Numerikus függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A numerikus függvény (a matematikában ) olyan függvény , amely egy számtérből (halmazból) egy másik számtérbe (halmazba) hat [1] . A numerikus halmazok természetes ( ), egész számok ( ), racionális ( ), valós ( ) és komplex számok ( ) halmazai, valamint a megfelelő halmazokhoz meghatározott algebrai műveletek . Az összes felsorolt numerikus halmazhoz, kivéve a komplex számokat, egy lineáris sorrendű reláció is definiálva van , amely lehetővé teszi a számok nagyságrendi összehasonlítását. A numerikus terek numerikus halmazok a megfelelő halmazon meghatározott távolságfüggvénnyel együtt . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

A legáltalánosabb esetben a numerikus függvény olyan függvény, amely a valós számok mezőjében vesz fel értékeket, és egy tetszőleges (leggyakrabban) metrikus térben van meghatározva . Ilyen például a halmaz indikátora vagy jellemző funkciója . Egy másik példa a numerikus függvényre a távolságfüggvény (vagy ennek megfelelője a metrika).

A valós vagy komplex számok halmazán megadott numerikus függvényeket valós vagy komplex változók függvényeinek nevezzük, és ezek az elemzés tárgyát képezik :

egy valós változó valós értékű függvényeit figyelembe veszik a számításban ,
Egy komplex változó komplex értékű függvényeit a komplex elemzés során figyelembe veszik .

Az elemzés legfontosabb szempontja a numerikus függvények közelítési rendszer (numerikus és funkcionális sorozatok) formájában történő megjelenítése.

A numerikus függvények általános tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyekkel tetszőleges metrikus terek leképezései rendelkezhetnek (például folytonosság), valamint számos olyan tulajdonsággal, amely közvetlenül kapcsolódik a numerikus terek természetéhez. Ezek a tulajdonságok

differenciálhatóság , integrálhatóság , összegezhetőség , mérhetőség (tetszőleges numerikus függvényekre);

és a tulajdonságokat is

paritás ( oddity ), monotonitás (valós változó valós értékű függvényei esetében);
analiticitás , multiplicitás (egy összetett változó komplex értékű függvényeinél).

A numerikus függvényeket a gyakorlatban széles körben alkalmazzák alkalmazott problémák megoldásában.

Tulajdonságok

A rendelési relációhoz tartozó tulajdonságok

Legyen akkor adott függvény $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

függvényt ha - val növekvőnek nevezünk $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)\geq f(y);

függvényt szigorúan növekvőnek nevezünk , ha $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)>f(y);

egy függvényt ha - val csökkenőnek nevezünk $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)\leq f(y);

egy függvényt szigorúan csökkenőnek nevezünk , ha $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Jobbra f(x)<f(y).

Egy (szigorúan) növekvő vagy csökkenő függvényt (szigorúan) monotonnak mondunk.

Periodika

Egy függvényt periodikusnak nevezünk periódussal, ha igaz $f\kettőspont M\-N$ $T\not=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Ha ez az egyenlőség egyikre sem teljesül , akkor a függvényt aperiodikusnak nevezzük . $T\in M,\,T\not =0$ $f$

Paritás

Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha az egyenlőség $f\colon X\ to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Egy függvényt akkor is hívunk, ha az egyenlőség $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Függvény extrém

Legyen egy függvény és a definíciós tartomány belső pontja $f\colon M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ abszolút (globális) maximumpontnak nevezzük, ha $\forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
$x_{0}$ abszolút minimumpontnak nevezzük, ha $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

Függvénygrafikon

Legyen adott egy leképezés . Ekkor a gráfja a halmaz , ahol az és halmazok derékszögű szorzatát jelöli . $F:X\Y-ig$ $\Gamma$
$\Gamma =\{(x,F(x))\mid x\in X\}\subset X\x Y$
$X \x Y$ $x$ $Y$
- A folytonos függvény grafikonja egy kétdimenziós síkon lévő görbe. $F:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
- A folytonos függvény grafikonja egy felület a háromdimenziós térben. $F:{\mathbb {R}}^{2}\to {\mathbb {R}}$

Példák

Dirichlet függvény
- Egyet ad vissza, ha az argumentum racionális szám , ha irracionális , akkor nullát ad vissza . $D(x)={\begin{cases}1,&x\in {\mathbb {Q}}\\0,&x\not \in {\mathbb {Q}}\end{cases}}$
- Meghatározási tartomány: (a teljes numerikus tengely ). $\mathbb {R}$
- Értéktartomány: . $\left\{0,1\right\}$

sgn(x) függvény
- Az érv jelét adja vissza. $\operatorname{sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$
- Meghatározási tartomány: . $\mathbb {R}$
- Értéktartomány: . $\left\{-1,0,+1\right\}$

$y={\sqrt {1-x^{2}}}$
- Meghatározási tartomány: . $\bal[-1,+1\jobb]$
- Értéktartomány: . $\left[0,+1\right]$

Faktoriális
- Az adottnál nem nagyobb természetes számok szorzatát adja eredményül. Ezen kívül, . $0!=1$ $n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}$
- Definíciós tartomány: ( nullával rendelkező természetes számok halmaza ). $\mathbb{N} _{0}$
- Értéktartomány: $\left\{1,2,6,24,120,\ldots\right\}$

Antje (nem)
- Egy szám egész részét adja vissza. $\lfloor x\rfloor =\max \left\{q\in \mathbb{Z } \mid q\leqslant x\right\}$
- Meghatározási tartomány: . $\mathbb {R}$
- Értéktartomány: . $\mathbb {Z}$

A függvény meghatározásának módjai

Szóbeli

A természetes nyelv használata

Y egyenlő x egész részével.

Elemző

A képlet és a szabványos jelölés használata

f(x)=x!

Grafikus

Egy diagram segítségével

Táblázatos

Értéktáblázat segítségével

x	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
y	egy	egy	2	3	5	nyolc	13	21	34	55

Analitikai módszer

elemző módon. Leggyakrabban képletek segítségével határozzák meg azt a törvényt, amely egy argumentum és egy függvény között kapcsolatot létesít. A függvény meghatározásának ezt a módját analitikusnak nevezzük. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy az x argumentum minden egyes számértéke pontosan vagy bizonyos pontossággal megtalálja az y függvény megfelelő számértékét. Ha x és y kapcsolatát egy képlettel adjuk meg, amelyet y-hoz képest oldunk meg, azaz. y = f(x) alakja van, akkor azt mondjuk, hogy x függvénye explicit módon adott. Ha az x és y értékeket valamilyen F(x,y) = 0 alakú egyenlet kapcsolja össze, azaz. a képlet nem megengedett y vonatkozásában, ami azt jelenti, hogy az y = f(x) függvény implicit módon definiált. Egy függvény különböző képletekkel definiálható a feladatterületének különböző részein. Az analitikai módszer a függvények meghatározásának legelterjedtebb módja. A tömörség, a tömörség, az a képesség, hogy a függvény értékét a definíciós tartományból tetszőleges argumentum értékre ki tudjuk számítani, a matematikai analízis apparátusának adott függvényre való alkalmazásának képessége a definíció analitikai módszerének fő előnyei. funkció. A hátrányok közé tartozik a láthatóság hiánya, amelyet kompenzál a grafikon felépítésének képessége és a néha nagyon nehézkes számítások elvégzésének szükségessége.

Példák:

$f\left(x\right)=x^{2}$ ;
$f\left(x,y\right)=x\vagy y$ ;
$f\left(A\right)=\left|A\right|$ ;
$f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{cases}}$

Táblázatos mód

Egy függvény definiálható az összes lehetséges argumentum és értékük felsorolásával. Ezt követően, ha szükséges, a függvény kiterjeszthető a táblázatban nem szereplő argumentumokra interpolációval vagy extrapolációval . Példa erre egy programkalauz, egy vonatmenetrend vagy egy logikai függvényértékek táblázata :

$x$	$y$	$x\land y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$egy$	$0$
$egy$	$0$	$0$
$egy$	$egy$	$egy$

Grafikus mód

Egy függvény grafikusan megadható úgy, hogy a grafikonja pontjait egy síkon megjelenítjük. Ez lehet egy hozzávetőleges vázlat arról, hogyan kell kinéznie a funkciónak, vagy egy műszerből, például egy oszcilloszkópból vett értékek . Ez a specifikáció a pontosság hiányától szenvedhet , azonban bizonyos esetekben más specifikációs módszerek egyáltalán nem alkalmazhatók. Ráadásul ez a beállítási mód a függvény egyik legreprezentatívabb, könnyen érthető és jó minőségű heurisztikus elemzése.

Rekurzív mód

Egy függvény definiálható rekurzívan , azaz önmagán keresztül. Ebben az esetben a függvény egyes értékeit a többi értéke határozza meg.

Példák:

Verbális mód

Egy függvény leírható természetes nyelvi szavakkal valamilyen egyértelmű módon, például a bemeneti és kimeneti értékeinek leírásával, vagy azzal az algoritmussal , amellyel a függvény megfeleltetéseket rendel ezekhez az értékekhez. A grafikus módszer mellett néha ez az egyetlen módja egy függvény leírásának, bár a természetes nyelvek nem annyira determinisztikusak , mint a formálisak.

Példák:

függvény, amely egy számjegyet ad vissza a pi jelölésében a számával;
függvény, amely visszaadja az univerzum atomjainak számát egy adott időpontban ;
olyan függvény, amely egy személyt érvnek vesz, és visszaadja azoknak az embereknek a számát, akik születése után születnek a világra.

Numerikus függvények osztályai

Történelmi vázlat

A fogalom megjelenése

A jelenségek és természeti törvények matematikai modellezése elvezet a függvény fogalmához, amely kezdetben az algebrai függvényekre ( polinomokra ) és a trigonometriára korlátozódik . A többi matematikai fogalmhoz hasonlóan a függvény általános fogalma sem alakult ki azonnal, hanem hosszú utat járt be. Természetesen az ókorban a számítás során az emberek öntudatlanul különféle függvényeket (például négyzetgyököt ), sőt egyenleteket is használtak , de különálló matematikai objektumként, általános analitikus vizsgálatot tesz lehetővé, a függvény csak a szimbolikus kép létrehozása után jelenhetett meg . Vieta algebra (XVI. század) [2] . Napier még a 17. században is bevezette a logaritmikus függvényt egy megkerülő megoldást – kinematikailag határozta meg.

Kezdetben különféle algebrai képletek váltak a vizsgálat tárgyává . Descartes a nem algebrai függőséget csak a legritkább kivételnek tekintette. Számára és Fermat számára a képlet nem egyszerűen számítási algoritmus, hanem egy folyamatosan változó mennyiség (geometriailag ábrázolható) transzformációja egy másikba [3] . Barrow Lectures on Geometry, 1670 - ben a differenciálás és az integráció cselekvéseinek kölcsönös kölcsönösségét geometriai formában állapítják meg (természetesen anélkül, hogy ezeket a kifejezéseket használnák). Ez már a funkció, mint integrált objektum fogalmának teljesen határozott birtoklásáról tanúskodik. Geometriai és mechanikai formában a függvény fogalmát Newtonban is megtaláljuk .

A „függvény” matematikai kifejezés először 1673 -ban jelent meg Leibniznél , ráadásul nem egészen a mai értelmében: Leibniz eleinte függvénynek nevezte a görbéhez kapcsolódó különféle szegmenseket (például pontjainak abszcisszáit). Később azonban a Johann Bernoullival ( 1694 ) folytatott levelezésben a kifejezés tartalma kibővül, és végül az "analitikusan adott függőség" szinonimájává válik.

Az első nyomtatott kurzusban, "Analysis of Infinitely Small for the Knowledge of Curved Lines", Lopital ( 1696 ), a "függvény" kifejezés nem használatos.

Első próbálkozások a

A 18. század elején az összes szabványos funkciót és sok mást kibővítettek. Főleg Eulernek ( 1748 ) köszönhetően definícióik finomodtak. Euler volt az első, aki egyértelműen meghatározta az exponenciális függvényt , valamint a logaritmikus függvényt annak inverzeként, és megadta a sorozatkiterjesztéseket. Euler előtt sok matematikus pozitívnak tekintette például a tompaszög érintőjét ; Euler minden trigonometrikus függvény modern definícióját adta (magát a "trigonometrikus függvény" kifejezést Klugel javasolta 1770 - ben ).

Számos új transzcendentális funkció jelenik meg az elemző alkalmazásokban. Amikor Goldbach és Bernoulli a faktoriális folytonos analógját próbálták megtalálni, az ifjú Euler Goldbachnak írt levelében beszámolt a gammafüggvény tulajdonságairól (1729, a cím a Legendre nevéhez fűződik ). Egy évvel később Euler felfedezte a béta függvényt , majd többször visszatért ehhez a témához. A gamma-függvénynek és a kapcsolódó függvényeknek (béta, zéta, hengeres (Bessel)) számos alkalmazása van az elemzésben és a számelméletben is, és a Riemann-zéta-függvény nélkülözhetetlen eszköznek bizonyult a prímszámok természetes eloszlásának tanulmányozásában. sorozat.

Vincenzo Riccati 1757- ben egy hiperbola szektorait vizsgálva bemutatja a ch, sh hiperbolikus függvényeket (ilyen jelöléssel), és felsorolja főbb tulajdonságaikat. Számos új funkció jelent meg a különféle kifejezések nem integrálhatóságával kapcsolatban. Euler definiálta (1768) az integrál logaritmust (a nevet I. Zoldner javasolta , 1809), L. Mascheroni - az integrál szinust és koszinust ( 1790 ). Hamarosan megjelenik a matematikának egy új ága is: a speciális függvények .

Valamit kezdeni kellett ezzel a tarka gyűjteménnyel, és a matematikusok radikális döntést hoztak: eredetétől függetlenül minden függvényt egyenlőnek nyilvánítottak. Egy függvény egyetlen követelménye a bizonyosság, és ez nem magának a függvénynek az egyediségét jelenti (lehet többértékű ), hanem az értékszámítási módszer egyértelműségét.

A függvény első általános definícióját Johann Bernoulli ( 1718 ) írja: "A függvény egy változóból és egy állandóból álló mennyiség." Ez a nem egészen különálló definíció azon az elgondoláson alapul, hogy egy függvényt analitikus képlettel adjunk meg. Ugyanez a gondolat jelenik meg Euler definíciójában is , amelyet a "Bevezetés a végtelenek elemzésébe" ( 1748 ) című könyvében adott: "A változó mennyiség függvénye egy analitikus kifejezés, amely valamilyen módon ebből a változó mennyiségből és számokból vagy állandó mennyiségekből áll. "

A tizennyolcadik században azonban nem volt kellően világos a különbség a függvény és annak analitikus kifejezése között. Ez tükröződött abban a kritikában, amelyet Euler a húrrezgés-probléma Bernoulli ( 1753 ) megoldásának vetett alá . Bernoulli megoldása azon az állításon alapult, hogy bármilyen függvényt ki lehet bővíteni trigonometrikus sorozattá. Ezt kifogásolva Euler rámutatott, hogy egy ilyen felbonthatóság bármely függvényre analitikus kifejezést adna, míg a függvénynek nem biztos, hogy van ilyenje (ez a "kéz szabad mozgásával rajzolt" gráf segítségével adható meg).

Ez a kritika modern szempontból is meggyőző, mert nem minden függvény teszi lehetővé az analitikus ábrázolást (bár Bernoulli folytonos függvényről beszél, amely, ahogyan Weierstrass 1885 -ben megállapította , mindig analitikusan reprezentálható, de nem biztos, hogy kibővül trigonometrikus sorozat). Euler többi érve azonban már téves [4] . Például úgy vélte, hogy egy függvény trigonometrikus sorozattá való kiterjesztése egyetlen analitikai kifejezést ad neki, míg lehet "vegyes" függvény, amely különböző szegmenseken különböző képletekkel ábrázolható. Valójában az egyik nem mond ellent a másiknak, de abban a korszakban lehetetlennek tűnt, hogy két, egy szakasz egy részén egybeeső elemző kifejezés ne essen egybe annak teljes hosszában. Később sok változó függvényének tanulmányozása során felismerte a korábbi definíció korlátait és felismerte a nem folytonos függvényeket, majd a komplex logaritmus tanulmányozása után a többértékű függvényeket is.

A végtelen sorozatok elméletének hatására, amely szinte bármilyen sima függőség algebrai ábrázolását adta, az explicit képlet jelenléte fokozatosan megszűnt egy függvény számára kötelezővé tenni. Például a logaritmus vagy az exponenciális függvény a végtelen sorozatok határértékeként kerül kiszámításra; ez a megközelítés más, nem szabványos funkciókra is kiterjedt. Elkezdték a sorozatokat véges kifejezésként kezelni, kezdetben anélkül, hogy a műveletek helyességét bármi módon alátámasztották volna, és még a sorozatok konvergenciáját sem garantálták.

"A differenciálszámítás"-tól ( 1755 ) kezdve Euler valójában elfogadja a numerikus függvény modern definícióját, mint a számok tetszőleges megfeleltetését [4] :

Ha bizonyos mennyiségek úgy függnek másoktól, hogy amikor az utóbbi megváltozik, akkor maguk is változáson mennek keresztül, akkor az előbbit az utóbbi függvényeinek nevezzük.

Általános meghatározás

A 19. század eleje óta a függvény fogalmát egyre gyakrabban határozzák meg anélkül, hogy megemlítenék annak analitikus ábrázolását. A " Differenciál- és integrálszámításról szóló értekezésben" ( 1797-1802 ) Lacroix azt mondja: "Minden mennyiséget, amelynek értéke egy vagy sok más mennyiségtől függ, ez utóbbiak függvényének nevezzük", függetlenül attól, hogy értékei kiszámításának módszere megfelelő-e. ismert vagy ismeretlen [5] .

Fourier "Analitikus hőelméletében" ( 1822 ) van egy kifejezés: "A függvény egy teljesen önkényes függvényt jelöl, azaz adott értékek sorozatát, függetlenül attól, hogy egy általános törvény hatálya alá tartozik-e vagy sem, és minden értéknek között és tetszőleges mennyiségben találhatók ". $fx$ $x$ $0$ $x$

Közel a modernhez és Lobacsevszkij definíciójához :

... A függvény általános fogalma megköveteli, hogy egy számot függvénynek nevezzünk, amely mindegyikre adott és vele együtt fokozatosan változik. Egy függvény értéke megadható analitikus kifejezéssel, vagy olyan feltétellel, amely lehetőséget ad az összes szám tesztelésére és az egyik kiválasztására, vagy végül létezhet és ismeretlen maradhat egy függőség ... az elmélet csak abban az értelemben ismeri el a függőség létezését, hogy a számok azonosak másokkal kapcsolatban, hogy úgy értsük meg, mintha az adatok együtt lennének. $x$ $x$ $x$

Így a függvény modern, az analitikai feladatra való hivatkozásoktól mentes, általában Dirichlet -nek tulajdonított definícióját már többször javasolták előtte. Íme Dirichlet meghatározása ( 1837 ):

y az x változó függvénye (a szegmensen ), ha minden x értéke (ezen a szegmensen) egy teljesen határozott y értéknek felel meg , és nem mindegy, hogy ezt a megfelelést hogyan állapítjuk meg - egy analitikus képlet, gráf , táblázat, vagy akár csak szavak. $a\leqslant x\leqslant b$

A 19. század végére a függvény fogalma túlnőtt a numerikus rendszerek keretein. A vektorfüggvények tették ezt először , Frege hamarosan bevezette a logikai függvényeket ( 1879 ), majd a halmazelmélet megjelenése után Dedekind ( 1887 ) és Peano ( 1911 ) megfogalmazta a modern univerzális definíciót.

Példák

Implicit függvények

A függvények más függvények és egyenletek segítségével definiálhatók.

Tegyük fel, hogy adott két változó függvénye, amely teljesíti a speciális feltételeket (az implicit függvénytétel feltételeit), majd a forma egyenlete. $F$

F(x,y)=0

a forma implicit függvényét határozza meg . $y=f(x)$

Általános függvények

Lásd még

Jegyzetek

↑ Egy numerikus függvény definíciós tartománya és értéktartománya a numerikus tér egy részhalmaza.
↑ Juskevics A.P., 1966 , p. 134-135.
↑ Juskevics A.P., 1966 , p. 137-138.
↑ 1 2 Juskevics A.P., 1966 , p. 144-148.
↑ Olvasó a matematika történetéről. Matematikai elemzés. Valószínűségelmélet / Szerk. A. P. Juskevics . - M . : Nevelés, 1977. - S. 84. - 224 p.

Irodalom

Matematika története, A. P. Juskevics szerkesztette három kötetben, M .: Nauka.

1. kötet Az ókortól a modern idők kezdetéig. (1970)
2. kötet A 17. század matematikája. (1970)
3. kötet A 18. század matematikája. (1972)

Iljin V. A., Poznyak E. G. A matematikai elemzés alapjai, 1. rész, 3. kiadás, M., 1971;. 2. rész, 2. kiadás, M., 1980;
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés, 2. kiadás, 1-2. kötet, 1973,
Nikolsky S. M. Matematikai elemzés tanfolyam, 2. kiadás, 1-2. kötet, M., 1975;
Yushkevich A.P. A függvény fogalmának kidolgozásáról // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1966. - 17. sz . - S. 123-150 .