Gauss-Wanzel tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Gauss-Wanzel-tétel szükséges és elégséges feltételt ad arra, hogy iránytű és egyenes él segítségével szabályos gont $n$ meg lehessen alkotni .

Megfogalmazás

Egy reguláris -gon $n$ akkor és csak akkor állítható elő iránytű és egyenes él segítségével, ha , ahol és nem negatív egész számok , és különböző Fermat-prímek . ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m))$ $k$ $m$ $p_{i}$

Jegyzetek

Ez a feltétel azzal is egyenértékű, hogy az Euler-függvény értéke kettő hatványa. $\varphi (n)$

Jelenleg csak öt Fermat-prím található: $3,\,5,\,17,\,257,\,65537;$ [egy]

ezért (az új Fermat-prímek felfedezése előtt) egy iránytű és egyengető segítségével egy szabályos sokszöget lehet alkotni, amelynek maximális páratlan oldalszáma = 4294967295 .

3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537=2^{32}-1

Szabályos sokszöget akkor és csak akkor lehet megszerkeszteni körzővel és vonalzóval, ha a síkon egy hosszúságú szegmens jelenlétében meg lehet alkotni olyan szakaszt, amelynek hossza egyenlő - a középső szög koszinuszával . az adott -sokszög. Ez viszont akkor és csak akkor igaz, ha az adott koszinusz valós konstruálható szám , azaz egész számokkal , egyszerű aritmetikai műveletekkel és négyzetgyök kivonattal fejezhető ki . $n$ $egy$ $\cos {\tfrac {2\cdot \pi }{n))$ $n$

Történelem

Az ókori geométerek tudták, hogyan kell szabályos -gonokat készíteni a és -hoz . $n$ ${\displaystyle n=2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k))$ ${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 2^{k))$

1796- ban Gauss megmutatta annak lehetőségét, hogy reguláris -gonokat állítson elő , ahol különböző Fermat -prímek vannak . (Itt a kis- és nagybetű az oldalak számának felel meg .) $n$ ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m))$ $p_{i}$ $m=0$ $n=2^{k}$

1837- ben Vanzel bebizonyította, hogy nincs más szabályos sokszög, amelyet iránytűvel és egyenes éllel meg lehetne építeni.

A konstrukció konkrét megvalósításai nagyon munkaigényesek:

A szabályos tizenhétszög építését közvetlenül maga Gauss végezte, de először K. F. von Pfeiderer publikálta 1802 -ben .
F. Yu. Richelo 1832 -ben [2] épített egy szabályos 257 gon- ost .
A Göttingeni Egyetem könyvtárának van egy kézirata, amely I. G. Hermes tíz éves munkájának eredménye , és amely egy szabályos 65537-gon létrehozásának módszerét tartalmazza .

Az egyik túlságosan megszállott végzős diák odáig hajtotta a témavezetőjét, hogy azt mondta neki: "Menj, és dolgozz ki egy szabályos sokszöget, amelynek 65537 oldala van." A végzős hallgató nyugdíjba vonult, hogy 20 év múlva visszatérjen a megfelelő konstrukcióval [3] .J. Littlewood

Linkek

Jacques Cesiano Szabályos sokszögek körzővel és vonalzóval történő megalkotásának története Euklidésztől Gaussig Matematikatörténeti szeminárium 2017. május 4. 18:00, Szentpétervár, POMI , Fontanka 27, 106. terem.

Jegyzetek

↑ Lásd az OEIS A019434 sorozatát .
↑ Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x 257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1832. - T. 9 . – S. 1-26, 146-161, 209-230, 337-358 .
↑ J. Littlewood. Matematikai keverék . - M . : Nauka, 1990. - S. 43. - ISBN 5-02-014332-4 . Archiválva : 2021. július 31. a Wayback Machine -nél

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

Helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még