Váltakozó sorozatok

A váltakozó sorozat olyan matematikai sorozat , amelynek tagjai felváltva veszik fel az ellentétes előjelek értékeit, azaz:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n} ,\;b_{n}>0

Leibniz jele

Megfogalmazás

A Leibniz-teszt egy váltakozó sorozat konvergenciájának tesztje , amelyet Gottfried Leibniz állított fel . A tétel kijelentése:

Adjunk meg egy váltakozó sorozatot

S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}\geq 0

amelyre a következő feltételek teljesülnek:

$b_{n}\geq b_{n+1}$ , valamilyen számtól ( ), $n\geq N$
$\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0.$

Aztán ez a sorozat összefolyik.

Jegyzetek

Azokat a sorozatokat, amelyek megfelelnek a Leibniz-tesztnek, Leibniz sorozatnak nevezik . Az ilyen sorozatok konvergálhatnak abszolút (ha a sorozat konvergál ), vagy konvergálhatnak feltételesen (ha a modulok sorozata eltér). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n))$

A monoton csillapítás nem szükséges egy váltakozó sorozat konvergenciájához (miközben ez minden sorozat konvergenciájának szükséges feltétele ), így maga a kritérium csak elegendő , de nem szükséges (például a sorozat konvergál). Másrészt a monoton bomlás elengedhetetlen a Leibniz-teszt alkalmazásához; ha hiányzik, akkor a sorozat akkor is eltérhet, ha a Leibniz-teszt második feltétele teljesül. Példa egy divergens váltakozó sorozatra, amelyben nem monoton kifejezések csökkennek [1] : $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n))))$

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}+\pontok +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n}}+\pontok

Ennek a sorozatnak a megduplázott részösszegei egybeesnek a harmonikus sorozatok részösszegeivel, ezért korlátlanul nőnek.

Bizonyítás

Bizonyíték

Tekintsük az és a sorozat két részösszegének sorozatát . ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n))$ ${\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1))$

Az első sorozat nem csökken: az első feltétellel. $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$

Ugyanezzel a feltétellel a második sorozat nem növekszik: . $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$

A második sorozat az elsőt majorizálja, azaz bármely . Igazán, ${\displaystyle L_{n}\geq R_{m))$ $m,n\in {\mathbb {N}}$

amikor nálunk van:

m\geq n

L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,

amikor nálunk van:

m\le n

L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.

Ezért mindkettő monoton korlátos sorozatként konvergál.

Továbbra is meg kell jegyezni, hogy: , tehát egy közös határértékhez konvergálnak , ami az eredeti sorozat összege. $\lim _{{m,n}}|R_{n}-L_{{m}}|=0$ $S$

Útközben megmutattuk, hogy a sorozat bármely részösszegére a becslés érvényes . $S_{n}$ $|S-S_{n}|<b_{{n+1}}$

Példa

$\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}{\frac {1}{n}}\;$ . A modulok sorozatának megvan a formája - ez egy harmonikus sorozat , amely eltér egymástól. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

Most a Leibniz-tesztet használjuk:

az átlapolás megtörtént
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n)),\;\forall \;n$
$\lim _{{n\to \infty }}\,{\frac {1}{n}}=0$ .

Ezért, mivel minden feltétel teljesül, a sorozat konvergál (és feltételesen, mivel a modulok sorozata eltér).

Becslés a Leibniz-sorozat fennmaradó részére

Leibniz tételéből következik egy következmény, amely lehetővé teszi egy sorozat (a sorozat maradéka ) hiányos összegének kiszámítása során fellépő hiba becslését:

S_{n}=\sum _{{i=1}}^{n}(-1)^{i}b_{i}.

A konvergens váltakozó sorozat fennmaradó része modulo kisebb lesz, mint az első eldobott tag: ${\displaystyle R_{n}=S-S_{n))$

\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.

Bizonyíték [2]

A szekvencia monoton növekvő, mivel az a kifejezés nem negatív bármely egész számra. A sorozat monoton csökkenő, mivel a zárójelben lévő kifejezés nem negatív. Amint azt már maga Leibniz tételének bizonyítása is bebizonyította, mindkét sorozatnak – és – ugyanaz a határértéke, mint a So kapott , valamint az így kapott és így is , bármely , amit bizonyítani kellett. $S_{{2k}}$ $S_{{2k}}=\sum \limits _{{i=2}}^{{i=n}}{\left({b_{{2i-1}}-b_{{2i}}}\right )},$ $b_{{2i-1}}-b_{{2i}}$ $én.$ $S_{{2k-1}}$ $S_{{2k+1}}=S_{{2k-1}}-\bal({b_{{2k}}-b_{{2k+1}}}\jobb),$ $S_{{2k}}$ $S_{{2k-1}}$ $k\to +\infty .$ $S_{{2k}}\leqslant s\leqslant S_{{2k-1}}$ $s\leqslant S_{{2k+1}}.$ $0\leqslant s-S_{{2k}}\leqslant S_{{2k+1}}-S_{{2k}}=b_{{2k+1}}$ $0\leqslant S_{{2k-1}}-s\leqslant S_{{2k-1}}-S_{{2k}}=b_{{2k}}.$ $k$ $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{{k+1}},$

Váltakozó sorozatok

A váltakozó sorozatokat néha váltakozónak is nevezik [3] , de ez a kifejezés jelenthet minden olyan sorozatot is, amelynek végtelen számú pozitív és negatív tagja van egyszerre.

Lásd még

A Dirichlet -teszt a Leibniz-teszt általánosítása

Irodalom

Bronshtein IN , Semendyaev KA Matematika kézikönyve . - Szerk. 7., sztereotip. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1967. - S. 296.
Vorobjov N. N. Sorozatelmélet. - 4. kiadás — M .: Nauka, 1979. — 408 p. - (Válogatott felsőfokú matematika fejezetek mérnökök és felsőoktatási intézmények hallgatói számára).
Ivanov G. E. 9. fejezet Numerikus sorozat. §3. Sorozatok váltakozó tagokkal // Előadások a matematikai elemzésről. - M. : MIPT, 2000. - T. 1. - S. 299-303. — 359 p. - 800 példányban. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Jegyzetek

↑ Vorobjov, 1979 , p. 84-85.
↑ Beklemishev D.V. Analitikus geometria és lineáris algebra tanfolyam: Proc. egyetemek számára. - 10. kiadás, Rev. — M. : FIZMATLIT, 2005.
↑ Fikhtengolts G. M. Differenciál- és integrálszámítás 2. kötet 302. o.

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele