Folyamatos egyenletes eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. október 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Folyamatos egyenletes eloszlás
Valószínűségi sűrűség
elosztási függvény
Kijelölés	${\mathcal {U}}(a,b)$
Lehetőségek	$a,b\in (-\infty ,\infty )$ , — eltolási tényező , — léptéktényező $a$ $ba$
Hordozó	$a\leqslant x\leqslant b$
Valószínűségi sűrűség	${\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba}}&a\leqslant x\leqslant b\\\\0&\ x<a\ ,\ x>b\end{mátrix}}$
elosztási függvény	${\begin{mátrix}0&x<a\\{\dfrac {xa}{ba))&~~~~~a\leqslant x<b\\1&x\geqslant b\end{mátrix))$
Várható érték	${\frac {a+b}{2))$
Középső	${\frac {a+b}{2))$
Divat	tetszőleges szám a szegmensből $[a,b]$
Diszperzió	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$
Aszimmetria együttható	$0$
Kurtosis együttható	$-{\frac {6}{5}}$
Differenciál entrópia	$\ln(ba)$
Pillanatok generáló függvénye	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
jellemző funkció	${\frac {e^{{itb}}-e^{{ita}}}{it(ba)))$

A folytonos egyenletes eloszlás a valószínűségelméletben egy valós valószínűségi valós változó eloszlása, amely egy bizonyos véges hosszúságú intervallumhoz tartozó értékeket vesz fel , és az a tény, hogy ezen az intervallumon a valószínűségi sűrűség szinte mindenhol állandó.

Definíció

Azt mondják, hogy egy valószínűségi változó folytonos egyenletes eloszlású a szegmensen , ahol , ha a sűrűsége a következő alakú: $[a,b]$ $a,b\in \mathbb{R}$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba)),&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [ a,b]\end{mátrix}}\jobbra..

Írd: . Néha a sűrűségértékek a határpontokon , és másokra módosulnak, például, vagy . Mivel a sűrűség Lebesgue-integrálja nem függ az utóbbi viselkedésétől a nulla mértékhalmazokon , ezek a változások nem befolyásolják a kapcsolódó valószínűségi eloszlások számítását. $X\simU[a,b]$ $x=a$ $x=b$ $0$ ${\frac {1}{2(ba)))$

Elosztási függvény

A fent definiált sűrűséget integrálva a következőt kapjuk:

F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leqslant x)=\left\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{\dfrac {xa}{ba} },&a\leqslant x<b\\1,&x\geqslant b\end{mátrix}}\jobbra..

Mivel az egyenletes eloszlássűrűség a szakasz határpontjain nem folytonos , az eloszlásfüggvény ezekben a pontokban nem differenciálható. Más pontokon a standard egyenlőség érvényes: $[a,b]$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}

Pillanatok függvényének generálása

Egyszerű integrálással megkapjuk a momentumok generáló függvényét :

M_{X}(t)={\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba))))

ahonnan megtaláljuk a folytonos egyenletes eloszlás összes érdekes mozzanatát :

{\mathbb {E}}\left[X\right]={\frac {a+b}{2}}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}

\operatorname {D} \left[X\right]={\frac {(ba)^{2}}{12}}

Általában,

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{{k=0}}^{n}{a^ {k}b^{{nk))}={\frac {b^{{n+1}}-a^{{n+1}}}{(ba)(n+1)}}

Szabványos egységes eloszlás

Ha és , vagyis akkor az ilyen folytonos egyenletes eloszlást standardnak nevezzük . $a=0$ $b=1$ $X\simU[0,1]$

Van egy elemi állítás:

Ha egy valószínűségi változó és , akkor .

X\simU[0,1]

Y=a+(ba)X

Y\sim U[\min(a,b),\max(a,b)]

Így egy standard folytonos egyenletes eloszlásból származó véletlenszerű mintagenerátorral könnyen megszerkeszthető egy mintagenerátor bármilyen folytonos egyenletes eloszláshoz.

Ezenkívül egy ilyen generátor birtokában és egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényével fordított függvény ismeretében tetszőleges (nem feltétlenül egyenletes) folytonos eloszlású mintagenerátort készíthetünk az inverz transzformációs módszerrel . Ezért a szabványos egyenletes eloszlású valószínűségi változókat néha alapvető valószínűségi változóknak nevezik .

Vannak olyan parciális transzformációk is, amelyek lehetővé teszik, hogy egyenletes eloszlás alapján eltérő típusú véletlenszerű eloszlásokat kapjunk. Így például egy normális eloszlás eléréséhez a Box-Muller transzformációt használjuk .

Lásd még

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó