Lineárisan rendezett készlet

A lineárisan rendezett halmaz ( lánc ) olyan részlegesen rendezett halmaz , amelyben bármely elempár összehasonlítható, azaz bármely két elemre és vagy bekövetkezik . $a$ $b$ $a\leqslant b$ $b\leqslant a$

A rendelmélet egyik központi fogalma ; fontos szerepet játszik az általános algebrában , különösen a rendezett csoportokat , a rendezett gyűrűket , a rendezett mezőket tanulmányozzák . A lineárisan rendezett halmazok legfontosabb speciális esete a teljesen rendezett halmazok .

Kapcsolódó definíciók

Egy lineárisan rendezett halmaz egy szakasza annak két részhalmazra való felosztása, így , és bármely és : . A és osztályokat alsó és felső vágási osztályoknak nevezzük. $P$ $A$ $B$ $A\pohár B=P$ $A\cap B=\varnothing$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $A$ $B$

A következő típusú szakaszokat különböztetjük meg:

ugrás – az alsó osztálynak van a legnagyobb eleme, és a felső osztálynak a legkisebb;
Dedekind vágás – nincs a legkisebb elem a felső osztályban, vagy nincs a legnagyobb elem az alsó osztályban, de nem mindkettő;
rés — az alsó osztálynak nincs a legnagyobb eleme, és a felső osztálynak nem a legkisebb.

Egy lineárisan rendezett halmazt folytonosnak nevezünk, ha minden szakasza Dedekind.

Egy lineárisan rendezett halmaz egy részhalmazát sűrűnek nevezzük, ha a halmaz minden nem szingleton intervalluma tartalmazza a -hoz tartozó elemeket . $D$ $P$ $P$ $D$

Tulajdonságok

Egy lineárisan rendezett halmaz egy részhalmaza maga is lineárisan rendezett.

Egy lineárisan rendezett halmaz bármely maximális (minimális) eleme a legnagyobb (legkisebb). [egy]

A valós számok lineárisan rendezett halmaza olyan folytonos lineárisan rendezett halmazként jellemezhető, amelynek sem a legnagyobb, sem a legkisebb eleme nincs, de egy megszámlálható sűrű részhalmazt tartalmaz.

Bármely megszámlálható lineárisan rendezett halmaz izomorf a szegmens valamely részhalmazával, amelynek sorrendje a -ból öröklődik . $[0, 1]$ $\mathbb {R}$

Egy rács akkor és csak akkor izomorf egy lineárisan rendezett egész számok halmazának egy részhalmazával, ha minden részrácsa visszahúzás . $L$

Jegyzetek

↑ Ennek az ellenkezője mindig igaz – minden halmazban a legnagyobb elem a maximum