Vektor mező

A vektormező egy olyan leképezés , amely a szóban forgó tér minden pontját egy vektorhoz rendeli az adott pont kezdetével. Például a szélsebesség vektora egy adott időpontban különböző pontokon eltérő, és vektormezővel írható le.

Definíció és variációk

Euklideszi tér

Egy euklideszi (vagy pszeudo-euklideszi ) térben [1] lévő vektormezőt egy térbeli pont vektorfüggvényeként határozzuk meg, amely ezt a teret önmagába képezi le [2] : ${\mathcal {E}}$

{\mathcal {F}}:{\mathcal {E}}\longrightarrow {\mathcal {E}}.

Vagyis a tér minden pontjához egy bizonyos vektor tartozik (a vektormező értéke a tér adott pontjában). Általános esetben ez a vektor különbözik a tér különböző pontjaiban, vagyis általános esetben a vektormező a tér különböző pontjain különböző értékeket vesz fel. A térvektornak a tér minden pontjában van egy bizonyos értéke és egy bizonyos (kivéve azokat az eseteket, amikor a mező eltűnik) iránya ebben a térben [3] .

A szakirodalomban (különösen a régebbiben és a fizikaiban is) egy bizonyos téren lévő vektormezővel kapcsolatban a v elöljárót is használják ( azaz azt mondják, hogy a téren lévő mező és a mező térben ).

Fajta

Tetszik a szakaszok

Általánosabb esetben, amikor az eredeti tér egy sokaság , a vektormezőt az adott sokaság érintőkötegének egy szakaszaként definiáljuk , vagyis egy olyan leképezést, amely minden ponthoz rendel egy vektort az érintőtértől a -ig . $p$ $X_{p}$ $p$

Operátorként

Az elosztón lévő vektormező egy lineáris operátor , amely teljesíti a szorzatszabályt: $x$ $M$ $X:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

X(f\cdot g)=f\cdot (Xg)+(Xf)\cdot g

önkényes . $f,g\in C^{\infty }(M)$

A fizikában

A fizikában a vektormező kifejezés a fentebb leírt általános jelentés mellett speciális jelentéssel bír, főként az alapvető mezőkkel kapcsolatban ( lásd alább ). Ennek a használatnak a jelentése abban rejlik, hogy az alapvető fizikai mezőket potenciáljuk természete szerint osztályozzák, és ezek egyike a vektorterek (például elektromágneses vagy gluon mezők).

Jelölés

A vektormezőt általában egyszerűen a vektorokra elfogadott konvencióknak megfelelően jelölik

a fizikában ez általában direkt félkövér betűkkel vagy a betű feletti nyíllal történik, pl.
- $\mathbf {E}$ vagy ; ${\vec {v}}$
- 4-vektorok esetén az indexjelölés hagyományos, például ; $A_{i}$
a matematikai irodalom egészében nincsenek általánosan elfogadott speciális jelölések a vektorokra általában és a vektormezőkre konkrétan.

Nem ritka, hogy a tér egy pontjától való függést kifejezetten kimondják [4] , például:

\mathbf {B} (p),

hol van egy térbeli pont szimbolikus megjelölése,

p

vagy

\mathbf {B} (\mathbf {r} ),

ahol a tér egy pontját jellemző sugárvektor .

\mathbf {r}

Meglehetősen gyakori, hogy egy vektormezőt a koordináták függvényében adnak meg abban a térben, amelyben a mezőt meghatározták, például:

{\vec {F}}(x,y,z)

vagy (időfüggő mező esetén):

{\vec {F}}(x,y,z,t).

A kifejezés története

A mező kifejezést (a térvonalak fogalmával együtt ) ( eng. mező, erővonalak ) Michael Faraday vezette be a fizikába 1830 körül az elektromágneses jelenségek tanulmányozása során .

Az erőterek analitikus elméletének alapjait Maxwell , Gibbs és Heaviside dolgozta ki a 19. század második felében.

A vektormezők speciális esetei

Vektor mezők egy egyenes vonalon

Egy valós változó bármely valós értékű függvénye értelmezhető egydimenziós vektormezőként.

Vektor mezők a síkon

Ha az a sugárvektor , amelynek az adott koordinátarendszerben alakja van , akkor a vektormezőt egy alakú vektorfüggvény írja le $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y),F_{y}(x,y){\big )}.

Vektor mezők 3D térben

Ha az a sugárvektor , amelynek az adott koordinátarendszerben alakja van , akkor a vektormezőt egy alakú vektorfüggvény írja le $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y,z)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}( x,y,z){\big )}.

A háromdimenziós térben a vektormező alábbi jellemzőinek van értelme

Görbevonalas integrál

\int \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

ahol a pont a belső szorzatot jelenti, az íves pálya vektoreleme, amely mentén az integráció megtörténik, a vetület az íves pálya (pozitív) érintőjére, a pálya skaláris eleme (hosszelem), C a konkrét görbe, az integrációs út (általában kellően simának feltételezik) . Egy ilyen integrál talán legegyszerűbb fizikai prototípusa a pontra ható erő munkája , amikor a pont egy adott útvonalon mozog. $\mathbf {dl}$ ${\displaystyle F_{\tau ))$ $\mathbf {F}$ $dl$ $\mathbf {F}$

Forgalom

a zárt hurkú integrál:

\Gamma =\oint \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\oint \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

ahol az integrandus egybeesik a fent leírtakkal, a különbség pedig a C integrációs úton van, amely ebben az esetben definíció szerint zárva van, amit az integráljelen egy kör jelez.

Vektor mező áramlása

${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ az S felületen keresztül S feletti integrálként van definiálva :

\Phi _{F}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dS} =\iint \limits _{S}F_{n}\,dS,

ahol a térvektor vetülete a normál felületre, a „felület vektoreleme”, amely egységnyi normálvektor szorozva a területelemmel . Ennek a szerkezetnek a legegyszerűbb példája az S felületen áthaladó folyadék térfogata , amikor F sebességgel áramlik . $F_{n}$ $\mathbf {dS}$ $dS$

Származék

A vektormező deriváltjának analógja a parciális deriváltok tenzora ( Jakobi ), amely a derékszögű koordinátákban a következő alakú

J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial x}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial z}}(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{y}}{\ részleges x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\partial y))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\ részleges z))(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{z)){\partial x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z)){ \partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}}(x,y,z)\end{bmátrix}}.

Divergencia

a származékok ilyen tenzorának a nyoma . Nem függ a koordinátarendszertől (a koordináta-transzformációk invariánsa, skalár ), derékszögű derékszögű koordinátákban pedig a képlettel számítjuk

\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+ {\frac {\partial F_{z)){\partial z)).

Ugyanez a kifejezés írható fel a nabla szimbolikus operátorral :

\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} .

Az Ostrogradsky-Gauss-tétel lehetővé teszi egy vektormező áramlásának kiszámítását a térdivergencia térfogati integráljával.

Rotor

a vektormező örvénykomponensére jellemző vektor. Ez egy vektor koordinátákkal

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){\partial z }}\jobbra)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ jobb)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\ mathbf {k} ,

ahol i , j és k az x , y és z tengely egységvektorai rendre.

Az emlékezés megkönnyítése érdekében feltételesen ábrázolhatja a rotort vektorszorzatként :

\operátornév {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} .

Gradiens

- a legfontosabb és legegyszerűbb művelet, amely lehetővé teszi, hogy vektormezőt kapjunk skaláris mezőből . Azt a vektormezőt , amelyet egy ilyen művelettel egy f skalármezőre alkalmazunk, f gradiensének nevezzük :

\operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y)),{\frac {\partial f }{\partial z))\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x))\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y))\mathbf {j } +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,

vagy nablával írva :

\operatorname {grad} f\equiv \nabla f.

Az olyan vektormezőt, amelynek divergenciája mindenhol nulla, szolenoidnak nevezzük ; valamilyen más vektormező görbületeként ábrázolható .

Az olyan vektormezőt, amelynek görbülete bármely ponton nulla, potenciálnak ( irrotációs ) nevezzük; valamilyen skalármező (potenciál) gradienseként ábrázolható .

A Helmholtz-tétel érvényes : ha a D tartományban mindenhol egy vektormezőnek van divergenciája és görbülete, akkor ez a mező egy potenciál és egy szolenoid mező összegeként ábrázolható.

Az olyan vektormezőt, amelynél a divergencia és a görbület is mindenhol nulla, harmonikusnak nevezzük ; potenciálja egy harmonikus függvény .

Vektor vonalak

Az integrálgörbe (más néven - vektorvonal , erőtereknél - erővonal , folyadék vagy gáz sebességmezője - áramvonal ; az első kifejezések általánosak, a többiek a kontextustól függően szinonimáik) a mezőre görbének nevezzük. , amelynek érintője a görbe minden pontjában egybeesik a mező értékével: ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {F} {\big (}\mathbf {r} (t){\big )}.

Az erőterek esetében az erővonalak egyértelműen mutatják a térerők hatásának irányát.

Ha a tér kellően kis tartományában a mező nem tűnik el sehol, akkor ennek a tartománynak minden pontján egy és csak egy erővonal halad át. Azok a pontok, ahol a térvektor nulla, szingulárisak, a mező iránya nincs bennük definiálva, és az erővonalak viselkedése ezeknek a pontoknak a közelében eltérő lehet: lehetséges, hogy végtelen számú erővonal átmennek egy szinguláris ponton, de lehetséges, hogy egyik sem megy át.

Egy vektormezőt teljesnek nevezünk, ha annak integrálgörbéi a teljes sokaságon definiáltak.

Vektor mezők n - dimenziós térben

A háromdimenziós térben a vektormezőkre felsorolt összes konstrukció és tulajdonság közvetlenül általánosítható bármely n véges térdimenzióra .

Ráadásul ezeknek az általánosításoknak a többsége meglehetősen triviális, kivéve a forgórész definícióját , amelynek helyes felépítéséhez tetszőleges n -dimenziós esetben, ellentétben a háromdimenziós esettel, a külső , és nem a vektor (amely csak a háromdimenziós esetre van definiálva) szorzata. Ha n = 2, a megfelelő művelet pszeudoszkaláris szorzat formájában történik .

Ezenkívül tetszőleges n esetén bizonyos pontosság szükséges az áramlás meghatározásához. A fő definíciók teljesen analógnak bizonyulnak az ( n − 1) dimenziójú hiperfelületen áthaladó áramlásra.

Fizikai példák

A fizikában a vektortér tipikus példái az erőterek (az erőtér valamilyen erőtér (a test térbeli helyzetétől függően, amelyre ez az erő hat), vagy amely szorosan kapcsolódik a térerősség erősségéhez ).

További jellemző példák a sebességmező (például folyadék vagy gáz áramlási sebessége), az elmozdulási mező (például deformált rugalmas közegben) és még sok más [5] , például az áramsűrűségvektor , a energia fluxusvektor, vagy egyes anyagrészecskék fluxussűrűsége (például diffúzióban), a hőmérséklet-, koncentráció- vagy nyomásgradiens vektora stb.

Néhány további részlet:

elektromágneses mező . Ez a fizikai mező számos példát ad a régi háromdimenziós értelemben vett (általában időfüggő) vektormezőkre: az E intenzitásvektor tere , a mágneses indukciós vektor tere , a vektorpotenciál (háromdimenziós); a matematikai értelemben vett vektormezők is azok függvényei, mint például a Poynting-vektor .
- Az elektromágneses tér egy modernebb (négydimenziós) értelemben vett vektormező egy példája, amint azt alább részletesen ismertetjük (lásd még Elektromágneses potenciál ).
- Az elektromágneses tér speciális esete - elektrosztatikus tér - adja az egyik legegyszerűbb és legfontosabb példát a vektortérre (időtől nem függő háromdimenziós vektortér, az elektrosztatikában az elektromos térerősség).
- Egy másik érdekes speciális esetet ad a magnetosztatika , amely az elektrosztatikától némileg eltérő tulajdonságokkal rendelkező vektorteret tár fel - egy mágneses térerősségű vagy mágneses indukciós örvényteret, ráadásul egy másik vektortérrel - a vektorpotenciálmezővel - társítva.

Gravitációs tér : a klasszikus newtoni gravitációelméletben a gravitációs térerősség egy vektortér, formailag teljesen hasonló az elektrosztatika elektromos térerősségteréhez, kivéve a numerikus együtthatók (állandók) különbségét, beleértve azok előjeleit is. Vegyük észre, hogy az általános relativitáselméletben és az azt általánosító elméletekben a gravitációs tér nem vektor, hanem tenzor , mivel a gravitációt a metrikus tenzor határozza meg .

Folyadék sebességmezeje a hidrodinamikában vagy gáz sebességmezeje az aerodinamikában . A hidrodinamikai analógia a legszemléletesebb a vektoranalízis alapvető konstrukcióinak fizikai megértéséhez. A hidrodinamikai (hidraulikus) értelmezésben a mező a folyadékban lévő sebességmező. A vektormező ebben az esetben egy állandó áramlásnak felel meg (vagyis feltételezzük, hogy a mező csak a térbeli koordinátáktól függ). Ha az áramlás idővel változik, akkor azt egy időtől függő változó vektormezővel kell leírni.

Történelmileg a hidrodinamika óriási hatással volt a vektoranalízis alapvető struktúráinak és terminológiájának kialakítására. Így olyan fogalmak, mint pl

vektormező áramlás,
örvény ( rotor ) és vektortér cirkuláció,
áramvonal

és bizonyos fokig még sok más is (gyakorlatilag mindegyiknek van ha nem is hidrodinamikai eredete, de hidrodinamikai értelmezése).

A kifejezés használatának jellemzői a fizikában

Általánosságban elmondható, hogy a fizikában a vektormező kifejezés ugyanazt jelenti, mint a fentebb leírt matematikában. Ebben az értelemben vektormezőnek nevezhetünk minden olyan vektorértékű fizikai mennyiséget, amely a tér egy pontjának függvénye, gyakran időfüggő is.

Ennek a kifejezésnek azonban van egy sajátos alkalmazása is, amely főként az alapvető fizikai mezők osztályozásában fordul elő. Ebben az esetben a "vektormező" szó azt jelenti, hogy a vektormező ( 4-vektoros vagy magasabb dimenzió, ha absztrakt többdimenziós elméleti modellekről van szó) a legalapvetőbb mennyiség - a potenciál , és nem annak deriváltjai (térerősség ill. a hasonlók). Így például egy elektromágneses mezőt vektormezőnek nevezünk , amelynek potenciálja egy 4 vektoros mező, míg erőssége modern szempontból egy tenzor . A gravitációs teret ebben az értelemben tenzornak nevezzük, mivel a potenciálja egy tenzormező .

A "vektormező" szó gyakorlati szinonimája ebben az értelemben a vektorrészecske kifejezés a modern fizikában (a közeli fogalmakat is felosztva a vektorrészecskéről egy vektormező gerjesztőjeként beszélünk, vagy hagyományosabban fogalmazva. , a vektorrészecske egy vektormező kvantuma ). Egy másik gyakorlati szinonimája a spin 1 részecske vagy spin 1 mező .

Az alapvető mezők közül a vektor (a jelzett értelemben) az elektromágneses ( foton ), a gluon ( erős kölcsönhatások tere ), valamint a masszív vektorbozonok tere - a gyenge kölcsönhatás hordozói . A gravitációs mező a felsoroltakkal ellentétben tenzormező .

A figyelembe vett osztályozással (az alapvető bozonikus tér spinje szerinti osztályozás) a megfelelő mező egyes tulajdonságai közvetlenül összefüggenek, például az azonos töltésű részecskék (ilyen típusú kölcsönhatáshoz kapcsolódóan) vonzzák vagy taszítják, amikor kölcsönhatásba lépnek. Ebben a mezőben az ilyen töltés azonos vagy ellentétes a részecskék és az antirészecskék esetében. A vektortéren keresztül kölcsönhatásba lépő részecskék azonos töltéssel taszítják és vonzzák egymást az ellenkezővel, a részecske-antirészecske pár pedig ellentétes töltéssel rendelkezik (mint pl. az elektromágneses tér esetében) ellentétben a gravitációs tér és a gravitációs töltések tulajdonságaival.

Jegyzetek

↑ Elvileg egy vektormező nem csak euklideszi vagy pszeudoeuklideszi, hanem tetszőleges lineáris vagy affin téren is definiálható hasonlóan, de általában a teret továbbra is véges dimenziósnak tételezzük fel, és feltételezzük, hogy az skaláris szorzat van definiálva rajta (a vektoranalízis alapműveleteinek meghatározásához szükséges , mint pl. divergencia , görbe integrál stb.); a fizikai alkalmazásokban ez leggyakrabban a szokásos fizikai háromdimenziós tér vagy négydimenziós téridő .
↑ Ez a formális matematikai definíció nem tesz különbséget a mezővektorok alaptere és tere között - mivel az egyiket egy számmal ( skalár ) való szorzással kaphatjuk meg a másikból . A fizika szempontjából van némi különbség ezek között a terek között, mivel a térvektort általában más mértékegységekben mérik, így a főtér és a térvektorok tere azonossága némileg tetszőleges ( a mezővektor a főtérben ábrázolható, de ennek a vektornak a hossza feltételes lesz). Mindenesetre a vektormező fogalmának szokásos szabványos bevezetésével ezeknek a tereknek a méretei egybeesnek, ráadásul a mezővektor a főtérhez van kötve abban az értelemben, hogy a mezővektor iránya (ha az nem nulla) teljesen meghatározott abban a térben, amelyen a mező adott, ebben a főtérben bázison (vagy keretben ) bővíthető, bár a tágulási együtthatók és nem lesz dimenzió nélküli (fizikai egységek értelmében) számok.
↑ Ha figyelembe vesszük az időtől függő (azaz időben változó) mezőt, akkor azt értjük, hogy a tér minden egyes pontjában, minden adott időpontban egy meghatározott értéket (nagyságot és irányt) vesz fel. különböző időpontokban, ezek az értékek általában egy ponton eltérőek).
↑ Természetesen ebben az esetben szükség esetén néhány más paramétertől való funkcionális függést is jelezni lehet, például hol van egy pont a térben, valamilyen kiegészítő paraméter (például a forrás töltése). ${\vec {E}}({\vec {r}},Q),$ ${\vec {r))$ $K$
↑ Ezek a példák lehetnek alapvetőbbek vagy kevésbé, de elvileg szinte minden vektorfizikai mennyiség, amely koordinátáktól függ, vektormezőnek tekinthető.

Irodalom

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalízis és a tenzorszámítás elvei. - M . : Felsőiskola, 1966, 251 p.
Kumpyak D. E. Vektor- és tenzorelemzés. Archiválva : 2014. február 27. a Wayback Machine -nál egyetem , 2007, 158 p.
McConnel A. J. Bevezetés a tenzorelemzésbe, geometriai, mechanikai és fizikai alkalmazásokkal. Archív másolat 2014. február 27-én a Wayback Machine -nél - M . : Fizmatlit, 1963, 411 p.
Fikhtengolts G. M. Differenciál- és integrálszámítás tanfolyam III. kötet. - M .: Nauka , 1966.