Folytonossági egyenlet

A folytonossági egyenletek a természetvédelmi törvények (erős) lokális formája . Az alábbiakban példákat mutatunk be olyan folytonossági egyenletekre, amelyek ugyanazt az elképzelést fejezik ki valamilyen mennyiség folyamatos változásáról.

Differenciálforma

Az általános folytonossági egyenlet differenciálformája a következő:

${\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma ,$

ahol

\nabla \cdot

- eltérés ,

\rho

- a mennyiség egységnyi térfogatára vonatkoztatva (a mennyiség sűrűsége ),

q

q

t

- idő,

j

a mennyiségi fluxussűrűség (lásd alább),

q

\sigma

- térfogategységenkénti adagolás egységnyi idő alatt. Azokat a tagokat, amelyek hozzáadják ( ) vagy eltávolítják ( ) , „forrásoknak” és „nyelőknek” nevezzük.

q

\sigma >0

\sigma <0

q

Ez az általános egyenlet bármilyen folytonossági egyenlet levezetésére használható, az egyszerű folytonossági egyenlettől a Navier-Stokes egyenletig.

Ha egy megőrzött mennyiség , amelyet nem lehet létrehozni vagy megsemmisíteni (például energia ), akkor , és a folytonossági egyenlet a következő alakot veszi fel $q$ $\sigma =0$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =0.

Elektromágnesesség

Az elektrodinamikában a folytonossági egyenlet a Maxwell-egyenletekből származik . Azt állítja, hogy az áramsűrűség divergenciája egyenlő a töltéssűrűség változásával, mínusz előjellel,

\operátornév {div} \mathbf {j} +{\partial \rho \over \partial t}=0.

Következtetés

Ampère törvénye ezt mondja:

\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t)).

A kifejezés mindkét részének eltérését figyelembe véve azt kapjuk, hogy

\operátornév {div} \operátornév {rot} \mathbf {H} =\operátornév {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {D} ,

de a rotor divergenciája nulla, tehát

\operátornév {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {D} =0.

Gauss tétele szerint

\operatorname {div} \mathbf {D} =\rho .

Ezt a kifejezést behelyettesítve az előző egyenletbe, megkapjuk a kívánt folytonossági egyenletet.

Értelmezés

Az áramsűrűség a töltések mozgása. A folytonossági egyenlet kimondja, hogy ha a töltés elhagyja a differenciáltérfogatot (azaz az áramsűrűség divergenciája pozitív), akkor a térfogaton belüli töltés mennyisége csökken. Ebben az esetben a töltéssűrűség-növekmény negatív.

Hullámelmélet

A hullámelméletben a folytonossági egyenlet az energia megmaradásának törvényét fejezi ki egy olyan elemi térfogatban, amelyben bármilyen természetű hullám terjed. Különböző formája

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial w}{\partial t))=0,

ahol az energiaáram-sűrűség vektor a pontban koordinátákkal az időpillanatban , az energiasűrűség. ${\mathbf {j}}={\mathbf {j}}(x,y,z,t)$ $\left(x,y,z\jobb)$ $t$ $w=w(x,y,z,t)$

Következtetés

Definíció szerint az energiaáram-sűrűségvektor egy olyan vektor, amelynek modulusa egyenlő az egységnyi idő alatt az energiaátvitel irányára merőleges egységnyi területen átvitt energiával, vagyis , és iránya egybeesik az energiaátvitel irányával. Ekkor valamilyen V makroszkopikus térfogatból egységnyi idő alatt áramló energia, $j={\frac {dW}{dtdS_{{\bot ))))$

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} ={\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}.

Az energiamegmaradás törvénye szerint hol van az V térfogatban foglalt energia . Definíció szerint az energiasűrűség egységnyi térfogat energiája, akkor az adott térfogatban lévő teljes energia egyenlő ${\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}=-{\frac {dW_{\text{in}}}{dt}}$ $W_{\text{in))$

W_{\text{in}}=\int \limits _{V}w\,dV.

Ekkor az energiaáram kifejezése formát ölt

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}w\,dV=- \int \limits _{V}{\frac {\partial w}{\partial t))\,dV.

A Gauss- Ostrogradsky formulát a kifejezés bal oldalára alkalmazva megkapjuk

\int \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {j} \,dV=-\int \limits _{V}{\frac {\partial w}{\partial t))\, dV.

A választott térfogat tetszőlegessége miatt arra a következtetésre jutunk, hogy az integrandusok egyenlőek, ebből kapjuk a folytonossági egyenlet differenciálformáját.

A deformálható szilárdtest hidrodinamikája és mechanikája

Névváltozatok

A hidrodinamikai irodalomban például Zsukovszkij [1] , Chaplygin [2] , Kochin [3] , Loicjanszkij [4] munkáiban a tömegmegmaradás törvényét kifejező egyenletet folytonossági egyenletnek ( kontinuitási feltételnek ) nevezik. , míg a fizikai irodalomban például Landau és Lifshitz [5] , Zel'dovich és Raiser [6] , a Feynman -tanfolyam orosz fordításában [7] a folytonossági egyenlet kifejezést használják . A régi irodalomban ott volt a folytonossági egyenlet elnevezése is [8] . Mindhárom név az Euler [9] által bevezetett egyenlet nevének különböző fordítása a nyugat-európai nyelveken ( angol folytonossági egyenlet , francia équation de continuité és hasonlók).

Az írás különféle formái

Az egyenlet az elemi térfogat tömegmaradásának törvényét fejezi ki , vagyis a folyadék vagy gáz tömegáramának térbeli változása és a sűrűség időbeli változásának sebessége közötti összefüggést. Különböző formája

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho \mathbf {v} ={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\rho \operátornév {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operátornév {grad} \rho =0,

ahol a folyadék (vagy gáz) sűrűsége, a folyadék (vagy gáz) sebességvektora az időpont koordinátáival . $\rho =\rho (x,y,z,t)$ $\mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z,t)$ $(x,y,z)$ $t$

A vektort folyadékáramlási sűrűségnek nevezzük . Iránya egybeesik a folyadék áramlásának irányával, az abszolút érték pedig meghatározza, hogy a sebességvektorra merőlegesen elhelyezkedő egységnyi területen mennyi anyag áramlik át egységnyi idő alatt. $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v}$

Homogén összenyomhatatlan folyadékokhoz . Ezért az egyenlet azzá válik $\rho ={\text{const))$

\operatorname {div} \mathbf {v} =0,

amiből következik a sebességmező szolenoiditása .

A csatornákban történő áramlások (csövekben, erekben stb.) történő áramlások esetén a folytonossági egyenlet a csatorna keresztmetszetére vonatkozó átlagértékek formájában írható fel . Például egy olyan csatornában lévő áramlás esetén, amelynek keresztmetszeti területe ismert a csatorna menti koordinátától , a (közelítő) folytonossági egyenlet alakja $S$ $x$ $S=S(x)$

S{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x))(\rho vS)=0,

ahol és a sűrűség átlagos értékei és a sebesség tengelyirányú vetülete a keresztmetszetre. Itt azt feltételezzük, hogy a csatorna keresztmetszete meglehetősen lassan változik (ún. hidraulikus közelítés ), ami lehetővé teszi az egyenlet levezetésekor, hogy a termékből származó átlagértéket az átlagokból származó szorzattal helyettesítsük. Álló áramlás esetén ez a folytonossági egyenletet eredményezi a formában $\rho =\rho (x,t)$ $v=v(x,t)$

\rho vS={\text{const)),

amelynek nyilvánvaló fizikai jelentése a tömegáram állandósága, és állandó sűrűségű közeg esetén az egyenlet

vS={\text{const)),

a térfogatáram állandóságát kifejezve.

Hasonló szerkezethez tartozik a szabad felületű csatornák áramlásának folytonossági egyenlete, amelyet a hidraulikában széles körben használnak a csatornaáramlások leírására (folyókban, csatornákban stb., sárfolyások mozgása, lavinák stb.), áramlások leírására. filmekben stb. A téglalap keresztmetszetű csatornában állandó sűrűségű folyadékáramlás legegyszerűbb esetben a pontos folytonossági egyenlet (néha Saint-Venant-egyenletnek is nevezik ) a következő formában van

{\frac {\partial h}{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x))(vh)=0,

ahol a folyadék mélysége, a folyadék átlagos sebessége a keresztmetszeten. $h=h(x,t)$ $v=v(x,t)$

A deformálható szilárd test mechanikájában gyakran célszerű a folytonossági egyenletet egy anyagrészecske kezdeti és végső sűrűsége közötti kapcsolat formájában felírni [10] . Például kis alakzatok esetén a folytonossági egyenlet alakja

\rho =\rho _{0}(1-\operátornév {div} \mathbf {w} ),

ahol , az anyagrészecske kezdeti és végső sűrűsége, illetve az eltolási vektor (kis elmozdulások és deformációk esetén a divergencia ugyanolyan pontossággal vehető Euler- és Lagrange-változókban is). $\rho _{0}$ $\rho$ $\mathbf {w}$

A folytonossági egyenlet univerzális jellegű, és minden folytonos közegre érvényes ( reológiájától függetlenül ). A folytonossági egyenletnek vannak általánosításai többfázisú [11] és többkomponensű [10] folytonos közeg mozgására.

Történelmi háttér

Speciális esetekben, például egy összenyomhatatlan folyadék tengelyszimmetrikus áramlásaira, a folytonossági egyenletet ( részleges differenciálegyenlet formájában ) először d'Alembert állította elő , általános formában Euler az 1750-es években. A folytonossági egyenletet először Castelli publikálta a 17. század első felében [12] , amely algebrai összefüggés formájában fejezi ki (összenyomhatatlan folyadék esetén) a patakcső mentén a térfogatáram állandóságát .

Kvantummechanika

A nem relativisztikus kvantummechanikában a valószínűség megőrzése folytonossági egyenlethez is vezet . Legyen a valószínűségi sűrűség , akkor az egyenlet a formában lesz felírva $P(x,t)$

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))P(x,t)=0,

hol van a valószínűségi áram . $j$

Jegyzetek

↑ Zsukovszkij N. E. Elméleti mechanika. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 691. - 812 p.
↑ Chaplygin S. A. Válogatott mechanikai és matematikai művek. - M. : GITTL, 1954. - S. 11. - 568 p.
↑ Kochin N. E., Kibel I. A., Rose N. V. Theoretical hydromechanics / Szerk. I. A. Kibelya. - M. : GITTL, 1955. - T. 1. - S. 23, 24. - 560 p.
↑ Loitsjanszkij L. G. Folyadék- és gázmechanika. - M. : Nauka, 1970. - S. 79. - 904 p.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Hidrodinamika / Elméleti fizika. 10 kötetben - M . : Nauka, 1986. - T. 6. - S. 15. - 736 p.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. A lökéshullámok és a magas hőmérsékletű hidrodinamikai jelenségek fizikája. - M. : Nauka, 1966. - S. 14. - 688 p.
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Fizikai előadások / Per. angolról. szerk. Ya. A. Smorodinsky. - M .: Mir, 1966. - T. 7. Folytonos közegek fizikája. - S. 236. - 292 p.
↑ „Itt A. A. Fridman nyomán a „folytonossági egyenlet” kifejezést használjuk. Az orosz irodalomban a „folytonossági egyenlet” kifejezés is elterjedt” ( Frank F., Mises R. Differential and integral equations of mathematical physics / Német nyelvről fordítás: L. E. Gurevich. - L.-M .: ONTI. Glavn szerk., általános szakirodalom, 1937. - T. 2. - S. 348 (szerk. jegyzet) - 1000 p. ).
↑ „Az eredményül kapott egyenlet reprezentálja a térfogat változatlanságának feltételét. Euler ezt a folyadékfolytonossági feltételnek nevezte” (Zsukovszkij, 691. o.).
↑ 1 2 Sedov L.I. Continuum mechanika. - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 p.
↑ Nigmatulin R.I. A heterogén közegek mechanikájának alapjai. — M .: Nauka, 1978. — 336 p.
↑ Néhány áttekintő dokumentum és elsődleges forrás a folyadékmechanikai egyenletek történetéről Archiválva : 2013. december 3., a Wayback Machine -nél .

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák