Sándor polinom

Az Alexander-polinom egy csomóinvariáns , amely egy egész együtthatós polinomot bármilyen típusú csomóra képez le. James Alexander 1923-ban fedezte fel, az első csomópolinomot . 1969-ben John Conway bemutatta ennek a polinomnak a változatát, amelyet ma Alexander-Conway polinomnak hívnak . Ezt a polinomot ki lehet számítani a gombolyagreláció segítségével, bár ennek fontosságát csak a Jones-polinom 1984 -es felfedezéséig ismerték fel . Nem sokkal azután, hogy Conway finomította az Alexander-polinomot, világossá vált, hogy hasonló gombolyag-reláció szerepel Alexander cikkében is. polinomja [1] .

Definíció

Legyen K egy csomó egy 3-gömbön . Legyen X az K csomópont komplementerének végtelen ciklikus lefedése . Ezt a borítást úgy kaphatjuk meg, hogy a csomókomplementet a K csomó Seifert-felülete mentén elvágjuk , és a kapott elosztó végtelen számú másolatát a határhoz ragasztjuk. Az X -re ható fedőtranszformáció t . Jelölje az X egész homológia első csoportját így . A t transzformáció erre a csoportra hat, így felfoghatjuk úgy , mint a modulusát . Alexander- invariánsnak vagy Alexander-modulusnak nevezik . $H_{1}(X)$ $H_{1}(X)$ ${\mathbb {Z}}[t,t^{{-1}}]$

Ez a modul természetesen generálva van. Ennek a modulnak a prezentációs mátrixát Alexander-mátrixnak hívják . Ha az r generátorok száma kisebb vagy egyenlő, mint az s relációk száma, akkor tekintsük az Alexander-mátrix r rendű minorjai által generált ideált . Ez Fitting nullideálja , vagy Alexander ideálja , és nem függ a prezentációs mátrix megválasztásától. Ha r > s , akkor az ideált 0-val egyenlőnek adjuk. Ha az Alexander-ideál fő , akkor ennek az ideálnak a generáló elemét az adott csomópont Alexander-polinomjának nevezzük. Mivel a generátor a Laurent-monommal való szorzásig egyedileg választható , ez gyakran egy bizonyos egyedi formához vezet. Alexander olyan normalizálást választott, amelyben a polinomnak pozitív állandó tagja van. $\pm t^{n}$

Sándor bebizonyította, hogy az Sándor-ideál nem nulla és mindig fő. Így az Alexander-polinom mindig létezik, és nyilvánvaló, hogy ez egy csomóinvariáns, amelyet jelöl . Az egyetlen szálból alkotott csomó Alexander-polinomja 2-es fokozatú, és a csomó tükörképénél a polinom ugyanaz lesz. $\Delta _{K}(t)$

Polinomszámítás

Az alábbi algoritmust az Alexander-polinom kiszámításához J. V. Alexander adta meg cikkében.

Vegyünk egy orientált csomódiagramot n metszésponttal. n + 2 diagramterület van . Az Alexander-polinom megszerzéséhez először egy ( n , n + 2) méretű előfordulási mátrixot készítünk. n sor n metszéspontnak, n + 2 oszlop pedig régióknak felel meg. A mátrixelemek értéke 0, 1, −1, t , − t lesz .

Tekintsünk egy mátrixelemet, amely megfelel valamilyen területnek és metszéspontnak. Ha a tartomány nem szomszédos a metszésponttal, akkor az elem értéke 0. Ha a tartomány szomszédos a metszésponttal, az elem értéke a pozíciótól függ. A jobb oldali ábra a mátrix elemeinek értékét mutatja a metszésponthoz (a csomópont alsó szakaszán a bejárás iránya van jelölve, a felsőnél az irány nem számít). A következő táblázat az elemek értékeit állítja be a területnek az alatta lévő vonalhoz viszonyított helyzetétől függően.

balról a kereszteződésig: − t kereszteződéshez való jog: 1 kereszteződés után balra: t közvetlenül az átkelés után: −1

Töröljünk ki a mátrixból két szomszédos régióknak megfelelő oszlopot, és számítsuk ki a kapott n x n mátrix determinánsát. Attól függően, hogy melyik oszlopot távolította el, a válasz egy tényezővel fog eltérni . A kétértelműség elkerülése érdekében a polinomot elosztjuk t lehető legnagyobb hatványával, és szükség esetén -1-gyel megszorozva pozitív együtthatót kapunk. Az eredményül kapott polinom az Alexander-polinom. $\pm t^{n}$

Az Alexander-polinom a Seifert-mátrixból számítható .

Alexander munkája után R. Fox fontolóra vette a csomócsoport bemutatását , és egy nem kommutatív számítási módszert javasolt [2] , amely lehetővé teszi a kiszámítását is . Ennek a megközelítésnek a részletes kifejtése megtalálható Crowell és Fox (1963 ) munkájában. $\pi _{1}(S^{3}\backslash K)$ $\Delta _{K}(t)$

Példa polinom létrehozására

Szerkesszük meg az Alexander-polinomot a trefoil számára . Az ábrán láthatók a területek (A0, A1, A2, A3, A4) és a metszéspontok (P1, P2, P3), valamint a táblázatbejegyzések értékei (a metszéspontok közelében).

Sándor lóhere asztala a következő formában lesz:

Pont	A0	A1	A2	A3	A4
P1	-egy	0	-t	t	egy
P2	-egy	egy	-t	0	t
P3	-egy	t	-t	egy	0

Eldobjuk az első két oszlopot, és kiszámítjuk a determinánst: . $-t^{3}-t+t^{2}$

Az eredményül kapott kifejezést elosztva -vel , megkapjuk a shamrock Alexander-polinomját: . $-t$ $t^{2}-t+1$

A polinom alapvető tulajdonságai

Az Alexander-polinom szimmetrikus: minden K csomópontra. $\Delta _{K}(t^{{-1}})=\Delta _{K}(t)$

A fenti definíció szempontjából ez a Poincaré-izomorfizmus kifejezése, ahol a gyűrű törtmezőjének hányadoscsoportja , amelyet -modulnak tekintünk, és a k konjugált -modulja ( abeliként csoport, ez megegyezik a -val , de a lefedő leképezés úgy működik, mint ).

{\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)

G

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

\overline {H_{1}X}

\mathbb {Z} [t,t^{-1}]

H_{1}X

H_{1}X

t

t^{{-1}}

Ezenkívül az Alexander-polinom értéke 1, modulo egyenlő eggyel: . $\Delta _{K}(1)=\pm 1$

A definíció szempontjából ez annak a kifejezése, hogy a csomó komplementere egy homológ kör , amelynek első homológiáját egy fedőtranszformáció generálja . Általánosabban, ha egy 3-sokaság olyan, hogy , van egy Alexander-polinomja , amely egy végtelen ciklikus lefedő tér rendideáljaként van definiálva. Ebben az esetben az előjelig egyenlő a torziós alcsoport sorrendjével .

t

M

\mathrm {rang} (H_{1}M)=1

\Delta _{M}(t)

\Delta _{M}(1)

H_{1}M

Ismeretes, hogy bármely egész együtthatós Laurent-polinom, amely szimmetrikus és az 1. pontban modulo 1, valamilyen csomós Alexander-polinom [3] .

A polinom geometriai jelentősége

Mivel az Alexander-ideál akkor és csak akkor fő, ha a csomócsoport tökéletes ( kommutátora egybeesik a teljes csomócsoporttal). $\Delta _{K}(t)=1$

Topológiailag csonka csomó esetén az Alexander-polinom teljesíti a Fox-Milnor feltételt , ahol van néhány másik Laurent-polinom egész együtthatókkal. $\Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{{-1}})$ $f(t)$

A csomó kettős nemzetségét alul az Alexander-polinom foka határolja.

Michael Friedman bebizonyította, hogy a 3 gömbön lévő csomó topológiailag csonka , vagyis egy 4 gömbön lévő "lokálisan lapos" topológiai korong határai, ha a csomó Alexander-polinomja triviális [4] .

Kaufman [5] az Alexander-polinom felépítését írja le a fizikai modellek állapotainak összegein keresztül. Ennek a megközelítésnek az áttekintését, valamint a fizikával kapcsolatos egyéb kapcsolatokat Kauffman írása ( Kauffman, 2001 ) tartalmazza.

Vannak más kapcsolatok is a felületekkel és a sima 4 dimenziós topológiával. Például bizonyos feltevésekkel megengedhető egy 4-sokaú műtét , amelyben egy kétdimenziós tórusz környékét egy csomópont komplementerével szorozva S 1 -gyel helyettesítjük . Az eredmény egy sima, 4-sokszoros homeomorf az eredetihez képest, bár a Seiberg-Witten invariáns változik (megszorozva az Alexander-csomó polinomjával) [6] .

Ismeretes, hogy a szimmetrikus csomók Alexander-polinomokat határolnak. Lásd a szimmetriáról szóló részt Kawauchi munkájában [3] . Az Alexander-polinom azonban hiányolhat néhány szimmetriát, például az erős reverzibilitást.

Ha a csomó komplementere egy köteg egy körön, akkor a csomó Alexander-polinomja monarén (a magasabb és az alsó tag együtthatója egyenlő ). Legyen egy köteg, ahol a csomó kiegészítése. A monodrómia leképezést jelölje . Ezután hol van az indukált leképezés a homológiában. $\pm 1$ $S\–C_{K}\–S^{1}$ $C_{K}$ $g:S\to S$ $\Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})$ $g_{*}:H_{1}(S)\to H_{1}(S)$

Kapcsolat a műholdas műveletekkel

Legyen egy műholdcsomópont egy műholddal , vagyis van olyan beágyazás , hogy , ahol van egy csomózatlan szilárd tórusz, amely . Akkor . Itt van egy egész szám, amely . $K$ $K'$ $f:S^{1}\szor D^{2}\-S^{3}$ $K=f(K')$ $S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\Delta _{{f(S^{1}\times \{0\})}}(t^{a})\Delta _{{K'}}(t )$ $a\in {\mathbb Z}$ $K'\alhalmaz S^{1}\time D^{2}$ $H_{1}(S^{1}\times D^{2})={\mathbb Z}$

Példa: Összefüggő csomók összegére . Ha egy csavaratlan dupla Whitehead csomó, akkor . $\Delta _{{K_{1}\#K_{2}}}(t)=\Delta _{{K_{1}}}(t)\Delta _{{K_{2}}}(t)$ $K$ $\Delta _{K}(t)=\pm 1$

Az Alexander-Conway polinom

Alexander megmutatta, hogy az Alexander-polinom kielégíti a gombolyag-relációt. John Conway később újra felfedezte ezt egy másik formában, és megmutatta, hogy a gombolyag reláció, valamint a triviális csomó értékének megválasztása elegendő egy polinom meghatározásához. A Conway-változat egy z -beli polinom egész együtthatókkal, amelyet Alexander-Conway-polinomnak (és Conway-polinomnak vagy Conway-Alexander-polinomnak ) jelölnek és neveznek . $\nabla (z)$

Tekintsünk három diagramot az orientált hivatkozásokról . $L_{+},L_{-},L_{0}$

Conway gombolyag kapcsolatai:

$\nabla (O)=1$ (ahol O egy triviális csomódiagram )
$\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})$

A standard Alexander-polinommal való kapcsolatot a reláció adja meg . Itt megfelelően normalizálni kell (szorozva -val ), hogy a skein reláció teljesüljön . Jegyezzük meg, hogy ez Laurent-polinomot ad t 1/2 -ben . $\Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(tt^{{-1}})$ $\Delta _{L}$ $\pm t^{{n/2}}$ $\Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{{1/2}}-t^{{-1/2}})\Delta (L_{0})$

Kapcsolat Khovanov homológiájával

Ozwat és Sabo [7] és Rasmussen [8] munkáiban az Alexander-polinomot olyan komplex Euler-jellemzőjeként mutatják be, amelynek homológiája a vizsgált csomó izotópiainvariánsa , így Floer homológiaelmélete a komplex kategorizálása. az Alexander-polinom. A részletekért lásd a " Khovanov homology " [9] cikket . $K$

Változatok és általánosítások

A HOMFLY polinom a csomók és linkek hasonló, de finomabb változata.

Jegyzetek

↑ Sándor a cikk végén a „vegyes tételek” címszó alatt írja le a gombolyag-relációt, ami miatt nem vették észre. Joan Bierman „ Új nézőpontok a csomóelméletben ” című írásában ( Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), no. 2, 253-287) megemlíti, hogy Mark Kidwell az Alexander-arányra hívta fel a figyelmét. 1970-ben.
↑ Fox, 1961 .
↑ Kawauchi 12. , 1996 .
↑ Freedman, Quinn, 1990 .
↑ Kauffman, 1983 .
↑ Fintushel és Stern (1997) - Csomók, láncszemek és 4-elosztók . Letöltve: 2015. június 9. Az eredetiből archiválva : 2021. június 29. (határozatlan)
↑ Ozsvath, Szabó, 2004 .
↑ Rasmussen, 2003 .
↑ Khovanov, 2006 .

Irodalom

JW Sándor. Csomók és láncszemek topológiai invariánsai // Trans. amer. Math. szoc. . - 1928. - T. 30 , sz. 2 . – S. 275–306 . - doi : 10.2307/1989123 .
R. Crowell, R. Fox. Bevezetés a csomóelméletbe . – Ginn és Társa. 1977 után Springer Verlag, 1963.
Colin C. Adams. Csomókönyv: Alapvető bevezetés a csomók matematikai elméletébe. — Az 1994-es eredeti átdolgozott utánnyomása. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - ISBN 0-8218-3678-1 . (hozzáférhető bevezetés gombolyag relációs megközelítéssel)
R. Fox. Gyors utazás a csomóelméletben, In Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, szerkesztette: MKFort. - Englewood sziklák. NJ: Prentice-Hall, 1961. 120–167 .
Michael H. Freedman, Frank Quinn. 4 sokaság topológiája. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. - V. 39. - (Princeton Mathematical Series). - ISBN 0-691-08577-3 .
Louis Kauffman. Formális csomó elmélet. – Princeton University Press, 1983.
Louis Kauffman. Csomók és fizika. – World Scientific Publishing Company, 2001.
Akio Kawauchi. A csomóelmélet felmérése. - Birkhauser, 1996. (több különböző megközelítést ölel fel, magyarázza az Alexander-polinom különböző változatai közötti kapcsolatokat)
M. Khovanov. Link homológia és kategorizálás . - 2006. - arXiv : math/0605339 .
Ozvath Péter, Szabó Zoltán. Holomorf korongok és csomóinvariánsok // Adv. Math., sz., 58--6. - 2004. - T. 186 , sz. 1 . — 58–116 . - doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . - . - arXiv : math/0209056 .
J. Rasmussen. Virághomológia és csomó kiegészíti . - 2003. - S. 6378 . - . - arXiv : math/0306378 .
Dale Rolfsen. Csomók és linkek. — 2. - Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. - ISBN 0-914098-16-0 . (magyarázza a klasszikus megközelítést az Alexander-invariáns használatával; csomó- és linktábla Alexander-polinomokkal)

Linkek

Matematikai enciklopédia / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Főoldal és Az Alexander-Conway polinom , A csomó atlasz. - csomók és kapcsolatok táblázata Alexander és Conway számított polinomjaival

Csomók és kapcsolatok elmélete
Hiperbolikus	Nyolc (4 1 ) Három fél fordulat (5 2 ) Hajózás (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Percos pár (10 161 ) Csipke (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borrome gyűrűk (63 2) L10a140
műhold	Összetett ( bébi ) egyenes Csomók összege
tórikus	Triviális (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Hétlevelű (7 1 ) Leválasztva (02 1) Hopf (22 1) Salamon (42 1)
Invariánsok	váltakozó Arfa invariáns Hidak száma ( 2-híd ) Brunni link Kiralitás ( visszafordítható ) Filmek száma A kereszteződések száma Vasziljev invariáns Hiperbolikus térfogat Khovanov homológiája Nemzetség Csomópont csoport Fogaskerékcsoport Áttétel Polinomok ( Alexander Kauffman tartó HOMFLY Jones Kaufman ) Csipke eljegyzés Egyszerű csomó ( lista ) Szegmensek száma A háromszínű színezések száma A feloldás száma és feladata
Jelölések és műveletek	Alexander–Briggs jelölés Conway jelölés Docker jelölés Mutáció Reidemeister mozgalom Skene arány
Egyéb	Sándor tétele Berge csomó fonat elmélet Conway gömb Csomópont befejezése Dupla tórusz csomó Réteges csomó Szalag Vágott Csomók összege Tate hipotézisei Csavart Vad Twist szám Seifert felület