Egységnégyzet

Az egységnégyzet  olyan négyzet , amelynek oldala egységszegmens . Az egységnégyzet a terület egysége . Néha szükséges, hogy téglalap alakú koordinátákban az egységnégyzet bal alsó sarka a koordináták origójában legyen, oldalai pedig párhuzamosak legyenek a koordinátatengelyekkel. Ebben az esetben a csúcsainak koordinátái , , és .

Definíciók

Az egységnégyzet gyakran minden olyan négyzetet jelent , amelynek oldala 1.

Ha egy téglalap alakú koordinátarendszert adunk meg , akkor ezt a kifejezést gyakran szűkebb értelemben használják: az egységnégyzet olyan pontok halmaza, amelyeknek mindkét koordinátája ( x és y ) 0 és 1 között van :

Más szóval, az egységnégyzet az I × I közvetlen szorzata , ahol I  az egységszegmens .

A komplex síkban az egységnégyzet olyan négyzetet jelent, amelynek csúcsa 0 , 1 , 1 + i és i [1] .

Területegység

Az egységnégyzet az ábra területének mértékegysége . Egy ábra területének mérése azt jelenti, hogy meg kell találni az ábra területének és az egységnégyzet területének arányát, vagyis azt, hogy egy egységnégyzet hányszor fektethető egy adott ábrába. [2] . Minden okunk megvan azt hinni, hogy a területet az ókori Babilon matematikája határozta meg [3] . Az " Elvek " -ben Euklidész nem rendelkezett hosszegységgel, ami azt jelenti, hogy nem létezett egységnégyzet fogalma. Eukleidész nem számokkal mérte a területeket, hanem a területek egymáshoz viszonyított arányát vette figyelembe [4] .

Tulajdonságok

• Egy egységnégyzet területe 1, kerülete 4  , átlója  pedig .
• Az egységnégyzet az egységes norma ( ) értelmében vett 1 átmérőjű "kör", vagyis azon pontok halmaza, amelyek az egységes norma értelmében 1/2 távolságra helyezkednek el a középponttól koordinátákkal. (1/2, 1/2) egységnégyzet [5 ] .
• Cantor bebizonyította, hogy az egységszegmens és az egységnégyzet között egy-egy megfelelés van. Ez a tény annyira ellentétes, hogy Cantor 1877-ben ezt írta Dedekindnek : „Látom, de nem hiszem el” [6] [7] .
• Még meglepőbb tényt fedezett fel Peano 1890-ben: kiderül, hogy egy szakaszt folyamatosan leképeznek egy négyzetre. Ilyen leképezésre példa a Peano-görbe , amely az első példa a térkitöltő görbére. A Peano-görbe egy egységszakasz négyzetre való folyamatos leképezését adja meg úgy, hogy a négyzet minden pontjához tartozik a szakasz megfelelő pontja [8] .
• Azonban nincs egy az egyhez folyamatos leképezés egy szakaszról egy négyzetre. A Peano-görbe több pontot tartalmaz, azaz többször is átmegy a négyzet egyes pontjain. Így a Peano-görbe nem határoz meg egy az egyhez megfelelést. Valójában könnyen bebizonyítható, hogy egy szakasz nem homeomorf egy négyzethez, ami azt jelenti, hogy lehetetlen elkerülni több pontot [9] .

Kiadás megnyitása

Nem ismert (2011-ben), hogy létezik-e olyan pont a síkban, amelynél az egységnégyzet bármely csúcsától való távolság racionális szám . Ismeretes azonban, hogy a négyzet [10] [11] határán ilyen pont nem létezik .

Lásd még

• egységgömb
• egységkör
• egységkockát

Jegyzetek

1. ↑ Weisstein, Eric W. Unit Square  a Wolfram MathWorld weboldalán .
2. ↑ Valerij Guszev, Alekszandr Mordkovics. Matematika: oktatási és referencia útmutató . Liter, 2016-06-10. - S. 436. - 674 p. — ISBN 9785457404793 .
3. ↑ Peter Strom Rudman. Hogyan történt a matematika: Az első 50 000 év . — Prometheus Books, 2007-01-01. - S. 108. - 316 p. — ISBN 9781615921768 .
4. ↑ Saul Stahl. Geometria Euklidésztől a csomókig . — Courier Corporation, 2012-05-23. — S. 99-100. — 481 p. — ISBN 9780486134987 .
5. ↑ Athanasios C. Antoulas. Nagyléptékű dinamikus rendszerek közelítése . — SIAM, 2009-06-25. - S. 29. - 489 p. — ISBN 9780898716580 .
6. ↑ Szergej Demenok. Fraktál: Mítosz és mesterség között . — Liter, 2016-06-08. - S. 156. - 298 p. — ISBN 9785040137091 .
7. ↑ Michael J. Bradley. A matematika alapjai: 1800-tól 1900-ig . - Infobázis Kiadó, 2006. - S. 104-105. — 177 p. — ISBN 9780791097212 .
8. ↑ Szergej Sziszi. Matek problémák. Az Uráli Állami Egyetem Matematikai és Mechanikai Karának diákolimpiái . — Liter, 2016-04-14. - S. 34. - 128 p. — ISBN 9785040047086 . Archiválva : 2022. április 7. a Wayback Machine -nél
9. ↑ Alekszandr Shen, Nyikolaj Verescsagin. Előadások a matematikai logikáról és az algoritmusok elméletéről. 1. rész. A halmazelmélet kezdetei . Liter, 2015-11-13. - S. 19. - 113 p. — ISBN 9785457918795 . Archiválva : 2022. április 7. a Wayback Machine -nél
10. ↑ Guy, Richard K. (1991), Megoldatlan problémák a számelméletben, 1. kötet. 1. (2. kiadás), Springer-Verlag, p. 181-185  .
11. ↑ Barbara, Roy (2011. március), The rational distance problem , Mathematical Gazette vol . 95(532): 59-61 , < http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 > december 2015. 24. a Wayback Machine -nél . 

Linkek

• Weisstein, Eric W. Unit Square  (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .