Állítsa be a teljesítményt

A halmaz hatványa vagy kardinális száma ( lat. cardinalis ← cardo „a fő körülmény; alap; szív”) a halmazok ( beleértve a végteleneket is) jellemzője, általánosítva egy halmaz elemeinek számának (számának) fogalmát. véges halmaz.

Ez a koncepció a halmazok összehasonlításával kapcsolatos természetes elképzeléseken alapul:

bármely két halmaz, amelynek elemei között egy az egyhez megfeleltetés ( bijekció ) állapítható meg, ugyanannyi elemet tartalmaz (azonos számosságú, egyforma erősségű );
fordítva: az ekvipotens halmazoknak lehetővé kell tenniük az ilyen egy-egy megfeleltetést;
a halmaz egy része számosságban (azaz elemszámban) nem haladja meg a teljes halmazt.

A halmazok hatványelméletének felépítése előtt a halmazok jellemzőikben különböztek egymástól: az üres / nem üres és a véges / végtelen, illetve a véges halmazok az elemek számában is különböztek. A végtelen halmazokat nem lehetett összehasonlítani.

A halmazok ereje lehetővé teszi a végtelen halmazok összehasonlítását. Például a megszámlálható halmazok a "legkisebb" végtelen halmazok.

Egy halmaz számosságát jelöli . Néha vannak jelölések és . $A$ $|A|$ $\overline {\overline {A}}$ $\#A$ ${\mathrm {card}}(A)$

Definíció

Ha a választási axiómát igaznak fogadjuk el, akkor egy halmaz számosságát formálisan a legkisebb sorszámként határozzuk meg , amely alatt bijektív megfeleltetés állapítható meg és között . Ezt a meghatározást a kardinális számok Neumann -eloszlásának is nevezik . $\alpha$ $x$ $\alpha$

Ha nem fogadjuk el a választás axiómáját, akkor más megközelítésre van szükség. A halmaz számosságának legelső definíciója (amely benne van Cantor munkájában , és kifejezetten kimondja Frege-ben és a Principia Mathematica -ban is) a számosságban ekvivalens halmazok osztálya . A ZFC elméleten alapuló axiomatikus rendszerekben ez a meghatározás nem alkalmazható, mivel a nem üres gyűjtemény túl nagy ahhoz, hogy beleférjen egy halmaz definíciójába. Pontosabban, ha , akkor létezik az univerzális halmaz injektív leképezése -be , amely alatt minden halmaz -ba megy , ahonnan a méretkorlátozás axiómája alapján az következik, hogy egy megfelelő osztály. Ez a meghatározás használható a típuselméletben és az "új alapokon" , valamint a kapcsolódó axiomatikus rendszerekben. A ZFC esetében a definíciót úgy használhatjuk, hogy a gyűjteményt a legkisebb rangú egyenlő halmazokra korlátozzuk (ez a Dana Scott által javasolt trükk azért működik, mert az adott rangú objektumok gyűjteménye egy halmaz). $x$ $[X]$ $x$ $x$ $X\neq \varnothing$ $[X]$ $m$ $\{m\}\idő X$ $[X]$ $[X]$

A kardinális számok formális sorrendjét a következőképpen vezetjük be: azt jelenti, hogy a halmaz injektív módon leképezhető -re . A Cantor-Bernstein tétel szerint az egyenlőtlenségek párjából következik, és hogy . A választás axiómája ekvivalens azzal az állítással, hogy bármely halmazra és legalább az egyik egyenlőtlenségre vagy . $|X|\leq |Y|$ $x$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$ $|X|=|Y|$ $x$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$

Egy halmazt a Dedekind szerint végtelennek nevezünk , ha van egy megfelelő részhalmaza , hogy . Egyébként a halmazt Dedekind végesnek nevezzük. A véges kardinális számok egybeesnek a közönséges természetes számokkal vagy nullával, vagyis a halmaz akkor és csak akkor véges , ha valamilyen természetes számra vagy -ra (ha a halmaz üres ). Az összes többi halmaz végtelen . A választás axiómájától függően bebizonyítható, hogy a Dedekind-definíciók egybeesnek a standard definíciókkal. Emellett igazolható, hogy a természetes számok halmazának ( alef-nulla , vagy aleph-0, - a név a héber ábécé első betűjéből származik ) számossága a legkisebb végtelenül nagy kardinális szám, azaz , bármely végtelen halmazban van a számosságnak egy részhalmaza . A sorrendben következő bíborszámot jelöljük , és így tovább, az alefák száma végtelen. Bármely sorszám megfelel egy kardinális számnak , és így bármilyen végtelenül nagy kardinális szám leírható. $x$ $Y$ $|X|=|Y|$ $x$ $|X|=|n|=n$ $n$ $n=0$ $\aleph_0$ $\aleph$ $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\alpha$ $\aleph _{\alpha }$

Kapcsolódó definíciók

A természetes számok halmazának számosságát a szimbólum (" aleph - nulla") jelöli . Egy halmazt végtelennek nevezünk, ha számossága nem kisebb (nem kisebb, mint a természetes számok halmazának), tehát a megszámlálható halmazok a "legkisebbek" a végtelen halmazok közül. A következő sarkalatos számok növekvő sorrendben vannak jelölve (ahol az index végigfut az összes sorszámon ). A bíborszámok között nincs legnagyobb: a bíboros számok bármely halmazához van olyan bíborszám, amely nagyobb ennek a halmaznak az összes eleménél. ${{\mathbb N}}$ $\aleph_0$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{{\omega +1)),\dots \aleph _{{\omega _{1)) },\pontok$

Az összes valós szám halmazával ekvivalens halmazokat kontinuum-számosságúnak mondjuk , és az ilyen halmazok számosságát a szimbólum jelöli . A kontinuum hipotézisnek nevezett feltevés . $\mathfrak{c}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

A kardinalitásokra, mint a véges halmazok esetében, vannak fogalmak: "egyenlőség", "nagyobb", "kisebb". Vagyis bármely készlethez , és a három közül csak az egyik lehetséges: $A$ $B$
1. $|A|=|B|$ , vagy és egyenértékűek; $A$ $B$
2. $|A|>|B|$ , vagy erősebb , vagyis olyan részhalmazt tartalmaz, amely ugyanolyan erős , de nem egyforma erősségű; $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$
3. $|A|<|B|$ , vagy erősebb - ebben az esetben olyan részhalmazt tartalmaz, amely egyenértékű a -val , de nem ugyanolyan erős. $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$
- Lehetetlen az a helyzet, amelyben és nem egyformán erősek, ugyanakkor egyiknek sincs a másikkal egyenértékű része. Ez Zermelo tételéből következik . Ellenkező esetben ez összehasonlíthatatlan erők létezését jelentené (ami elvileg lehetséges, ha nem fogadjuk el a választás axiómáját ). $A$ $B$
- A helyzet, amelyben és lehetetlen a Cantor-Bernstein tétel szerint . $|A|>|B|$ $|A|<|B|$
A és halmazokat ekvivalensnek nevezzük, ha van egy halmaznak egy halmazra való egy -egy leképezése . [egy] $A$ $B$ $A$ $B$

Példák

Egy halmazt akkor nevezünk végesnek , ha hatványa ekvivalens a természetes sorozat egy szegmensével valamilyen nem negatív egész szám esetén . A szám a véges halmaz elemeinek számát fejezi ki. A esetén a halmaz nem tartalmaz elemeket (üres halmaz). Ha , akkor nincs injektív leképezés től -ig ( Dirichlet-elv ), és ezért nincs közöttük bijekció . Ezért a készletek és különböző kardinalitásúak. $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ $n$ $n$ $n=0$ $m>n$ $én_{m}$ $Ban ben}$ $én_{m}$ $Ban ben}$

Egy halmazt megszámlálhatónak nevezünk , ha ekvivalens az összes természetes szám halmazával . A megszámlálható készletek a következők: $\mathbb {N}$
- Egy készlet minden természetes . Bijektív egyezés , amely a következőhöz kapcsolódik : . ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $k$ $\mathbb {N}$ ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $n\jobbra n+k$
- Sok . Megfelelés: . ${\mathbb {N}}\pohár \{0\}$ $n\jobbra nyíl n-1$
- Egész számok halmaza . Megfeleltetést kapunk, ha egy végtelen sorozat tagjait a részösszegeihez viszonyítjuk (a sorozat tagjait az előjel figyelembevétele nélkül vesszük). $\mathbb {Z}$ $0+1-2+3-4+5-6+\dots$
- A természetes számpárok halmaza . ${\mathbb {N}}\times {\mathbb {N}}$
- A racionális számok halmaza injektív módon leképeződik egy halmazra (azaz az alak bármely irreducibilis törtrésze injektív módon megfelel egy számpárnak ). Ezért a racionális számok halmaza legfeljebb megszámlálható. De mivel benne van a természetes számok halmaza, legalább megszámlálható. Ennek megfelelően a Cantor-Bernstein tétel szerint pontosan megszámlálható. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {N}}$ $p/q$ $(p,q)\in {\mathbb {Z}}\times {\mathbb {N}}$

Azokat a végtelen halmazokat, amelyek nem ekvivalensek a halmazzal, megszámlálhatatlannak nevezzük. A Cantor-tétel szerint a 0 és 1 számokból álló összes lehetséges végtelen sorozat halmaza megszámlálhatatlan, ennek a halmaznak a hatványát kontinuumnak nevezzük . $\mathbb {N}$

A valós számok halmazának kardinalitása egyenlő a kontinuummal. $\mathbb {R}$

Tulajdonságok

Két véges halmaz akkor és csak akkor ekvivalens, ha ugyanannyi elemből állnak . Vagyis véges halmaz esetén a hatalom fogalma egybeesik a mennyiség szokásos fogalmával.
Végtelen halmazok esetén a halmaz számossága megegyezhet a saját részhalmazának (azaz nem azonos az eredeti halmazéval), például . $|{{\mathbb N}}|=|{\mathbb Z}|$
Ráadásul egy halmaz akkor és csak akkor végtelen, ha tartalmaz egy ugyanolyan erős részhalmazt.
Bármely végtelen halmaz ekvivalens az összes véges részhalmazának halmazával. [2] $A$
Cantor-tétel : bármely A halmaz Boole -ja nagyobb számú, mint A , azaz . $|2^{A}|>|A|$
- Különösen minden halmazhoz létezik erősebb halmaz.
A Cantor-négyzet segítségével a következőket is bebizonyíthatjuk: egy végtelen A halmaz derékszögű szorzata önmagával ekvivalens magával az A halmazzal.
A derékszögű szorzat ereje: $|A\times B|=|A|\cdot |B|$
Befogadás-kizárási képlet két és három halmazhoz: $|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\cup B\cup C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|$
Két és három halmaz szimmetrikus különbségének ereje : $|A\nagyháromszög B|+2\cdot |A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\nagyháromszög B\nagyháromszög C|+2|A\cap B|+2|A\cap C|+2|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+3 |A\cap B\cap C|$

Bíboros számok aritmetikája

A természetes számokkal végzett közönséges aritmetikai műveletek általánosíthatók a kardinális számok esetére. Az is kimutatható, hogy véges kardinális számok esetén ezek a műveletek egybeesnek a számokra vonatkozó megfelelő aritmetikai műveletekkel. Ezenkívül a kardinális számokkal végzett műveletek megtartják a közönséges aritmetikai műveletek számos tulajdonságát.

A következő kardinális szám a

Ha elfogadjuk a választási axiómát, akkor minden bíboros számhoz meg lehet határozni az utána következő számot , és között nincs más kardinális szám . Ha természetesen , akkor a sorrendben következő bíborszám megegyezik a . Végtelen esetén a következő sorszám különbözik a következő sorszámtól. $\kappa$ $\kappa ^{+}>\kappa$ $\kappa$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $\kappa +1$ $\kappa$

V jelöli a szám előző bíborszámát, ha van ilyen; egyébként ,. $\kappa ^{-}$ $\kappa$ $\kappa ^{-}=\kappa$

Bíborszámok hozzáadása

Ha a és halmazoknak nincs közös eleme, akkor a számosságok összegét az egyesülésük számossága határozza meg . Ha vannak közös elemek, az eredeti halmazok helyettesíthetők azonos számosságú, nem metsző halmazokkal – például úgy, hogy , és -re cseréljük . $x$ $Y$ $x$ $X\time\{0\}$ $Y$ $Y\times\{1\}$

Nulla semlegesség az összeadás tekintetében:

\kappa +0=0+\kappa=\kappa

Aszociativitás :

(\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu )

Kommutativitás :

\kappa +\mu =\mu +\kappa

Az összeadás monotonitása (nem csökkenő) mindkét argumentumban:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .

Ha a választás axiómáját igaznak fogadjuk el, akkor két végtelen kardinális szám összege könnyen kiszámítható. Ha a vagy számok egyike végtelen, akkor $\kappa$ $\mu$

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Kivonás

A választás axiómájától függően bármely végtelen bíborszám és tetszőleges bíborszám esetén a létezése , amelyre , egyenértékű az egyenlőtlenséggel . Ez akkor és csak akkor egyedi (és egybeesik a -val ) . $\sigma$ $\mu$ $\kappa$ $\mu+\kappa=\sigma$ $\mu \leq \sigma$ $\kappa$ $\sigma$ $\mu <\sigma$

Bíboros számok szorzása

Két kardinális szám szorzatát a halmazok derékszögű szorzatával fejezzük ki: $|X|\cdot |Y|=|X\x Y|$

Nulla tulajdonság:

\kappa \cdot 0=0\cdot \kappa =0

\kappa \cdot \mu =0\rightarrow \kappa =0\lor \mu =0

Mértékegységsemlegesség a szorzás tekintetében:

\kappa \cdot 1=1\cdot \kappa =\kappa

Aszociativitás :

(\kappa \cdot \mu )\cdot \nu =\kappa \cdot (\mu \cdot \nu )

Kommutativitás :

\kappa \cdot \mu =\mu \cdot \kappa

A szorzás monotonitása (nem csökkenő) mindkét argumentum tekintetében:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \leq \mu \cdot \nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \leq \nu \cdot \mu .

A szorzás eloszlása az összeadás tekintetében:

\kappa \cdot (\mu +\nu )=\kappa \cdot \mu +\kappa \cdot \nu

(\mu +\nu )\cdot \kappa =\mu \cdot \kappa +\nu \cdot \kappa

Az összeadás analógiájával két végtelen kardinális szám szorzata könnyen kiszámítható a választás axiómája tiszteletben tartása mellett. Ha a és számok különböznek nullától, és legalább az egyik végtelen, akkor $\kappa$ $\mu$

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

osztály

A választási axiómától függően bármely kardinális számpár és , ahol végtelen és nem egyenlő nullával, létezése , amelyre , egyenlő az egyenlőtlenséggel . Ez akkor és csak akkor egyedi (és egybeesik a -val ) . $\pi$ $\mu$ $\pi$ $\mu$ $\kappa$ $\mu \cdot \kappa=\pi$ $\mu \leq \pi$ $\kappa$ $\pi$ $\mu <\pi$

Bíboros számok hatványozása

A hatványozás meghatározása a következő:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

ahol az összes függvény halmazát jelöli től -ig . $X^{Y}$ $Y$ $x$

\kappa ^{0}=1

(különösen, ), lásd Üres funkció

0^{0}=1

1\leq \mu \rightarrow 0^{\mu }=0

1^{\mu }=1

\kappa ^{1}=\kappa

\kappa ^{{\mu +\nu }}=\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\nu }

\kappa ^{{\mu \cdot \nu }}=(\kappa ^{\mu })^{\nu }

(\kappa \cdot \mu )^{\nu }=\kappa ^{\nu }\cdot \mu ^{\nu }

Monoton:

{\displaystyle (1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\rightarrow \nu ^{\kappa }\leq \nu ^{\mu ))

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^{\nu }\leq \mu ^{\nu }

Jegyezd meg, mekkora a Boole -féle hatvány, és így minden halmaz esetében (lásd a Cantor-féle átlós módszert ). Ez azt jelenti, hogy a bíborszámok között nincs legnagyobb (mivel bármely bíborszámhoz megadható nagyobb szám is ). Valójában az összes kardinális szám osztálya helyes (bár a halmazelméleti axiómarendszerek egy részében ez nem bizonyítható - ilyen például az "Új alapok" rendszere ). $2^{{|X|}}$ $x$ $2^{{|X|}}>|X|$ $x$ $\kappa$ $2^{\kappa }$

Ebben a részben minden további állítás a választás axiómájára támaszkodik.

Ha a és véges számok nagyobbak, mint 1, és végtelen bíborszám, akkor Ha a kardinális szám végtelen, és végesen különbözik a nullától, akkor . $\kappa$ $\mu$ $\nu$ $\kappa ^{\nu }=\mu ^{\nu }.$ $\kappa$ $\mu$ $\kappa ^{\mu }=\kappa$

Ha és , és ezek közül legalább az egyik végtelen, akkor $\kappa \geq 2$ $\mu \geq 1$

{\displaystyle \max\{\kappa ,2^{\mu }\}\leq \kappa ^{\mu }\leq \max\{2^{\kappa },2^{\mu }\))

König tételével igazolható, hogy bármely végtelen kardinális számra a következő egyenlőtlenségek teljesülnek: $\kappa$

{\displaystyle \kappa </kappa ^{\operátornév {cf} (\kappa )))

\kappa <\operátornév {cf} (2^{\kappa })

ahol a véglegességet jelöli . $\operátornév {cf} (\kappa )$ $\kappa$

Gyökerek kinyerése

Ha megfigyeljük a választás axiómáját, akkor minden végtelen bíboroshoz és véges bíboroshoz létezik olyan bíboros szám , hogy , és . $\kappa$ $\mu>0$ $\nu$ $\nu ^{\mu }=\kappa$ $\nu=\kappa$

Logaritmusok

A választás axiómájától függően nem mindig létezik olyan kardinális szám , amely teljesíti a feltételt , ha végtelen és véges . Ha létezik ilyen, akkor végtelen és kisebb, mint , és bármely véges kardinális szám is kielégíti az egyenlőséget . $\lambda$ $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\kappa$ $\mu>1$ $\lambda$ $\kappa$ $\nu>1$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

Egy végtelen kardinális szám logaritmusa az a legkisebb kardinális szám , amely teljesíti a feltételt . Annak ellenére, hogy a végtelenül nagy kardinális számok logaritmusaiból hiányzik néhány olyan tulajdonság, amely a pozitív valós számok logaritmusára jellemző, hasznosnak bizonyulnak a matematika bizonyos területein - különösen a topológiai kardinális invariánsok vizsgálatában. terek. $\kappa$ $\mu$ $\kappa \leq 2^{\mu }$

Continuum hipotézis

A kontinuumhipotézis szerint és között nincs más kardinális szám . A kardinális számot is jelöljük , és a kontinuum (vagyis a valós számok halmaza ) számosságát jelöli. Ebben az esetben . Az általánosított kontinuum - hipotézis szigorúan tagadja a kardinális számok létezését bármely végtelen halmaz esetén . A kontinuumhipotézis független a halmazelmélet standard axiomatizálásától, azaz a Zermelo-Fraenkel axiómarendszertől a választási axiómával kombinálva (lásd Zermelo-Fraenkel halmazelmélet ). $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ $2^{\aleph_0}$ $\mathfrak{c}$ $2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}$ $|X|$ $2^{{|X|}}$ $x$

Lásd még

Sorszáma

Jegyzetek

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Általános algebra. 1. kötet - M., Nauka, 1990. - p. 31
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Általános algebra. 1. kötet - M., Nauka, 1990. - p. 32

Irodalom

A. A. Bolibrukh, Hilbert problémái (100 évvel később), 2. fejezet Hilbert első problémája: a kontinuum hipotézis Archiválva : 2004. június 3., a Wayback Machine , Mathematical Education Library, 2. szám
R. Courant, G. Robbins: Mi a matematika? fejezet, 4. §.
Választható matematika tantárgy. 7-9 / Össz. I. L. Nikolskaya. - M . : Oktatás , 1991. - S. 109-110. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
Brudno A. L. Valós változó függvényeinek elmélete. - M. : Nauka, 1971. - 119 p.

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion