Gravitációs potenciál

A gravitációs potenciál a koordináták és az idő skaláris függvénye , amely elegendő a gravitációs mező teljes leírásához a klasszikus mechanikában . Megvan a sebesség négyzetének mérete, amelyet általában betűvel jelölnek . A tér egy adott pontjában a sugárvektor által megadott gravitációs potenciál számszerűen egyenlő azzal a munkával, amelyet a gravitációs erők végeznek, amikor egy egységnyi tömegű teszttestet tetszőleges pályán mozgatnak egy adott pontból egy olyan pontba, ahol a potenciált feltételezik. hogy nulla legyen. A gravitációs potenciál egyenlő az erre a pontra helyezett kis test potenciális energiájának a test tömegéhez viszonyított arányával . A potenciális energiához hasonlóan a gravitációs potenciált is mindig egy állandó tagig határozzák meg, általában (de nem feltétlenül) úgy választják meg, hogy a végtelenben lévő potenciál nulla legyen. Például a Föld felszínén a gravitációs potenciál egy végtelenül távoli ponttól mérve (ha figyelmen kívül hagyjuk a Nap, a Galaxis és más testek gravitációját) negatív és egyenlő -62,7 10 6 m 2 / s 2 ( a második kozmikus sebesség négyzetének fele ). $\varphi$ ${\vec {r))$ $U({\vec {r)))$ $m$

A gravitációs potenciál fogalmát először Adrien Marie Legendre vezette be a tudományba a 18. század végén .

A modern gravitációs elméletekben a gravitációs potenciál szerepét általában a tenzormezők töltik be. Tehát a jelenleg szokásos gravitációs elméletben - az általános relativitáselméletben - a gravitációs potenciál szerepét a metrikus tenzor játssza .

Gravitációs potenciál és mozgásegyenletek

Egy részecske mozgását a gravitációs térben a klasszikus mechanikában a Lagrange-függvény határozza meg , amely az inerciális vonatkoztatási rendszerben a következő alakú:

L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi ,

ahol a részecske tömege, a részecske általánosított koordinátája, a gravitációs tér potenciálja. $m$ $q$ $\varphi$

A Lagrange kifejezést behelyettesítjük a Lagrange-egyenletekbe : $L$

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0 ,

megkapjuk a mozgásegyenleteket

{\ddot {q}}=-\operatorname {grad} \varphi .

A gravitációs térben lévő részecske mozgásegyenletei a klasszikus mechanikában nem tartalmaznak tömeget vagy más olyan mennyiséget, amely a részecskét jellemzi. Ez a tény a gravitációs és tehetetlenségi erők egyenértékűségének elvét tükrözi . $m$

Ponttömeg és tetszőleges test gravitációs potenciálja

Az origóban elhelyezkedő ponttömeg által létrehozott gravitációs potenciál egyenlő $M$

\varphi ({\vec {r)))=-{\frac {GM}{r}}+C,

ahol a gravitációs állandó , az origótól való távolság (a sugárvektor modulusa ). Egy tetszőleges állandót jelöl , amely kimarad a végtelennél történő választáskor. $G$ $r$ ${\vec {r))$ $C$ $\varphi=0$

Ugyanez a képlet érvényes minden gömbszimmetrikus tömegeloszlású testen kívüli gravitációs potenciálra. Példa erre egy egységes golyó vagy egy vékony gömb. (Megjegyzés: a gömbön belül a potenciál egyenlő a gömb potenciáljával , ahol a gömb sugara). $-GM/a$ $a$

Általános esetben a tömeg tetszőleges eloszlása által létrehozott gravitációs potenciál (a sűrűség tetszőleges módon függ a koordinátáktól) kielégíti a Poisson-egyenletet . $\rho$

\Delta \varphi ({\vec {r)))=4\pi G\rho ({\vec {r))),

hol van a Laplace operátor . Egy ilyen egyenlet megoldásának van alakja $\Delta$

\varphi ({\vec {r)))=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^ {\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C.

Itt van annak a pontnak a sugárvektora, ahol a potenciált keresik, és egy végtelenül kis térfogatú , anyagsűrűségű elem sugárvektora ; az integráció a mezőt létrehozó testek teljes térfogatára kiterjed. ${\vec {r))$ ${\vec {r}}^{\prime }$ ${\displaystyle dV^{\prime ))$ $\rho ({\vec {r))^{\prime })$

Gravitációs potenciál és gravitációs energia

A gravitációs térben egy pontban elhelyezkedő részecske potenciális energiája megegyezik a mező potenciáljával, megszorozva a részecske tömegével : ${\vec {r))$ $m$

U({\vec {r)))=m\varphi ({\vec {r))).

Egy testrendszer (diszkrét részecskék) gravitációs energiája alatt az ezen részecskék kölcsönös gravitációs vonzásából adódó potenciális energiát értjük. Ez egyenlő az egyes részecskék potenciális energiáinak összegének felével; a kettővel való osztással elkerülhető az azonos kölcsönhatások kétszeres elszámolása. Például egy pár anyagi pontra, amelyek egymástól távol vannak $l$

U_{g}={\frac {1}{2}}\left[U_{1}+U_{2}\right]={\frac {1}{2}}\left[-G{ \frac {m_{1}m_{2}}{l}}-G{\frac {m_{2}m_{1}}{l}}\right]=-G{\frac {m_{1}m_ {2}}{l}};

itt van az első pont potenciális energiája a második mezőjében, és a második az első mezőjében. $U_{1}$ $U_{2}$

Hasonlóképpen a folyamatos tömegeloszlás gravitációs energiájára a kifejezés igaz:

U_{g}={\frac {1}{2))\int _{V}\rho ({\vec {r)))\varphi ({\vec {r)))dV,

ahol a tömegsűrűség , az előző szakasz képleteivel kiszámított gravitációs potenciál , a test térfogata. Így egy tömegű és sugarú , egyenletes sűrűségeloszlású golyó gravitációs energiája . $\rho$ $\varphi$ $V$ $m$ $a$ $U_{g}=-3Gm^{2}/5a$

A gravitációs potenciál sorozatbővítései

Egy tetszőleges tömegrendszer gravitációs potenciáljának kiszámításához attól nagy távolságra, kibővíthetjük:

\varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{ 2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right),

ahol a rendszer teljes tömege és mennyiségei: $M=\int \rho dV$

D_{\alpha \beta }=\int \rho (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })dV

alkotják a kvadrupól tömegmomentum tenzort . A szokásos tehetetlenségi nyomatékhoz kapcsolódik

J_{\alpha \beta }=\int \rho (r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV

nyilvánvaló arányok

D_{{\alpha \beta }}=J_{{\gamma \gamma }}\delta _({\alpha \beta }}-3J_{{\alpha \beta }}).

A gömbi függvények kiterjesztése is lehetséges, amelyet különösen a kozmikus testek gravitációs mezőinek elemzésében használnak:

\varphi =-{\frac {GM}{r}}\left(1-\sum _{n=2}^{\infty }J_{n}\left({\frac {R}{r }}\jobbra)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\ frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nk}\cos(k\lambda )+S_{nk}\sin(k\lambda ))P_{n}^{k}(\ sin\theta )\right).

Itt vannak a megfigyelési pont gömbkoordinátái, az n- edrendű Legendre-polinom, a hozzá tartozó Legendre-polinomok, a gravitációs nyomatékok [1] . $r,\theta ,\lambda$ $P_{n}$ $P_{{n}}^{{k}}$ $J_{n},C_{nk},S_{nk}$

Gravitációs potenciál és általános relativitáselmélet

Az általános relativitáselméletben a gravitációs térben lévő anyagi pontok mozgásegyenletei a következők:

{\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds} }{\frac {dx^{s}}{ds}}=0,

hol vannak a Christoffel-szimbólumok . Itt van az általános relativitáselmélet gravitációs mezőjét jellemző metrikus tenzor . $\Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}\left({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{ \frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}}\right)$ $g_{{ik}}$

E mozgásegyenleteknek a newtoni mechanika mozgásegyenleteivel való összehasonlítása azt mutatja, hogy az általános relativitáselméletben a gravitációs potenciál szerepét a metrikus tenzor játssza. ${\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{{i}}}}$ $\varphi$

A fénysebességhez képest kicsi sebességek és gyenge állandó gravitációs mezők esetén a mozgásegyenletek a következő alakot öltik:

{\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-c^{{2}}\Gamma _{{44}}^{{i }}

térbeli koordinátákhoz és időkoordinátákhoz. Az idő deriváltjait figyelmen kívül hagyva helyette helyettesíthető és így megkaphatjuk a newtoni mozgásegyenleteket $i=1,2,3$ $x^{{4}}=ct$ $\Gamma _{{44}}^{{i}}$ $-{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{{44}}}{dx^{{i}}}}$

{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}.

Itt a gravitációs potenciált és a metrikus tenzor komponensét az összefüggések kapcsolják össze $\varphi$ $g_{{44}}$

\varphi =-{\frac {1}{2}}c^{{2}}(g_{{44}}+1)

g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\jobb).

Abból a tényből adódóan, hogy a nyugalmi állapotban lévő óra világvonalának eleme , az idő pedig , az óra lassulása a gravitációs térben $ds^{{2}}=g_{{44}}(dx^{4})^{2}$ $t={\frac {x^{4}}{c}}$

t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44))))={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^ {2}}}}}}\approx t\left(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\jobbra).

Az idő relatív lassulása egy kisebb gravitációs potenciál értékű pontban egy nagyobb gravitációs potenciál értékű ponthoz képest egyenlő az ezekben a pontokban lévő gravitációs potenciálok különbségével, osztva a gravitációs potenciál négyzetével. fénysebesség.

Lásd még

Newton klasszikus gravitációs elmélete

Jegyzetek

↑ A Föld és a bolygók belső szerkezete, 1978 , p. 46.
↑ Pauli V. Relativitáselmélet. - M .: OGIZ. - 1947, lövészet. 16000 példány - 300 oldal.

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Elméleti fizika , tankönyv egyetemeknek, 10 kötetben / v. 1, "Mechanika", 5. kiadás, sztereotípia., M .: Fizmatlit. - 2002. - 224 pp., ISBN 5-95221-00521 -6 (1. kötet), ch. 1. „Mozgásegyenletek”, 2. o. „A legkisebb cselekvés elve”, 1. o. 10-14;
Landau L. D. , Lifshits E. M. Elméleti fizika , tankönyv egyetemeknek, 10 kötetben / v. 2, "Field Theory", 8. kiadás, sztereotípia., M .: Fizmatlit. - 2001. - 536 p., ISBN 5-9221- 0056-4 (2. kötet), ch. 10. "Részecske gravitációs mezőben", 81. o. "Gravitációs tér a nem-relativisztikus mechanikában", p. 304-306; ch. 12 "Gravitációs testek mezeje", 99. o. "Newton törvénye", p. 397-401;
Weinberg S. Gravitáció és kozmológia. Az általános relativitáselmélet elvei és alkalmazásai, ford. angolról. V. M. Dubovik és E. A. Tagirov, szerk. Ya. A. Smorodinsky, "Platon", 2000, ISBN 5-80100-306-1 , 2. rész "Általános relativitáselmélet", ch. 3. „Ekvivalencia-elv”, 4. o. „Newtoni közelítés”, 4. o. 92-93;
Kholshevnikov KV, Nikiforov II A gravitációs potenciál tulajdonságai példákban és problémákban: Tankönyv. - Szentpétervár, 2008. - 72 p., BBC 22.6.
Zharkov VN A Föld és a bolygók belső szerkezete. — M .: Nauka, 1978. — 192 p.