Dirichlet probléma

A Dirichlet-probléma  egy olyan probléma, amely másodrendű parciális differenciálegyenletek megoldása során jelenik meg. Peter Gustav Dirichletről kapta a nevét .

A probléma leírása

A Dirichlet-probléma a következő: legyen az egyenlet

hol  van a Laplace operátor . Peremfeltételekkel : _

Az ilyen problémát belső Dirichlet-problémának vagy első határérték -problémának nevezzük . Magukat a feltételeket Dirichlet-feltételeknek vagy első peremfeltételeknek nevezzük . A második név tágabban értelmezhető, bármilyen differenciálegyenlet megoldási problémát jelöl, ha a kívánt függvény értéke a régió teljes határán ismert. Abban az esetben, ha a függvény értékeit a régión kívül kell megtalálni , a problémát külső Dirichlet-problémának nevezzük .

Kapcsolódó tételek

Analitikai megoldás

Analitikusan a Dirichlet-probléma megoldható a potenciálelmélet segítségével . Egy homogén egyenlet megoldása a következőképpen ábrázolható: [1] :

hol  van a zöld függvénye a tartomány Laplace-operátorához .

Numerikus megoldás

A Green-függvény analitikus kifejezésének felépítése összetett tartományokban nehéz lehet, ezért az ilyen problémák megoldásához numerikus módszereket kell alkalmazni. Minden módszernek megvannak a sajátosságai az első peremfeltételek figyelembevételével:

• a véges különbség módszerben a régió határán lévő csomópontokra az egyenletet írjuk fel , ahol  a megfelelő csomópont száma;
• a végeselemes módszerben az ilyen peremfeltételeket fő peremfeltételeknek nevezzük , és a mátrix összeállítás szakaszában veszik figyelembe őket; a határhoz tartozó összes súlynál az egyenleteket a következő alakú egyenletek helyettesítik ; majd a Gauss-módszer több lépését végrehajtjuk , hogy a kapott mátrix szimmetrikus legyen [2] .

Fizikai értelmezés

A Dirichlet-feltételek fizikai értelmezése a kívánt mennyiség viselkedése a határon:

• hőmérséklet, ha figyelembe vesszük a hővezetési egyenletet ;
• sebességmezők, ha a Stokes-egyenletet vesszük figyelembe ;
• mágneses vagy elektromos mező, ha figyelembe vesszük a Maxwell- egyenletekből kapott egyenletet (akkor a peremfeltételeket mágneses vagy elektromos peremfeltételeknek nevezzük ).

Lásd még

• Elliptikus egyenlet
• Neumann probléma
• Poisson integrál
• Kelvin konverzió

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 M. M. Szmirnov. Másodrendű parciális differenciálegyenletek. - Moszkva: Nauka, 1964. .
2. ↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Végeselem módszer skaláris és vektoros problémákra. - Novoszibirszk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .