Vektor (geometria)

A vektor egy egyenes irányított szakasza, vagyis olyan szakasz, amelynél meg van jelölve, hogy a határpontjai közül melyik a kezdete és melyik a vége [1] .

Egy pontból induló és egy pontban végződő vektort általában jelöléssel jelöljük . A vektorokat kis latin betűkkel is jelölhetjük, felettük nyíllal (néha kötőjellel), például . Egy másik elterjedt jelölés a vektorkarakter egyszerű félkövér szedése: . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ ${\vec {a}}$ ${\mathbf {a}}$

Egy vektor a geometriában természetesen egy transzferrel ( párhuzamos átvitel ) társul , ami nyilvánvalóan tisztázza nevének eredetét ( lat. vektor , hordozó ). Tehát minden irányított szegmens egyedileg definiálja a sík vagy a tér valamilyen párhuzamos transzlációját: mondjuk a vektor természetesen meghatározza azt a transzlációt, amelyben a pont a pontba megy , és fordítva, a párhuzamos fordítást, amelyben a pontba megy , egyetlen irányított szakaszt határoz meg (az egyetlen - ha minden azonos irányú és hosszúságú irányított szakaszt egyenlőnek tekintünk - azaz szabad vektornak tekintjük ; párhuzamos átvitel esetén minden pont ugyanabban az irányban, azonos távolsággal eltolódik , tehát ebben az értelemben ). $\overrightarrow {AB}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {A_{1}B_{1}}=\overrightarrow {A_{2}B_{2}}=\overrightarrow {A_{3}B_{3}}=\pontok$

A vektor fordításként való értelmezése lehetővé teszi számunkra, hogy természetes és intuitív módon kézenfekvő módon bemutassuk a vektorösszeadás működését - két (vagy több) fordítás kompozíciójaként (egymást követő alkalmazásaként); ugyanez vonatkozik a vektor számmal való szorzásának műveletére is.

Alapfogalmak

A vektor két pontból összeállított irányított szakasz, amelyek közül az egyik a kezdet, a másik a vég.

A vektorkoordinátákat a vég- és a kezdőpont koordinátái közötti különbségként határozzuk meg. Például a koordinátasíkon, ha a kezdet és a vég koordinátái adottak: és , akkor a vektor koordinátái: . $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ $T_{2}=(x_{2},y_{2})$ ${\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2} -x_{1},y_{2}-y_{1})$

Egy vektor hossza két pont távolsága , és általában jelölik ${\overrightarrow {V}}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $|{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={ \sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

A vektorok között a nulla szerepét a nulla vektor játssza , amelynek eleje és vége egybeesik ; más vektorokkal ellentétben nincs hozzárendelve semmilyen irány [2] . $T_{1}=T_{2}$

A vektorok koordinátaábrázolásánál nagy jelentőséggel bír a vektor tengelyre vetítésének fogalma (irányított egyenes, lásd ábra) . A vetítés a vektor eleje és vége pontjainak vetületeiből képzett szakasz hossza egy adott egyenesen, és a vetítés pluszjelet kap, ha a vetítés iránya megegyezik a tengely irányával. , egyébként - mínusz jel. A vetítés megegyezik az eredeti vektor hosszával, szorozva az eredeti vektor és a tengely közötti szög koszinuszával; a vektor vetülete a rá merőleges tengelyre egyenlő nullával.

Alkalmazások

A vektorokat széles körben használják a geometriában és az alkalmazott tudományokban, ahol olyan mennyiségek ábrázolására használják, amelyeknek van irányuk (erők, sebességek stb.). A vektorok használata számos műveletet leegyszerűsít – például az egyenesek vagy szakaszok közötti szögek meghatározását, az ábrák területének kiszámítását . A számítógépes grafikában normál vektorokat használnak a test megfelelő megvilágításának megteremtésére. A vektorok használata lehet a koordináta módszer alapja .

A vektorok típusai

Néha ahelyett, hogy vektornak tekintenénk az összes irányított szegmens halmazát (különbözőnek tekintve az összes irányított szegmenst, amelyeknek a kezdete és vége nem esik egybe), csak ennek a halmaznak egy bizonyos módosítását ( faktorkészlet ), azaz néhány irányított szegmenset figyelembe veszünk. egyenlők, ha azonos irányúak és hosszúak, bár lehet eltérő kezdetük (és végük), vagyis az azonos hosszúságú és irányú irányított szegmensek ugyanazt a vektort képviselik; így minden vektorról kiderül, hogy az irányított szegmensek egész osztályának felel meg, amelyek hossza és iránya azonos, de kezdete (és vége) különbözik.

Tehát "ingyenes" , "csúszó" és "rögzített" vektorokról beszélnek . Ezek a típusok a két vektor egyenlőségének fogalmában különböznek egymástól.

Ha a szabad vektorokról beszélünk, minden azonos irányú és hosszúságú vektort azonosítunk;
a csúszóvektorokról szólva hozzáteszik, hogy az egyenlő csúszóvektorok kezdeteinek egybe kell esniük vagy ugyanazon az egyenesen kell feküdniük, amelyen az ezeket a vektorokat reprezentáló irányított szegmensek fekszenek (hogy egy másik elmozdulással kombinálható legyen abban az irányban, amelyet maga beállít );
ha a fix vektorokról beszélünk, azt mondják, hogy csak az azonos irányú és origójú vektorokat tekintik egyenlőnek (vagyis ebben az esetben nincs faktorizáció: nincs két különböző origójú fix vektor, amelyet egyenlőnek tekintenének).

Formálisan:

Azt mondják, hogy a szabad vektorok és egyenlőek, ha vannak olyan pontok , amelyek négyszögei és paralelogrammák . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $E$ $F$ $ABFE$ $CDFE$

A és csúszóvektorokat egyenlőnek mondjuk, ha $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

pontok ugyanazon az egyenesen vannak $A,B,C,D$
vektorok és egyenlőek egymással szabad vektorokként. $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$

A csúszóvektorok különösen hasznosak a mechanikában . A csúszóvektor legegyszerűbb példája a mechanikában a merev testre ható erő . Az erővektor origójának azon egyenes mentén történő átvitele, amelyen fekszik, nem változtatja meg az erőnyomatékot egyetlen pontban sem; áthelyezése egy másik egyenesre, még ha nem is változtatja meg a vektor nagyságát és irányát, változást okozhat a nyomatékában (még szinte mindig is lesz): ezért a pillanatszámításnál az erőt nem szabad szabadnak tekinteni. vektor, vagyis nem tekintheti egy szilárd test tetszőleges pontjára alkalmazva.

Azt mondjuk, hogy a és rögzített vektorok egyenlőek, ha a és és és a pontok páronként egybeesnek . $\overrightarrow {AB}$ $\\overrightarrow {CD}$ $A$ $C$ $B$ $D$

Az egyik esetben egy irányított szegmenst vektornak nevezünk, más esetekben pedig a különböző vektorok az irányított szegmensek különböző ekvivalenciaosztályai , amelyeket valamilyen konkrét ekvivalenciareláció határoz meg . Sőt, az ekvivalencia reláció is eltérő lehet, ami meghatározza a vektor típusát („szabad”, „fix” stb.). Egyszerűen fogalmazva, egy ekvivalencia-osztályon belül az abban szereplő összes irányított szegmens tökéletesen egyenlőnek minősül, és mindegyik egyformán képviselheti az egész osztályt.

A vektorokon végzett összes művelet (összeadás, szorzás egy számmal, skalár- és vektorszorzatok, a modulus vagy hossz kiszámítása, a vektorok közötti szög stb.) elvileg minden vektortípusra azonosan definiált, a típusok közötti különbség csökken ebben a tekintetben csak a csúszó és rögzített vektorok esetében korlátozzák a műveletek végrehajtásának lehetőségét két különböző eredetű vektor között (például két fix vektor esetén az összeadás tilos - vagy értelmetlen -, ha a kezdetek eltérőek; azonban , minden olyan esetben, amikor ez a művelet megengedett - vagy jelentése ugyanaz, mint a szabad vektoroknál). Ezért gyakran egy vektor típusát egyáltalán nem jelzik kifejezetten, feltételezzük, hogy a kontextusból nyilvánvaló. Sőt, ugyanaz a vektor a probléma kontextusától függően fixnek, csúszónak vagy szabadnak tekinthető, például a mechanikában a testre ható erők vektorai az alkalmazási ponttól függetlenül összegezhetők, amikor megtaláljuk a testet. a tömegközéppont mozgásának, impulzusváltozásainak, stb. vizsgálatát eredményezi, de nem adhatók egymáshoz anélkül, hogy a nyomaték számításánál (statikában és dinamikában is) ne vegyük figyelembe az alkalmazási pontokat.

Vektorok közötti kapcsolatok

Két vektort kollineárisnak nevezünk , ha párhuzamos egyeneseken vagy ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Két vektort egyirányúnak mondunk , ha kollineárisak és ugyanabba az irányba mutatnak, ellentétes irányúnak, ha kollineárisak és különböző irányokba mutatnak. Van egy másik definíció is: két nem nulla vektor , és kollineárisnak nevezzük, ha létezik olyan szám , hogy [3] Három vektort koplanárisnak nevezünk , ha közös origóra redukálva ugyanabban a síkban fekszenek [3] . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ $\alpha$ ${\vec {a}}=\alpha {\vec {b}}$

Koordináta ábrázolás

A vektorokkal való munka során gyakran bevezetnek egy bizonyos derékszögű koordinátarendszert , és ebben határozzák meg a vektor koordinátáit, bázisvektorokra bontva . A bázis szerinti bővítés geometriailag ábrázolható a vektornak a koordinátatengelyekre történő vetületeivel. Ha a vektor kezdetének és végének koordinátái ismertek, akkor magának a vektornak a koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy a vektor végének koordinátáiból kivonjuk a kezdetének koordinátáit.

\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_ {z})

Az alaphoz gyakran koordináta vektorokat választanak , amelyeket a tengelyekkel jelölnek . Ekkor a vektor így írható fel ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ $x,y,z$ ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

Bármely geometriai tulajdonság felírható koordinátákba, ami után a geometriából való tanulmányozás algebraivá válik, ugyanakkor gyakran leegyszerűsödik. Ennek fordítottja általában véve nem teljesen igaz: általában azt szokás mondani [4] , hogy csak azoknak a relációknak van „geometriai értelmezése” , amelyek bármely derékszögű koordinátarendszerben ( invariáns ) állnak fenn.

Műveletek vektorokon

Vektor modulus

Egy vektor modulusa a szakasz hosszával egyenlő szám . Kijelölve: . Egy derékszögű koordináta-rendszerben lévő háromdimenziós vektor esetében a következőképpen számítható ki: $\overrightarrow {AB}$ $AB$ $|\overrightarrow {AB}|$

|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}

Vektor kiegészítés

A koordinátaábrázolásban az összegvektort a kifejezések megfelelő koordinátáinak összegzésével kapjuk meg:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})

Különféle szabályokat (módszereket) használnak az összegvektor geometriai felépítésére , de mindegyik ugyanazt az eredményt adja. Ennek vagy annak a szabálynak az alkalmazását a megoldandó probléma indokolja. ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

Háromszög szabály

A háromszög szabály a legtermészetesebben abból következik, hogy egy vektort fordításként értelmezünk. Nyilvánvaló, hogy két átcsoportosítás és egy bizonyos pont egymást követő alkalmazásának eredménye ugyanaz lesz, mint egy , ennek a szabálynak megfelelő átcsoportosításnak egyidejű alkalmazása. Két vektor összeadásához és a háromszögszabály szerint mindkét vektort egymással párhuzamosan visszük át úgy, hogy az egyik eleje egybeessen a másik végével. Ekkor az összegvektort a kialakított háromszög harmadik oldala adja meg, és annak eleje egybeesik az első vektor elejével, a vége pedig a második vektor végével. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Ezt a szabályt közvetlenül és természetesen általánosítják tetszőleges számú vektor hozzáadására, és szaggatott vonal szabálysá alakul át :

Három pont szabálya

Ha egy szegmens vektort és egy szegmens vektort jelöl , akkor a szegmens vektort jelent . ${\overrightarrow {AB}}$ ${\vec {a}}$ ${\overrightarrow {BC}}$ ${\vec {b))$ ${\overrightarrow {AC}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$

Sokszög szabály

A második vektor eleje egybeesik az első végével, a harmadik eleje - a második végével, és így tovább, a vektorok összege egy vektor, amelynek eleje egybeesik az első kezdetével és a vége egybeesik a -edik végével (vagyis a szaggatott vonalat lezáró irányított szakasz ábrázolja) . Törtvonalszabálynak is nevezik. $n$ $n$

Parallelogram rule

Két vektor összeadásához a paralelogramma szabály szerint mindkét vektort egymással párhuzamosan visszük át úgy, hogy az origójuk egybeessen. Ekkor az összegvektort a rájuk épített paralelogramma átlója adja, a közös origójukból. (A háromszögszabály használatakor könnyen belátható, hogy ez az átló megegyezik a háromszög harmadik oldalával). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

A paralelogramma-szabály különösen akkor hasznos, ha az összegvektort közvetlenül ugyanahhoz a ponthoz kell ábrázolni, amelyhez mindkét kifejezés kapcsolódik - vagyis mindhárom közös origójú vektort ábrázolni kell.

Két vektor összegének modulusa a koszinusztétel segítségével számítható ki :

|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+ 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})

, ahol az és a vektorok közötti szög koszinusza .

\cos({\vec {a)],{\vec {b)))

{\vec {a}}

{\vec {b}}

Ha a vektorokat a háromszögszabály szerint húzzuk meg, és az ábra szerint olyan szöget veszünk - a háromszög oldalai között -, amely nem esik egybe a vektorok közötti szög szokásos meghatározásával, és így a fenti szöggel képletet, akkor az utolsó tag mínuszjelet kap, ami a koszinusztételnek a közvetlen megfogalmazásában felel meg.

Tetszőleges számú vektor összegére egy hasonló képlet alkalmazható, amelyben több koszinuszos tag van: az összegzett halmaz minden vektorpárjára létezik egy ilyen tag. Például három vektor esetén a képlet így néz ki:

|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b } }}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a } },{\vec {b)))+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}}) + 2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).

Vektoros kivonás

A koordináta alakbeli különbség meghatározásához vonja ki a vektorok megfelelő koordinátáit:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})

Egy differenciavektor megszerzéséhez a vektorok elejét összekapcsoljuk, és a vektor eleje a vége lesz , a vége pedig a vége lesz . Ha vektorpontok felhasználásával írjuk, akkor . ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ $\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}$

Vektorok különbségi modulusa

Ezen kívül három vektor alkot egy háromszöget, és a különbségi modulus kifejezése hasonló: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}$

|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}- 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),

ahol az és a vektorok közötti szög koszinusza $\cos({\vec {a)],{\vec {b)))$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}).$

A különbség a koszinusz előtti előjelben található összeg modulus képletétől, miközben gondosan figyelni kell, hogy melyik szöget veszik fel (az összeg modulus képlet változata a háromszög oldalai közötti szöggel, ha a háromszögszabály, megjelenésében nem különbözik ettől a különbségi modulus képletétől, de figyelembe kell venni, hogy itt különböző szögeket veszünk: az összeg esetében a szöget akkor veszik fel, amikor a vektort a vektor végére visszük át. vektor , a különbség modulusának keresésekor az egy ponthoz kapcsolódó vektorok közötti szöget veszik fel; az összeg modulusának kifejezése ugyanazt a szöget használva, mint a különbség modulusának adott kifejezésében, a különbséggel különbözik jel a koszinusz előtt). ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$

Vektor szorzása számmal

Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor egy olyan együttirányú vektort kapunk, amelynek hossza többszöröse. Ha egy vektort megszorozunk egy számmal , akkor egy ellentétes irányú vektort kapunk, amelynek hossza többszöröse. Egy vektor koordináta formájú számmal való szorzata úgy történik, hogy az összes koordinátát megszorozzuk ezzel a számmal: ${\vec {a}}$ $\alpha >0$ $\alpha$
${\vec {a}}$ $\alpha<0$ $|\alpha |$

\alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})

A definíció alapján egy kifejezést kapunk a vektor modulusára, szorozva egy számmal:

|\alpha {\vec {a}}|=|\alpha ||{\vec {a}}|

Csakúgy, mint a számoknál, a vektor önmagához való hozzáadásának műveletei felírhatók számmal való szorzásként:

{\vec {a}}+{\vec {a}}=2{\vec {a}}

És a vektorok kivonása összeadással és szorzással átírható:

{\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})

Abból a tényből kiindulva, hogy a -val való szorzás nem változtatja meg a vektor hosszát, csak az irányt változtatja meg, és a vektor definícióját figyelembe véve a következőt kapjuk: $-egy$

-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA}

Vektorok pontszorzata

Geometriai vektorok esetén a skaláris szorzatot a geometriai jellemzőik határozzák meg, és a következőképpen vezetjük be:

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec { b))

Itt a koszinusz kiszámításához a vektorok közötti szöget veszik fel, amelyet a vektorok által alkotott szög nagyságaként definiálunk, ha egy pontra alkalmazzuk (összevonjuk a kezdetüket).

Ez a kifejezés koordinátákkal átírható (itt a háromdimenziós tér képlete):

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Egy vektor skalárnégyzete a skaláris szorzata önmagával, és a vektor modulusán keresztül számítható ki:

{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}

Vektorok keresztszorzata

Két vektor vektorszorzata és egy olyan vektor , amely merőleges a vektorok síkjára és , hossza megegyezik a vektorok által alkotott paralelogramma területével, és az irányt a jobbkéz szabály határozza meg . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Vektorok vegyes szorzata

Három vektor vegyes szorzata a következőképpen meghatározott szám: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c }})

Ennek az értéknek a modulusa adja meg a vektorokra épített paralelepipedon térfogatát . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Lásd még

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: Szerk. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Bashmakov M. Mi a vektor? // Quantum . - 1976. - 4. sz . - S. 2-5 . (Orosz)
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.

Jegyzetek

↑ Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometria 7-9. - Moszkva: Oktatás, 2010. - 384 p. — ISBN 978-5-09-023915-8 .
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 249..
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Magasabb matematikai kézikönyv. - Moszkva: Astrel, 2006. - 991 p. - ISBN 5-271-03651-0 .
↑ Ez az állítás bizonyos mértékig nyilvánvalóan feltételes, hiszen egy adott fix koordináta-rendszer, ha kívánja, kifejezetten beilleszthető azon objektumok számába, amelyekre relációkat hozunk létre, majd az erre a rögzített koordináta-rendszerre vonatkozó algebrai utasítások újrafogalmazhatók. hogy bármilyen más, tetszőleges koordinátarendszerben lévő rekordok alatt invariánsak.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb