kiszámítjuk a Hamilton-kommutátort a koordinátával; de a Klein–Gordon–Fock egyenlet esetében nehézségekbe ütközünk a Hamilton-féle explicit felírásakor [10] (csak a Hamilton-féle négyzet nyilvánvaló). ${\mathbf {v}}_{{gr}}=\partial \omega /\partial {\mathbf {k}}\$

Jegyzetek

↑ Demkov Yu. N. Az elektron-atom ütközések elméletének kidolgozása a Leningrádi Egyetemen A Wayback Machine 2014. május 17-i archív másolata .
↑ Faddeev L. D. A teljes integrálhatóság új élete // Phys. - 2013. - 183. évfolyam - 5. szám - 490. o.
↑ G. Wentzel Bevezetés a hullámterek kvantumelméletébe. - M., L.: OGIZ, 1947. - S. 32
↑ lásd Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Bevezetés a kvantált mezők elméletébe. - 4., 6. §.
↑ Vladimir Fock archiválva : 2015. január 2. a Wayback Machine -nél // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
↑ Vladimir Fock // Zeitschrift fur Physik 39 (1926) 226.
↑ Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Archivált : 2017. október 14., a Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. – 1926.
↑ Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Archivált : 2017. június 10. a Wayback Machine -nél (A Compton-effektus a Schrödinger-elméletben) // Zeitschrift für Physik. — v. 40.-iss. 1.-pp. 117-133 (1926). - DOI 10.1007/BF01390840 .
↑ Egyszerűen felvehetjük az egyenlet bal oldalán lévő zárójeles operátor gyökerét $((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi$ , vagyis a Hamiltonit így megtalálni; akkor az első időbeli derivált a jobb oldalon maradna, és a Schrödinger-egyenlettel való analógia még közvetlenebb és közvetlenebb lenne. Ugyanakkor azt állítják, hogy egy skalár (vagy vektor) mező esetében ezt lehetetlen úgy megtenni, hogy a kapott Hamilton-féle lokális legyen. Egy bispinor esetében így Diracnak sikerült egy lokális (sőt csak elsőrendű származékaival) Hamilton-egyenletet kapnia, így megkapta az úgynevezett Dirac-egyenletet (amelynek egyébként a Minkowski-térbeli megoldása is egyben a Klein-Gordon egyenlet megoldásai, de fordítva nem, és a görbe térben egyértelművé válik az egyenletek közötti különbség). $\psi$ $\psi$
↑ lásd a 2. megjegyzést.

Lásd még

Linkek

Lineáris Klein-Gordon egyenlet az EqWorld-ben: A matematikai egyenletek világa.
Nemlineáris Klein-Gordon egyenlet az EqWorld-ben: A matematikai egyenletek világa.

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák