Gravitáció

A gravitáció ( vonzás , univerzális gravitáció , gravitáció ) (a lat. gravitas - „gravitáció”) egy univerzális alapvető kölcsönhatás a tömeggel rendelkező anyagi testek között . A fénysebességhez és a gyenge gravitációs kölcsönhatáshoz viszonyított kis sebességek közelítését Newton gravitációs elmélete írja le , általános esetben Einstein általános relativitáselmélete írja le . A kvantumhatárban a gravitációs kölcsönhatást állítólag a gravitáció kvantumelmélete írja le , amelyet még nem fejlesztettek ki.

A gravitáció rendkívül fontos szerepet játszik az Univerzum szerkezetében és evolúciójában (kapcsolatot teremt az Univerzum sűrűsége és tágulási sebessége között) [1] , meghatározza a csillagászati rendszerek egyensúlyának és stabilitásának kulcsfontosságú feltételeit [2] . Gravitáció nélkül nem lennének bolygók, csillagok, galaxisok, fekete lyukak az Univerzumban [3] . A gravitációs összehúzódás a fő energiaforrás a csillagfejlődés későbbi szakaszaiban (fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak). [négy]

Az általános relativitáselmélet szerint a gravitációs kölcsönhatás invariáns C-szimmetria , P-szimmetria és T-szimmetria esetén [5]

Gravitációs vonzás

A klasszikus mechanika keretein belül a gravitációs vonzást Newton univerzális gravitációs törvénye írja le , amely kimondja, hogy a gravitációs vonzás két anyagi tömegpont és távolság között arányos mindkét tömeggel és fordítottan arányos a tömeg négyzetével. távolság: $m_1$ $m_2$ $r$

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.

Itt van a gravitációs állandó , ami körülbelül 6,67⋅10 −11 m³/(kg s²) [6] [7] . Ez a törvény teljesül a fénysebességhez és a gyenge gravitációs kölcsönhatáshoz viszonyított kis sebességeknél történő közelítésben (ha a vizsgált objektum esetében, amely a tömegtesttől távol van , akkor a [8] érték ). A gravitációt általában Einstein általános relativitáselmélete írja le . $G$ $v \ll c$ $R$ $M$ ${\frac {GM}{c^{2}R}}\ll 1$

Az univerzális gravitáció törvénye az inverz négyzettörvény egyik alkalmazása, amely a sugárzás (például a fénynyomás ) tanulmányozásában is előfordul, és egyenes következménye a sugárzás területének kvadratikus növekedésének. növekvő sugarú gömb , ami bármely egységnyi terület hozzájárulásának négyzetes csökkenéséhez vezet a teljes gömb területéhez.

A gravitációs tér , valamint a gravitációs mező potenciálisan . Ez azt jelenti, hogy a vonzóerő munkája nem a pálya típusától, hanem csak a kezdő- és végponttól függ . Ekvivalens: be lehet vezetni egy testpár gravitációs vonzásának potenciális energiáját , és ez az energia a testek zárt körvonal mentén történő mozgatása után nem változik. A gravitációs tér potenciálja magával vonja a kinetikus és potenciális energia összegének megmaradásának törvényét, és a testek gravitációs térben történő mozgásának vizsgálatakor gyakran nagyban leegyszerűsíti a megoldást. A newtoni mechanika keretein belül a gravitációs kölcsönhatás nagy hatótávolságú . Ez azt jelenti, hogy akárhogyan is mozog egy hatalmas test, a tér bármely pontján a gravitációs potenciál csak a test adott időpontban elfoglalt helyzetétől függ.

A nagy űrobjektumok - bolygók, csillagok és galaxisok - hatalmas tömeggel rendelkeznek, és ezért jelentős gravitációs mezőket hoznak létre.

A gravitáció a leggyengébb erő. Mivel azonban minden távolságra hat, és minden tömeg pozitív, ennek ellenére nagyon fontos tevékenység az univerzumban. Különösen kicsi a kozmikus léptékű testek közötti elektromágneses kölcsönhatás, mivel ezeknek a testeknek a teljes elektromos töltése nulla (az anyag egésze elektromosan semleges).

Ezenkívül a gravitáció, más kölcsönhatásoktól eltérően, univerzális hatást gyakorol minden anyagra és energiára. Nem találtak olyan objektumot, amelynek egyáltalán nem lenne gravitációs kölcsönhatása.

Globális jellegéből adódóan a gravitáció felelős olyan nagy léptékű hatásokért, mint a galaxisok szerkezete, a fekete lyukak és az Univerzum tágulása, valamint az elemi csillagászati jelenségekért - a bolygók keringése, valamint a Föld felszínéhez való egyszerű vonzás, ill. zuhanó testek.

A gravitáció volt az első matematikai elmélet által leírt kölcsönhatás. Arisztotelész (Kr. e. 4. század) úgy vélte, hogy a különböző tömegű tárgyak különböző sebességgel esnek. És csak jóval később (1589) Galileo Galilei kísérletileg megállapította, hogy ez nem így van - ha megszűnik a légellenállás, minden test egyformán gyorsul. Isaac Newton gravitációs törvénye (1687) jól leírta a gravitáció általános viselkedését. 1915-ben Albert Einstein megalkotta az általános relativitáselméletet , pontosabban leírva a gravitációt a téridő geometria szempontjából.

Az égi mechanika és egyes feladatai

A mechanikának azt az ágát , amely a testek mozgását az üres térben csak a gravitáció hatására vizsgálja, égi mechanikának nevezzük .

Az égi mechanika legegyszerűbb feladata két pont vagy gömb alakú test gravitációs kölcsönhatása üres térben. Ezt a problémát a klasszikus mechanika keretein belül analitikusan, zárt formában oldják meg; megoldásának eredményét gyakran Kepler három törvénye formájában fogalmazzák meg .

A kölcsönható testek számának növekedésével a probléma sokkal bonyolultabbá válik. Tehát a már híres háromtest-probléma (vagyis három nem nulla tömegű test mozgása) általános formában nem oldható meg analitikusan. A numerikus megoldásnál azonban a megoldások instabilitása a kezdeti feltételekhez képest meglehetősen gyorsan beáll. A Naprendszerre vonatkoztatva ez az instabilitás lehetetlenné teszi a bolygók százmillió évnél nagyobb léptékű mozgásának pontos előrejelzését.

Egyes speciális esetekben közelítő megoldást találhatunk. A legfontosabb az az eset, amikor egy test tömege lényegesen nagyobb, mint a többi test tömege (például a Naprendszer és a Szaturnusz gyűrűinek dinamikája ). Ebben az esetben az első közelítésben azt feltételezhetjük, hogy a fénytestek nem lépnek kölcsönhatásba egymással, és Kepleri pályákon mozognak egy hatalmas test körül. A köztük lévő kölcsönhatások a perturbációelmélet keretében figyelembe vehetőek és időbeli átlagolhatók. Ebben az esetben nem triviális jelenségek léphetnek fel, mint például rezonanciák , attraktorok , véletlenszerűségek , stb. Jó példa ezekre a jelenségekre a Szaturnusz gyűrűinek összetett szerkezete.

Annak ellenére, hogy megpróbálták pontosan leírni egy nagyszámú, megközelítőleg azonos tömegű vonzó testből álló rendszer viselkedését, ez a dinamikus káosz jelensége miatt nem valósítható meg .

Erős gravitációs mezők

Erős gravitációs mezőben (valamint relativisztikus sebességű gravitációs térben mozogva ) kezdenek megjelenni az általános relativitáselmélet (GR) hatásai :

a téridő geometriájának változása ;
- ennek következtében a gravitációs törvény eltérése a newtonitól
- szélsőséges esetekben pedig fekete lyukak megjelenése ;
a gravitációs perturbációk véges terjedési sebességével összefüggő potenciális késleltetés ;
- ennek következtében a gravitációs hullámok megjelenése;
nemlinearitási hatások: a gravitációs mezők hajlamosak "zavarni" egymás intenzitását, ezért az erős mezőkben a szuperpozíció elve már nem érvényes.

Gravitációs sugárzás

Az általános relativitáselmélet egyik fontos előrejelzése a gravitációs sugárzás , amelynek jelenlétét 2015-ben közvetlen megfigyelések is megerősítették [9] . Azonban még korábban is komoly közvetett bizonyítékok szóltak a létezéséről, nevezetesen: energiaveszteség kompakt gravitációs objektumokat (például neutroncsillagokat vagy fekete lyukakat ) tartalmazó közeli bináris rendszerekben, amelyeket 1979-ben fedeztek fel a híres PSR B1913 + rendszerben. 16 (Hulse-Taylor pulzár) jól illeszkednek az általános relativitáselmélet modelljéhez, amelyben ezt az energiát pontosan a gravitációs sugárzás viszi el [10] .

Gravitációs sugárzást csak változó kvadrupólusú vagy nagyobb többpólusú nyomatékú rendszerek képesek előállítani , ez a tény arra utal, hogy a legtöbb természetes forrás gravitációs sugárzása irányított, ami nagymértékben megnehezíti annak észlelését. A gravitációs térforrás teljesítménye arányos azzal, ha a multipólus elektromos, és ha a multipólus mágneses típusú [11] , akkor hol van a sugárzó rendszerben lévő források jellemző sebessége, és a sebesség fény vákuumban. Így a domináns momentum az elektromos típusú kvadrupólmomentum lesz, és a megfelelő sugárzás teljesítménye egyenlő: $n$ $(v/c)^{2n + 2}$ $(v/c)^{2n + 4}$ $v$ $c$

L = \frac{1}{5}\frac{G}{c^5}\left\langle \frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3} \frac{d^3 Q^{ij }}{dt^3}\right\rangle,

ahol a sugárzó rendszer tömegeloszlása kvadrupolmomentumának tenzora . Az állandó (1/W) lehetővé teszi a sugárzási teljesítmény nagyságrendjének becslését. $Q_{ij}$ ${\frac {G}{c^{5}}}=2{,}76\cdot 10^{-53}$

1969-től kezdődően ( Weber kísérletei ) gravitációs sugárzás detektorokat építenek. Az USA-ban, Európában és Japánban jelenleg több aktív földi detektor ( LIGO , VIRGO , TAMA , GEO 600 ), valamint a LISA (Laser Interferometer Space Antenna ) űrgravitációs detektor projekt is működik. Egy földi detektort Oroszországban fejlesztenek a Tatár Köztársaság Gravitációs Hullám Kutatási Tudományos Központjában, a „ Dulkyn ” [12] -ben .

A gravitáció finom hatásai

A gravitációs vonzás és az idődilatáció klasszikus hatásai mellett az általános relativitáselmélet a gravitáció egyéb megnyilvánulásainak létezését is előrevetíti, amelyek szárazföldi körülmények között nagyon gyengék, ezért kimutatásuk és kísérleti igazolásuk igen nehézkes. Egészen a közelmúltig úgy tűnt, hogy e nehézségek leküzdése meghaladja a kísérletezők képességeit.

Közülük különösen megemlíthető az inerciális vonatkoztatási rendszerek (vagy a Lense-Thirring-effektus) és a gravitomágneses tér elragadása . 2005- ben a NASA Gravity Probe B egy példátlan pontosságú kísérletet végzett, hogy megmérje ezeket a hatásokat a Föld közelében. A kapott adatok feldolgozása 2011 májusáig megtörtént, és megerősítette a geodéziai precesszió és az inerciális vonatkoztatási rendszerek ellenállásának hatásának fennállását és nagyságát, bár az eredetileg feltételezettnél valamivel kisebb pontossággal.

A mérési zaj elemzésével és kivonásával kapcsolatos intenzív munka után a küldetés végeredményét a NASA-TV sajtótájékoztatóján 2011. május 4- én jelentették be, és a Physical Review Letters -ben [13] tették közzé . A geodéziai precesszió mért értéke –6601,8±18,3 ms /év, a légellenállási hatás pedig –37,2±7,2 ms / év (hasonlítsa össze a –6606,1 mas /év és –39 ,2 ms/év elméleti értékekkel ) .

Klasszikus gravitációs elméletek

Tekintettel arra, hogy a gravitáció kvantumhatásai a legszélsőségesebb és legmegfigyelhetőbb körülmények között is rendkívül kicsik, még mindig nincsenek megbízható megfigyelések róluk. Az elméleti becslések azt mutatják, hogy az esetek túlnyomó többségében a gravitációs kölcsönhatás klasszikus leírására szorítkozhatunk.

Létezik egy modern kanonikus [14] klasszikus gravitációelmélet – az általános relativitáselmélet , valamint számos hipotézis és elmélet, amelyek különböző fejlettségi fokokkal finomítják, egymással versengve. Mindezek az elméletek nagyon hasonló előrejelzéseket adnak azon a közelítésen belül, amelyben a kísérleti teszteket jelenleg végzik. Az alábbiakban a gravitáció főbb, legjobban kidolgozott vagy ismert elméleteit mutatjuk be.

Általános relativitáselmélet

Az általános relativitáselmélet (GR) standard megközelítésében a gravitációt kezdetben nem erőkölcsönhatásnak, hanem a téridő görbületének megnyilvánulásának tekintik. Így az általános relativitáselméletben a gravitációt geometriai hatásként értelmezik, a téridőt pedig a nem euklideszi Riemann (pontosabban pszeudo-riemann) geometria keretei között . A gravitációs mezőt (a newtoni gravitációs potenciál általánosítása), amelyet néha gravitációs mezőnek is neveznek, az általános relativitáselméletben a tenzormetrikus mezővel - a négydimenziós téridő metrikájával , a gravitációs tér intenzitásával - azonosítják. a metrika által meghatározott téridő affin kapcsolata .

Az általános relativitáselmélet standard feladata, hogy a vizsgált négydimenziós koordinátarendszerben az energia-impulzus források ismert eloszlásából meghatározza a metrikus tenzor azon összetevőit, amelyek együttesen határozzák meg a téridő geometriai tulajdonságait . A metrika ismerete viszont lehetővé teszi a tesztrészecskék mozgásának kiszámítását, ami egyenértékű a gravitációs tér tulajdonságainak ismeretével egy adott rendszerben. A GR-egyenletek tenzor jellegével, valamint megfogalmazásának standard alapvető indoklásával kapcsolatban úgy vélik, hogy a gravitációnak is van tenzor jellege. Ennek egyik következménye az, hogy a gravitációs sugárzásnak legalább kvadrupól nagyságúnak kell lennie.

Ismeretes, hogy az általános relativitáselméletben nehézségek adódnak a gravitációs mező energiájának változatlansága miatt, mivel ezt az energiát nem tenzor írja le, és elméletileg többféleképpen határozható meg. A klasszikus általános relativitáselméletben a spin-pálya kölcsönhatás leírásának problémája is felmerül (hiszen egy kiterjesztett objektum spinje sem rendelkezik egyedi definícióval). Úgy gondolják, hogy vannak bizonyos problémák az eredmények egyediségével és a konzisztencia igazolásával (a gravitációs szingularitások problémája ).

A kísérleti általános relativitáselméletet azonban egészen a közelmúltig megerősítették ( 2012 ). Ezen túlmenően a gravitációelmélet megfogalmazásának számos, az einsteini alternatíva, de a modern fizikában szabványos megközelítés olyan eredményhez vezet, amely egybeesik az általános relativitáselmélettel az alacsony energiájú közelítésben, amely jelenleg az egyetlen elérhető kísérleti igazolásra.

Az Einstein-Cartan elmélet

Az Einstein-Cartan (EC) elméletet az általános relativitáselmélet kiterjesztéseként fejlesztették ki, amely magában foglalja a téridőre gyakorolt hatás leírását, az energia-impulzus mellett a tárgyak forgását is [15] . Az EC elméletben bevezetik az affin torziót , és a téridő pszeudo-Riemann geometriája helyett a Riemann-Cartan geometriát használják . Ennek eredményeként a metrikus elméletből a téridő affin elméletébe kerülnek. Az így kapott téridő leírására szolgáló egyenletek két osztályba sorolhatók: az egyik az általános relativitáselmélethez hasonlít, azzal a különbséggel, hogy a görbületi tenzor affin torziós komponenseket tartalmaz; az egyenletek második osztálya az anyag és a sugárzás torziós tenzora és spintenzora közötti kapcsolatot határozza meg.
Az általános relativitáselmélet ebből eredő korrekciói a modern univerzum körülményei között olyan kicsik, hogy még hipotetikus mérési módok sem láthatók még.

A Brans-Dicke elmélet

A skalár-tenzor elméletekben, amelyek közül a leghíresebb a Brans-Dicke (vagy Jordan-Brans-Dicke) elmélet, a gravitációs teret, mint effektív tér-idő mérőszámot nem csak az energia-impulzus tenzor hatása határozza meg. anyag, mint az általános relativitáselméletben, hanem egy további gravitációs skalármező is. Az anyag összehajtott energia-impulzus tenzorát tekintjük a skalármező forrásának. Ezért a skalár-tenzorelméletek, mint például a GR és az RTG (Relativisztikus Gravitációs Elmélet) metrikus elméletek, amelyek a gravitációt csak a tér-idő geometria és annak metrikus tulajdonságai alapján magyarázzák. A skaláris tér jelenléte két egyenletcsoporthoz vezet a gravitációs térkomponensekhez: az egyik a metrikához, a másik a skalármezőhöz. A Brans-Dicke elmélet a skalármező jelenléte miatt úgy is tekinthető, mint amely egy téridőből és egy skalármezőből álló ötdimenziós sokaságban működik [16] .

Az egyenletek hasonló két osztályra osztása történik az RTG-ben is, ahol a második tenzoregyenletet vezetik be, hogy figyelembe vegyék a nemeuklideszi tér és a Minkowski-tér közötti kapcsolatot [17] . A Jordan-Brance-Dicke elméletben a dimenzió nélküli paraméter jelenléte miatt lehetővé válik, hogy úgy válasszuk ki, hogy az elmélet eredményei egybeesjenek a gravitációs kísérletek eredményeivel. Ugyanakkor, mivel a paraméter a végtelenbe hajlik, az elmélet előrejelzései egyre közelebb kerülnek az általános relativitáselmélethez, így a Jordan-Brance-Dicke elméletet lehetetlen bármilyen, az általános relativitáselméletet megerősítő kísérlettel megcáfolni.

A gravitáció kvantumelmélete

A több mint fél évszázados próbálkozások ellenére a gravitáció az egyetlen olyan alapvető kölcsönhatás, amelyre még nem építettek fel általánosan elfogadott következetes kvantumelméletet . Alacsony energiáknál a kvantumtérelmélet szellemében a gravitációs kölcsönhatás a gravitonok - 2-es spinű bozonok cseréjeként ábrázolható. Az így kapott elmélet azonban nem renormalizálható , ezért nem tekinthető kielégítőnek.

Az elmúlt évtizedekben számos ígéretes megközelítést dolgoztak ki a gravitáció kvantálási problémájának megoldására: a húrelmélet , a hurokkvantumgravitáció és mások.

Húrelmélet

Ebben a részecskék és a háttértér-idő helyett húrok és többdimenziós megfelelőik, a bránok jelennek meg . A nagydimenziós problémáknál a bránok nagydimenziós részecskék, de az ezekben a bránokban mozgó részecskék szempontjából tér-idő struktúrák. A húrelmélet egyik változata az M-elmélet .

Hurok kvantumgravitáció

Kvantumtérelméletet próbál megfogalmazni a tér-idő háttérre való hivatkozás nélkül, a tér és az idő ezen elmélet szerint diszkrét részekből áll. Ezek a tér kis kvantumcellái bizonyos módon kapcsolódnak egymáshoz, így kis idő- és hosszléptékben színes, diszkrét térszerkezetet hoznak létre, nagy léptékben pedig simán alakulnak át folyamatos sima téridővé. Bár sok kozmológiai modell csak az ősrobbanás utáni Planck -kortól képes leírni az univerzum viselkedését, a hurokkvantumgravitáció magát a robbanási folyamatot is leírhatja, sőt még korábban is. A hurokkvantumgravitáció lehetővé teszi az összes szabványos modellrészecske leírását anélkül, hogy szükség lenne a Higgs-bozon bevezetésére a tömegük magyarázatához .

Oksági dinamikus háromszögelés

Kauzális dinamikus háromszögelés - a benne lévő tér-idő sokaság Planck - rend méretű elemi euklideszi egyszerűségekből ( háromszög , tetraéder , pentachore ) épül fel , figyelembe véve az okság elvét . A négydimenziósság és a makroszkopikus léptékű pszeudoeuklideszi téridő nem posztulált benne, hanem az elmélet következménye.

Gravitáció a mikrokozmoszban

A mikrokozmoszban a gravitáció az elemi részecskék alacsony energiái mellett sok nagyságrenddel gyengébb, mint más alapvető kölcsönhatások. Így két proton nyugalmi gravitációs kölcsönhatásának erejének az elektrosztatikus kölcsönhatás erejéhez viszonyított aránya egyenlő . $10^{-36}$

Az egyetemes gravitáció és a Coulomb-törvény összehasonlításához a mennyiséget gravitációs töltésnek nevezzük. A tömeg és az energia egyenértékűségének elve alapján a gravitációs töltés egyenlő . A gravitációs kölcsönhatás erőssége akkor lesz egyenlő az elektromágnesessel, ha a gravitációs töltés megegyezik az elektromos töltéssel , vagyis olyan GeV energiákon , amelyek az elemi részecskegyorsítókon még elérhetetlenek. [18] [19] ${\sqrt {G_{N}}} m$ ${\displaystyle {\sqrt {G_{N))}{\frac {E}{c^{2))))$ ${\sqrt {G_{N}}}{\frac {E}{c^{2}}}=e$ $E={\frac {ec^{2}}{\sqrt {G_{N}}}}=10^{18}$

Feltételezzük, hogy a gravitációs kölcsönhatás az ősrobbanást követő első másodpercekben ugyanolyan erős volt, mint a többi kölcsönhatás [20] . $10^{-43}$

Jegyzetek

↑ Weinberg S. Az első három perc. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 135.
↑ Narlikar J. Furious univerzum. - M .: Mir, 1985. - S. 25. - Példányszám 100 000 példány.
↑ Narlikar J. Gravitáció képletek nélkül. - M .: Mir, 1985. - S. 144. - Példányszám 50 000 példány.
↑ Sivukhin D.V. A fizika általános kurzusa. Mechanika. - M., Nauka, 1979. - Példányszám 50 000 példány. - Val vel. 311.
↑ V. Pauli A tükörszimmetria megsértése az atomfizika törvényeiben // A XX. század elméleti fizika. Wolfgang Pauli emlékére. - M., IL, 1962. - p. 383
↑ G jobb meghatározása két módszerrel // Phys. Fordulat. Lett. 111, 101102 (2013), DOI:10.1103/PhysRevLett.111.101102
↑ G. Rosi, F. Sorrentino, L. Cacciapuoti, M. Prevedelli, G. M. Tino. A newtoni gravitációs állandó pontos mérése hideg atomok segítségével . Természet (2014. június 18.). (határozatlan)
↑ Narlikar J. Furious univerzum. - M .: Mir, 1985. - S. 70. - Példányszám 100 000 példány.
↑ LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott, M. R. Abernathy. Gravitációs hullámok megfigyelése bináris fekete lyuk egyesüléséből // Fizikai áttekintési levelek. — 2016-02-11. - T. 116 , sz. 6 . - S. 061102 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.116.061102 .
↑ Narlikar J. Gravitáció képletek nélkül. - M .: Mir, 1985. - S. 87. - Példányszám 50 000 példány.
↑ Lásd a gravitomagnetizmus című cikket a gyenge gravitációs tér és az elektromágneses tér közötti analógiáért .
↑ "Dulkyn" Gravitációs Hullámkutatás Tudományos Központ 2006. szeptember 25-i archív példány a Wayback Machine -n
↑ CWF Everitt et al . Gravity Probe B: Az általános relativitáselmélet vizsgálatára irányuló űrkísérlet végeredménye , Physical Review Letters (2011. május 1.). Letöltve: 2011. május 6.
↑ Ez az elmélet kanonikus abban az értelemben, hogy a modern égi mechanikában , asztrofizikában és a kozmológiában a legfejlettebb és legszélesebb körben használt elmélet , és a megbízhatóan megalapozott, ennek ellentmondó kísérleti eredmények száma szinte nulla.
↑ Ivanenko D. D. , Pronin P. I., Sardanashvili G. A. Gauge theory of gravitation. — M.: Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1985.
↑ Brans, CH; Dicke, RH (1961. november 1.). "Mach-elv és a gravitáció relativisztikus elmélete". Fizikai Szemle 124(3): 925-935. DOI:10.1103/PhysRev.124.925. Letöltve: 2006-09-23.
↑ Ortodox szempontból ez az egyenlet koordinátafeltétel.
↑ Yavorsky B. M., Detlaf A. A., Lebedev A. K. Fizika kézikönyve mérnökök és egyetemi hallgatók számára. - M .: Oniks, 2007. - S. 948. - ISBN 978-5-488-01248-6 - Példányszám 5100 példány.
↑ Narlikar J. Gravitáció képletek nélkül. - M .: Mir, 1985. - S. 145. - Példányszám 50 000 példány.
↑ Weinberg S. Az első három perc. — M.: Energoizdat, 1981. — S. 136.

Irodalom

Vizgin V. P. A gravitáció relativisztikus elmélete (eredet és kialakulás, 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352c.
Vizgin V. P. Egységes elméletek a 20. század 1. harmadában. — M.: Nauka, 1985. — 304c.
Ivanenko D.D. , Sardanashvili G.A. Gravitáció. 3. kiadás — M.: URSS, 2008. — 200p.
Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. — M.: Mir, 1977.
Thorn K. Fekete lyukak és időredők. Einstein merész öröksége. - M .: Fizikai és matematikai irodalom állami kiadója, 2009.
Halliday, David; Robert Resnick; Kenneth S. Krane. Fizika v. 1. - New York: John Wiley & Sons , 2001. - ISBN 978-0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Fizika tudósoknak és mérnököknek . — 6. - Brooks/Cole, 2004. - ISBN 978-0-534-40842-8 .
Tipler, Paul. Fizika tudósoknak és mérnököknek : mechanika, rezgések és hullámok, termodinamika . — 5. - W. H. Freeman, 2004. - ISBN 978-0-7167-0809-4 .