Abeli csoport

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Abeli (vagy kommutatív ) csoport - olyan csoport , amelyben a csoport művelet kommutatív ; más szóval egy csoport Abel-féle, ha bármely két elemre . $(G,\;*)$ $a*b=b*a$ $a,\;b\in G$

Általában egy Abel-csoportban lévő csoportművelet jelölésére additív jelölést használnak, azaz egy csoportműveletet előjellel jelölnek, és összeadásnak nevezik [1]. $+$

A nevet Niels Abel norvég matematikus tiszteletére adták .

Példák

A párhuzamos fordítások csoportja lineáris térben.
Bármely ciklikus csoport Abel-féle. Valójában mindenre, és ez igaz $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- Konkrétan az egész számok halmaza összeadás által kommutatív csoport; ugyanez igaz a maradékosztályokra is $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$
Bármely gyûrû összeadása alapján kommutatív (Abeli) csoport; példa erre a valós számok mezője a számok összeadásának műveletével. $\mathbb {R}$
A kommutatív gyűrű invertálható elemei (különösen bármely mező nullától eltérő elemei ) szorzással Abel-csoportot alkotnak. Például egy Abel-csoport nem nulla valós számok halmaza a szorzási művelettel.

Kapcsolódó definíciók

A vektorterek dimenziójához hasonlóan minden Abel-csoportnak van rangja . Ez egy vektortér minimális mérete a racionális számok mezeje felett , amelybe egy csoport torziós tényezője be van ágyazva . $\mathbb {Q}$

Tulajdonságok

A véges generált Abel-csoportok izomorfak a ciklikus csoportok közvetlen összegével .
- A véges Abel-csoportok izomorfak a véges ciklikus csoportok közvetlen összegeivel.
Bármely Abel-csoport természetes modulusszerkezettel rendelkezik az egész számok gyűrűje felett . Valóban, legyen természetes szám , és legyen egy kommutatív csoport eleme a + művelettel, akkor definiálhatjuk a ( times) és -t is . $n$ $x$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Azok az állítások és tételek, amelyek igazak az Abel-csoportokra (vagyis a főideáli tartományon belüli modulokra ), gyakran általánosíthatók egy tetszőleges főideáltartomány feletti modulokra. Tipikus példa a
véges generált Abeli-csoportok osztályozása , amely általánosítható tetszőleges, véges generált modulok osztályozására a főideálok tartománya felett . $\mathbb {Z}$

Az összes csoporthomomorfizmus homomorfizmusainak halmaza től- ig maga is egy Abel-csoport. Valójában legyen két csoporthomomorfizmus az Abel-csoportok között, akkor ezek összege , mint , szintén homomorfizmus (ez nem igaz, ha nem kommutatív csoport).

\operátornév {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\–H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Az abelianitás fogalma szorosan összefügg a csoport középpontjának fogalmával – egy halmazzal, amely azokból az elemekből áll, amelyek a csoport minden elemével ingáznak , és egyfajta "abelianitás-mérő" szerepet töltenek be. Egy csoport akkor és csak akkor Abel-féle, ha középpontja egybeesik az egész csoporttal.

Z(G)

G

G

Véges Abel-csoportok

A véges Abel-csoport szerkezetére vonatkozó alaptétel kimondja, hogy bármely véges Abel-csoport felbontható ciklikus részcsoportjainak közvetlen összegére, amelyek rendjei prímszámok hatványai . Ez a véges generált Abel-csoportok szerkezetére vonatkozó általános tétel következménye arra az esetre, amikor a csoportnak nincsenek végtelen sorrendű elemei. akkor és csak akkor izomorf egy közvetlen összeggel , ha és a koprím . $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Ezért felírhatunk egy Abel-csoportot közvetlen összeg formájában $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

két különböző módon:

Hol vannak a prímszámok $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Hol oszt , melyik oszt , és így tovább -ig . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Például felbontható két 3. és 5. rendű ciklikus alcsoport közvetlen összegére: . Ugyanez elmondható bármely tizenöt rendű abeli csoportról; ennek eredményeként arra a következtetésre jutunk, hogy minden 15. rendű Abel-csoport izomorf. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Változatok és általánosítások

A differenciálcsoport egy Abel-csoport , amelyben egy ilyen endomorfizmus adott , hogy . Ezt az endomorfizmust differenciálnak nevezzük . A differenciálcsoportok elemeit láncoknak , a magciklusok elemeinek , a képhatárok elemeinek nevezzük . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$
A gyűrű egy Abel-csoport, amelyen egy további bináris „szorzás” műveletet adunk, amely kielégíti a disztributivitás axiómáit .
A metabeli csoport olyan csoport, amelynek kommutátor alcsoportja Abel.
A nilpotens csoport olyan csoport, amelynek központi sorozata véges.
A megoldható csoport olyan csoport, amelynek kommutátorsora a triviális csoporton stabilizálódik.
A Dedekind csoport olyan csoport , amelynek minden alcsoportja normális .

Lásd még

Algebrai rendszer

Jegyzetek

↑ Abel-csoport - cikk a Mathematics Encyclopedia-ból . Yu. L. Ershov

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 példányban. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Fuchs L. Végtelen Abel-csoportok. - Világ, 1974.

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció

Abeli ​​csoport