Osztott tér mozaik

Az osztott négyzetes csempézés (vagy tetrakis-négyzet csempézés  ) az euklideszi síkban lévő csempe , amely négyzetes csempézésből van felállítva úgy, hogy minden négyzetet négy egyenlő szárú derékszögű háromszögre osztunk , csúcsokkal a négyzetek középpontjában, ami végtelen konfigurációt eredményez. A csempézés úgy is megépíthető, hogy a rács minden négyzetét két háromszögre osztjuk egy átlóval, míg a szomszédos négyzetek átlói eltérő irányúak.A mozaikot két négyzetmozaik egymásra helyezésével is készíthetjük, amelyek közül az egyiket 45 fokkal elforgatjuk skáláját pedig √2 -vel növeljük .

Conway a tesszelációt kisquadrille -nak , azaz a "kis" művelettel kapott quadra-parkettának nevezte [1] . A "kis" művelet egy pontot ad egy lap középpontjához, és ebből a pontból éleket a lap csúcsaihoz, így a négyzet alakú mozaik lapjait háromszögekre osztja. A mozaikot Union Jack-rácsnak is nevezik , mert hasonlít a brit nemzeti zászlóra , a 8-as rendű csúcsokat körülvevő háromszögekkel [2] .

A csempézés neve V4.8.8, mert minden egyenlő szárú háromszöglapnak kétféle csúcsa van – egy csúcs 4 környező háromszöggel, és két csúcs 8 háromszöggel.

Kettős csempézés

A csempézés kettős a csonka négyzet alakú burkolólappal , amelynek minden csúcsán egy négyzet és két nyolcszög található [3] .

Alkalmazások

Egy osztott négyzet alakú mozaik 5 × 9-es töredéke a Fanorona madagaszkári társasjáték játéktáblája . Ebben a játékban köveket helyeznek a mozaik tetejére, és a szélek mentén mozognak, elfogva az ellenfél köveit, amíg vannak ilyen kövek. Ebben a játékban a 4-es és a 8-as fokú csúcsokat gyenge metszéspontnak, illetve erős metszéspontnak nevezzük. A játék stratégiájában fontos szerepet játszik a csúcsok típusainak különbsége [4] . Hasonló táblát használnak a brazil Adugo játékban és a Hare and Dogs játékban .

Az US Postal Service által 1997-ben kibocsátott emlékbélyeg -készletben négyzet alakú mozaikot használtak, két különböző bélyeg különböző mintájával [5] .

Ez a mozaik képezi az alapját a foltvarrásban széles körben használt szélkerekes, malom- és törött lemezmintáknak is [6] [7] [8] .

Szimmetria

Mozaik szimmetriatípusok (a tapétacsoport szimmetriatípusai szerint :

• szimmetria cmm; négy színben színezésnél az elemi cella 8 háromszögből áll, az alapterület 2 háromszögből áll (minden színhez 1/2)
• p4g szimmetria; sötét és világos háromszögek, az egységcella 8 háromszögből áll, az alapterület 1 háromszögből áll (1/2 minden fekete-fehérhez)
• p4m szimmetria; minden háromszög azonos színű (fehér) és fekete élekkel rendelkezik, az egységcella 2 háromszögből áll, alapterület (1/2)

Az osztott négyzet alakú burkolólap élei egyszerű vonalkonfigurációt alkotnak , amely a háromszög alakú csempével és az osztott rombuszos burkolólappal .

Ezek a vonalak alkotják a reflexiós csoport ( tapétacsoport [4,4], (*442) vagy p4m) szimmetriatengelyeit , amelynek alapterülete a burkoló háromszög . Ez a csoport izomorf , de nem azonos a burkolólap automorfizmus -csoportjával , amelynek további háromszögtörő szimmetriatengelyei vannak, és amelynek alapvető tartománya a félháromszög.

A p4m, (szimmetria [4,4], *442 orbifold jelöléssel ) kis indexek alcsoportjainak számos csoportja létezik , amelyek a Coxeter-Dynkin diagramokból láthatók a közvetlen visszaverődésnek megfelelően színezett csomópontokkal és pivottal. számokkal jelölt pontok. A forgásszimmetria váltakozó fehér és kék régiókként jelenik meg, és minden alcsoporthoz egy-egy alapvető régió sárga színnel van feltüntetve. A csúszó szimmetriákat szaggatott vonalak adják.

Az alcsoportok Coxeter-Dynkin diagramokkal fejezhetők ki azok alapvető tartománydiagramjaival.

Kis indexek alcsoportjai p4m, [4,4], (*442)
Index	egy	2			négy
Alapterület diagram _
Coxeter jelölés Coxeter diagram	[ 1 ,4, 1 ,4, 1 ] = [4,4]	[1 + ,4,4] =	[ 4,4,1+ ] =	[4,1 + ,4] =	[1 + ,4,4,1 + ] =	[4 + ,4 + ] = [(4,4 + ,2 + )]
Orbifold	*442			*2222		22×
Félig közvetlen alcsoportok
Index		2			négy
Diagram
koxéter		[ 4,4+ ]	[4 + ,4]	[(4,4,2 + )]	[1 + ,4,1 + ,4]=[(2 + ,4,4)] ==	[4,1 + ,4,1 + ]=[(4,4,2 + )] ==
Orbifold		4*2		2*22
Közvetlen alcsoportok
Index	2	négy			nyolc
Diagram
koxéter	[4,4] +	[1 + ,4,4 + ] = [4,4 + ] + =	[4 + ,4,1 + ] = [4 + ,4] + =	[(4,1 + ,4,2 + )] = [(4,4,2 + )] + =	[1 + ,4,1 + ,4,1 + ] = [(4 + ,4 + ,2 + )] = [4 + ,4 + ] + =
Orbifold	442			2222

Kapcsolódó poliéderek és burkolólapok

A csempézés topológiailag kapcsolódik egy sor poliéderhez és csempékhez, amelyek csúcskonfigurációja V n .6.6.

Lásd még

• Konvex szabályos sokszögek mozaikjai az euklideszi síkon
• Az egységes burkolatok listája
• Szivárgási küszöb

Jegyzetek

1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 .
2. ↑ Stephenson, 1970 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Kettős tesselláció  a Wolfram MathWorld weboldalán .
4. ↑ Bell, 1983 , p. 150–151.
5. ↑ Frederickson, 2006 , p. 144.
6. ↑ A foltvarró Biblia, 1997 , p. 55.
7. ↑ Zieman, 2011 , p. 66.
8. ↑ Fassett Kaffe, 2007 , p. 96.

Irodalom

• Branko Grünbaum , GC Shephard. Burkolatok és minták . - W.H. Freeman, 1987. - P. 58-65 (2.1. fejezet: Szabályos és egységes burkolatok). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. -  40. o . — ISBN 0-486-23729-X .
• Keith Critchlow. Rendelés az űrben: tervezési forráskönyv. - New York: Thames & Hudson, 1987. - S. 77-76, 8. minta. - ISBN 0-500-34033-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. 21. fejezet, Arkhimédeszi és katalán poliéderek és csempék elnevezése, p288 táblázat // A dolgok szimmetriái . - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Archivált: 2010. szeptember 19. aWayback Machine
• John Stephenson. Ising-modell antiferromágneses Next-Nearest-Neighbor csatolással: Spin-korrelációk és zavarpontok // Fizik. Fordulat. B. - 1970. - T. 1 , szám. 11 . - S. 4405-4409 . - doi : 10.1103/PhysRevB.1.4405 .
• Bell RC Fanorona // The Boardgame Book. - Exeter Books, 1983. - S. 150-151. — ISBN 0-671-06030-9 .
• Greg N. Frederickson. Zongoracsuklós boncolások. - A. K. Peters, 2006. - ISBN 156881299X .
• A foltvarró Biblia . - Creative Publishing International, 1997. - ISBN 9780865732001 .
• Nancy Zieman. Paplan magabiztosan . - Krause Publications, 2011. - ISBN 9781440223556 .
• Fasset Kaffe. Kaffe Fassett paplanok kaleidoszkópja: húsz minta Rowantól foltvarráshoz és foltvarráshoz . - Taunton Press, 2007. - ISBN 9781561589388 .