Kontinuum (halmazelmélet)

A halmazelméletben a kontinuum az összes valós szám halmazának hatványa (vagy kardinális száma ) . [1] Kis latin c betűvel jelölve törő stílusban : . Azt a halmazt, amely egy kontinuum számosságával rendelkezik, kontinuum [2] halmaznak nevezzük. $\mathfrak{c}$

A "kontinuum" kifejezés jelentheti magát a valós számok halmazát, vagy akár bármilyen kontinuum halmazt is.

Tulajdonságok

A kontinuum egy megszámlálható halmaz Boole -értékének hatványa .
A kontinuum egy megszámlálható halmaz Boole-függvényének számosságaként a megszámlálható számosságot meghaladó végtelen számosság [3] . A halmazelméletben a választási axiómával a kontinuum, mint bármely végtelen számosság, alef , és ha az alefák sorozatában a kontinuum sorszámát ( ) betűvel jelöljük , azaz . $\zeta$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\zeta }$ $\zeta >0$ $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq \aleph _{\zeta }={\mathfrak {c}}$
A végtelen Boole-számok sorozatában [4] a kontinuum . ${\displaystyle \gimel _{\xi ))$ ${\mathfrak {c}}=\gimel _{1}$
Azt a feltevést, hogy a megszámlálható és a kontinuum között nincs köztes hatvány, kontinuumhipotézisnek nevezzük . A halmazelméletben a választási axiómával vagy vagy -ként van megfogalmazva , ahol az alefák sorozatában a kontinuum korábban bevezetett száma. Az általánosított kontinuum hipotézist úgy fogalmazzuk meg, mint bármely ordinális esetében . $\mathfrak{c} = \aleph_1$ ${\displaystyle \gimel _{1}=\aleph _{1))$ $\zeta=1$ $\zeta$ ${\displaystyle \gimel _{\xi }=\aleph _{\xi ))$ $\xi$
A kontinuum megszámlálható derékszögű foka egy kontinuum: , és ezért minden nullától eltérő véges [5] A kontinuum derékszögű foka is kontinuum: . ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ $(\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}){\mathfrak {c}}^{n}={\mathfrak {c}}$
A halmazelméletben a választási axiómával a halmazok legfeljebb egy kontinuumcsaládjának egyesülésének számossága, amelyek mindegyike legfeljebb maga a kontinuum, nem haladja meg a kontinuumot, azaz szabályos. $\aleph _{\zeta +1}={\mathfrak {c}}^{+}$
A legfeljebb megszámlálható, legfeljebb megszámlálható halmazokból álló családok uniójának kardinalitása legfeljebb megszámlálható, vagyis egy hatványosztály szakasza [6] ( nagy [7] részleges rendként ), amelynek alsó osztálya legfeljebb megszámlálható hatványok, leküzdhetetlen „ Püthagorasz szerint ” [8] , vagyis a halmazelméletben a választás axiómájával szabályos. Következésképpen a kontinuum (valamint a ) elérhetetlen "Püthagorasz szerint" legfeljebb megszámlálható hatványokból - nem kapható meg legfeljebb megszámlálható számú, legfeljebb megszámlálható hatvány kombinálásával. $\aleph_1$ $\aleph_1$
Ha egy kontinuum halmazt véges vagy megszámlálható számú részre osztunk fel, akkor legalább az egyik résznek kontinuum sokszínűsége lesz. Következésképpen a halmazelméletben a választási axiómával a kontinuum megszámlálhatatlansága megszámlálhatatlan.

A kifejezés eredete

Az egypontosnál több folytonos ("kontinuum") sorrendet , vagyis az összefüggő természetes topológiájú rendeket eredetileg kontinuumoknak nevezték . A sorrendet tekintve ez azt jelenti, hogy bármely része Dedekind .

A kontinuum egészének lehetnek minimális és maximum elemei, de végei lehetnek „nyitottak” és „zártak”.

A minimális (azaz bármely kontinuumban lévő) kontinuum a valódi egyenes (nyitott és zárt végekkel is).

Bármilyen sorrend kiegészíthető kontinuummá, ami azt jelenti, hogy a kontinuumok végtelenül nagy kardinalitásúak lehetnek . A kardinális sorozatban jelölésük van, ahol a kontinuum sorszáma. ${\mathfrak {c}}_{\xi }$ $\xi$

A rendelés minimális teljesítése a kontinuumig úgy történik, hogy a réseket további pontokkal, az ugrásokat pedig a (0, 1) szegmensekkel végtelenítjük.

Ezt követően a „kontinuum” kifejezés – miután túllépte a konkrét ordinális megfontolások határait – a halmazelméletben (és utána – a matematika többi részében) leszűkült a megfelelő valós vonalra, és a „kontinuum ereje” lett. ennek megfelelően az ereje. A jövőben a kontinuum erejét kezdték "kontinuumnak" nevezni . Ezzel szemben a topológiában ezt a kifejezést kiterjesztették bármely összefüggő kompakt Hausdorff -topológiára (összekapcsolt kompakt halmazra), függetlenül attól, hogy az adott topológia sorrendi eredetű-e, míg néhány régi értelemben vett kontinuumra (például valós vonalra) nyitott végű) a tömörség elvesztése miatt már nem minősülnek annak. Jelenleg a „kontinuum” kifejezés eredeti értelemben vett használata főleg csak a viszonylag régi irodalomban található. ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}_{0}$ $\mathfrak c$

Példák

Példák kontinuum-számosságú halmazokra:

A valós egyenes (a valós számok halmaza ) összes pontja. $(-\infty,+\infty)$ $\mathbb {R}$
Minden szegmenspont . $[0, 1]$
A sík összes pontja (vagy -dimenziós tér , ). $\mathbb {R} ^{2}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n\neq 0$
Az összes irracionális szám halmaza.
Az összes transzcendentális szám halmaza.
Egy megszámlálható halmaz összes részhalmazának halmaza.
Az összes részrendelés halmaza egy megszámlálható halmazon.
A természetes számok összes megszámlálható halmaza .
Valós számok összes megszámlálható halmaza .
Az összes folytonos függvény halmaza . $\R \ to \R$
A sík (vagy ) összes nyitott részhalmazának halmaza . $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
A sík összes zárt részhalmazának halmaza (vagy ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
A sík (vagy ) összes Borel -részhalmazának halmaza . $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Kántor készlet

Jegyzetek

↑ Khinchin A. Ya. Nyolc előadás a matematikai elemzésről. - M.-L., Gostekhizdat, 1948. - p. tizenegy
↑ Matematikai útmutató Kurinnaya G. Ch.
↑ Lásd a végtelen halmazt .
↑ A végtelen logikai értékek sorozatát a következőképpen definiáljuk: ; ; . $\gimel _{0}=\aleph _{0}$ $\gimel _{\xi +1}=|{\mathcal {P))(\gimel _{\xi })|$ ${\displaystyle \gimel _{\sup u}=\sup _{\xi \in u}\gimel _{\xi ))$
↑ Lásd véges halmaz .
↑ A rovarok előrendelésének felosztása két különálló osztályra: felső és alsó. Bármely elem, amely kisebb vagy egyenlő, mint bármelyik alsó elem, maga az alsóban, nagyobb vagy egyenlő, mint bármelyik felső, maga a felsőben van. Ha valamelyik osztály üres, akkor a szakasz nem megfelelő.
↑ Valamilyen módot kell használni a nagy objektumokhoz kapcsolódó formai bonyolultságok megoldására: elméletek osztályokkal, merítés egy univerzális halmazba stb.
↑ Ő maga mondta: az egység a létezést generálja, a kettő pedig egy határozatlan halmazt.