Béta terjesztés

Béta terjesztés
Valószínűségi sűrűség
elosztási függvény
Kijelölés	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$
Lehetőségek	$\alpha >0$ $\beta>0$
Hordozó	$x\in [0,1]$
Valószínűségi sűrűség	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))$
elosztási függvény	$I_{x}(\alpha ,\beta )$
Várható érték	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Divat	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ számára $\alpha >1,\beta >1$
Diszperzió	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$
Aszimmetria együttható	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$
Kurtosis együttható	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$
Pillanatok generáló függvénye	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\jobbra){\frac {t^{k}}{k!)}}$
jellemző funkció	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$

A béta eloszlás a valószínűségszámításban és a statisztikában abszolút folytonos eloszlások kétparaméteres családja . Olyan valószínűségi változók leírására szolgál, amelyek értéke egy véges intervallumra korlátozódik.

Definíció

f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1 }

ahol

$\alpha ,\beta >0$ tetszőleges rögzített paraméterek, és
$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ a béta függvény .

Ekkor a valószínűségi változó béta eloszlású. Írd: . $x$ $X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$

A béta eloszlás valószínűségi sűrűséggráfjának alakja a paraméterek megválasztásától és a . $\alpha$ $\beta$

$\alpha<1,\ \beta<1$ — a gráf konvex , és a határokon a végtelenbe megy (piros görbe);
$\alpha <1,\ \beta \geq 1$ vagy - a grafikon szigorúan csökken (kék görbe) $\alpha =1,\ \beta >1$
- $\alpha =1,\ \beta >2$ - a gráf szigorúan konvex;
- $\alpha =1,\ \beta =2$ — a grafikon egy egyenes;
- $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ - a gráf szigorúan konkáv ;
$\alpha =1,\ \beta =1$ a görbe megegyezik a szabványos folytonos egyenletes eloszlás sűrűségdiagramjával ;
$\alpha =1,\ \beta<1$ vagy — szigorúan növekvő grafikon (zöld görbe); $\alpha >1,\ \beta \leq 1$
- $\alpha >2,\ \beta =1$ - a gráf szigorúan konvex;
- $\alpha =2,\ \beta =1$ — a grafikon egy egyenes;
- $1<\alpha <2,\ \beta =1$ — a gráf szigorúan homorú;
$\alpha >1,\ \beta >1$ — unimodális grafikon (bíbor és fekete görbék)

Abban az esetben, ha , a valószínűségi sűrűség szimmetrikus (vörös és bíbor görbék), azaz. $\alpha=\beta$ $1/2$

f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]

A béta eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája a következő: $x$

\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))

\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))

A béta-eloszlás egy I. típusú Pearson-eloszlás [1] .
A szabványos folyamatos egyenletes eloszlás a béta eloszlás speciális esete: $\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$ .
A béta eloszlást széles körben használják a Bayes-statisztikában , mivel ez a Bernoulli- , binomiális és geometriai eloszlás konjugált priorja.
Ha független gamma-eloszlású valószínűségi változók , és , és , akkor $X,Y$ $X\sim \mathrm {\Gamma} (\alpha ,1)$ $Y\sim \mathrm {\Gamma} (\beta ,1)$ ${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ .

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika kézikönyve. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó