Határ probléma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A határérték-probléma (határérték-probléma) egy adott differenciálegyenletre (differenciálegyenlet-rendszerre) olyan megoldást találni, amely kielégíti a peremfeltételeket egy intervallum végén vagy egy régió határán. A hiperbolikus és parabolikus egyenletek határérték-problémáit gyakran kezdeti határnak vagy vegyesnek nevezik , mert nemcsak peremfeltételeket, hanem kezdeti feltételeket is megadnak .

Közönséges differenciálegyenletek

N-edrendű lineáris egyenletek

Az n-edrendű lineáris egyenlet határérték-probléma alakja

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \pontok, m,

ahol

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

függvények és folytonosak a , intervallumon , a peremfeltételeket lineáris alakok adják meg $f(x)$ $f_{\nu}(x)$ $a\leq x\leq b$ $f_n(x) \ne 0$

U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_ {\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \jobbra], \quad \mu = 1, 2, \pontok, m,

$\gamma_{\mu}$ számokat kapnak. Az együtthatókból álló mátrix rangú , míg a peremfeltételek lineárisan függetlenek . Ha és , a határérték-problémát homogénnek , if only - félhomogénnek nevezzük . [egy] $\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$ $m$ $\gamma_{\mu} = 0$ $f(x) \equiv 0$ $\gamma_{\mu} = 0$

Sajátérték probléma

A sajátértékek a paraméter azon értékei,amelyekre a homogén határérték probléma $\lambda$

L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \pontok, m,

van egy nemtriviális (azaz nem azonos nulla) megoldása. A sajátértékek halmazát spektrumnak , a megfelelő nem triviális megoldásokat pedig a probléma sajátfüggvényeinek nevezzük.

Ha a vizsgált differenciálegyenlet olyan alapvető megoldási rendszere , hogy $\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda)$

\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1. \end{tömb}\jobbra. \quad p = 1, 2, \pontok, n, \quad q = 0, \pontok, n - 1,

akkor a sajátértékek a karakterisztikus determináns ( determináns ) nullái

\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]

. Ha , akkor a sajátértékek halmaza legfeljebb egy teljes függvény nullák halmazaként számolható meg . [2]

\Delta(\lambda) \not \equiv 0

A határ sajátérték-probléma esetében a következő két szabványos feladatot oldjuk meg:

A sajátértékek megtalálásának problémája . Milyen feltevésekkel rendelkezik a határérték-problémára vonatkozóan, vannak sajátértékei? Milyen esetben végtelen a számuk? Mikor érvényesek? Mit lehet mondani a méretükről?
Az expanzió problémája a sajátfüggvényekben . Ha a határérték feladat sajátfüggvényei, akkor milyen feltételek mellett bővíthető az adott függvény konvergens sorozattá $u_{\nu}(x)$ $F(x)$

F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)

funkció szerint ? [3] [4] $u_{\nu}(x)$

A sajátértékek határérték-probléma speciális esete a Sturm-Liouville probléma :

\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{tömb}}

Green függvénye

1. Tétel. Ha egy homogén határérték-feladatnak csak triviális (nulla) megoldása van, akkor a szakaszon bármely folytonos függvényre létezik megoldás a képlettel megadott félhomogén határérték-feladatra $L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \pontok, n$ $f(x)$ $[a,b]$ $L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \pontok, n$

y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

hol van a zöld függvénye egy homogén határérték-probléma. [5] $G(x, \xi)$

Operátorelméleti szempontból a peremérték-probléma egy lineáris differenciáloperátort definiál , amelynek definíciós tartománya a peremfeltételeket kielégítő , szabály szerint működő függvények intervallumán folyamatosan differenciálható időkből áll . Az 1. Tétel feltételei szerint ennek az operátornak van egy inverze, amely egy integrál operátor a kernellel . $n$ $[a,b]$ $y$ $U_{\mu}(y) = 0$ $L(y)$ $G(x, \xi)$

A homogén határérték-probléma Green-függvényét olyan függvényként határozzuk meg, amely teljesíti a következő feltételeket: $G(x, \xi)$

$G(x, \xi)$ folytonos , és folytonos deriváltjai vannak a -edik sorrendhez képest, beleértve az összes értéket és az intervallumot . $x$ $(n-2)$ $x$ $\xi$ $[a,b]$
A szegmens bármely rögzített esetén a függvénynek a -edik és -edik rendű folytonos deriváltjai vannak az és intervallumok mindegyikéhez képest , a -edik sorrendű derivált pedig ugrással rendelkezik -re . $\xi$ $[a,b]$ $G(x, \xi)$ $(n-1)$ $n$ $x$ $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $(n-1)$ $x = \xi$ $\frac{1}{f_n(x)}$
A és intervallumok mindegyikében , függvényének tekintve , teljesíti az egyenletet és a peremfeltételeket . $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $G(x, \xi)$ $x$ $L(G) = 0$ $U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \pontok, n$

2. Tétel. Ha egy homogén határérték-feladatnak csak triviális (nulla) megoldása van, akkor egyedi Green-függvénye van. [6]

A Green függvény segítségével megoldható az inhomogén határérték probléma is

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \pontok, n.

A megoldás úgy néz ki

y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

hol vannak a határérték-problémák megoldásai $\psi_k(x)$

L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \pontok, n .

[7]

Határérték probléma egy paraméterrel

L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \pontok, n,

ekvivalens a második típusú Fredholm integrál egyenletével :

y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

ahol

g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

A megfelelő homogén határérték-probléma sajátértékei és sajátfüggvényei egybeesnek a kernel karakterisztikus számaival és sajátfüggvényeivel . [nyolc] $G(x, \xi)$

Lineáris differenciálegyenletrendszerek

A határérték-probléma az, hogy olyan függvényrendszert találjunk, amely kielégíti a lineáris differenciálegyenlet -rendszert $u_1(x), u_2(x), \pontok, u_n(x)$

u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1 , 2, \pontok, m,

és peremfeltételek

U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \pontok, n,

ahol a függvények folytonosak a szegmensen , $f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$ $a \le x \le b$

U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right],

mátrix

(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1, 1}&\pontok &\béta _{1,n}\\\pontok &\pontok &\pontok &\pontok &\pontok &\pontok \\\alpha _{n,1}&\pontok &\alpha _ {n,n}&\beta _{n,1}&\pontok &\beta _{n,n}\\\end{tömb}}\jobbra)

rangja van , számokat kapnak. [9] $n$ $\gamma_{\mu}$

A megoldás numerikus módszerei

A határérték-feladatok megoldására szolgáló numerikus módszerek többségét másodrendű egyenletekre fejlesztették ki.

Lövés módja (nullázás) . Megoldásra kerül a Cauchy - probléma , amelyben az egyik kezdeti feltétel egybeesik a peremfeltétellel, a második pedig a paramétertől függ. A paraméter értékét úgy választjuk meg, hogy a megoldás megfeleljen a második peremfeltételnek. Egy paraméter kiválasztásához használhatja például a felezési módszert vagy a Newton-módszert . [tíz]
Párhuzamos tüzelési mód . Ez a lövés módszerének általánosítása.
Véges különbség módszer . Megalkotjuk az egyenlet és a peremfeltételek véges differenciájú közelítését , és megoldjuk a lineáris algebrai egyenletrendszert . [11] [12]
Variációs módszerek ( Ritz - módszer, Galerkin-módszer ). [13] [14] [15]
Integrálegyenletek módszere . A határérték -problémát a Green függvényre cseréljük egy integrálegyenlettel , amelyet kvadratúra képletekkel oldunk meg . [16]
szuperpozíciós módszer . A határérték-probléma megoldását több Cauchy-probléma megoldásának lineáris kombinációjaként találjuk meg . [17]
Sweep módszer (nem tévesztendő össze a lineáris algebrai egyenletek háromszögrendszerének megoldására szolgáló sweep módszerrel ). A határérték probléma megoldása

y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

kielégíti a differenciálegyenletet

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)

ahol a függvények a Cauchy-probléma megoldásaként találhatók $\alpha_0(x), \alpha_1(x)$

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,

\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Ezután megtaláljuk a (*) egyenlet megoldásaként, amely kielégíti a kezdeti feltételt . [18] [19] $y(x)$ $y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$

Alkalmazás

A rugalmas rúd hosszirányú és torziós rezgésének problémái egy másodrendű egyenlethez határérték problémákhoz vezetnek, míg a rúd keresztirányú rezgésének problémája egy negyedrendű egyenlethez. [1] A parciális differenciálegyenletek megoldása a Fourier -módszerrel a határérték-probléma sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek megtalálásának problémájához vezet, valamint egy tetszőleges függvény sorozattá bővítéséhez a sajátfüggvények szempontjából. [húsz]

Parciális differenciálegyenletek

Jelölés

Legyen egy behatárolt tartomány darabonként sima határral , legyen a tartományon kívülre irányuló határ normálvektora , legyen a normál mentén a deriváltja , . A funkciók megfelelnek a feltételeknek: $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $S$ $n$ $S$ $G$ $\frac{\partial u}{\partial n}$ $Q_{\infty} = G \times (0, \infty)$ $p, q, \alpha, \beta, \rho$

p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,

\alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,

\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Itt van a tartomány lezárása, a -ben folytonos függvények halmaza , és a -ben folyamatosan differenciálható függvények halmaza . $\bar G = G \cup S$ $G$ $C(\bar G)$ $\bár G$ $C^k(\sáv G)$ $k$ $\bár G$

Hiperbolikus típusú egyenletek

A hiperbolikus típusú egyenlet vegyes (határ)problémája az egyenletet kielégítő függvény megtalálásának problémája. $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \ quad (x, t) \in Q_{\infty},

kezdeti feltételek

u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

és peremfeltétel

\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0.

A megoldás létezéséhez szükséges, hogy a simasági feltételek teljesüljenek

F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

és a konzisztencia feltétele

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0

A vegyes probléma megoldása egyedi és folyamatosan függ attól . [21] $u_0, u_1, F$

Parabola típusú egyenletek

Egy parabola típusú egyenlet vegyes (határ)feladata, hogy találjunk egy függvényt , amely kielégíti az egyenletet $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \quad (x, t) \infty}. Q_,

kezdeti állapot

u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

és peremfeltétel

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).

A megoldáshoz a következő simasági feltételek szükségesek

F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

és a konzisztencia feltétele

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).

A vegyes probléma megoldása egyedi és folyamatosan függ attól . [22] $F, u_0, v$

Elliptikus típusú egyenletek

A következő határérték-problémákat vizsgáljuk a háromdimenziós Laplace-egyenlethez

\Delta u=0

Legyen a terület olyan, hogy . $G \in \mathbb{R}^3$ $G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G$

Dirichlet belső problémája : keressünk egy olyan függvényt , amely harmonikus a tartományban , és a határon felveszi a megadott ( folytonos ) értékeket . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_0^-$
Külső Dirichlet-probléma : keressen egy harmonikus függvényt a tartományban , amely adott (folyamatos) értékeket vesz fel, és a végtelenben eltűnik. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_0^+$
Neumann-féle belső probléma : keressünk egy olyan függvényt , amely harmonikus egy tartományban , és egy adott (folytonos) függvényen szabályos normál deriváltja van . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_1^-$
Külső Neumann-probléma : keressen egy olyan harmonikus függvényt a tartományban , amelynek adott (folytonos) reguláris normál deriváltja van, és a végtelenben eltűnik. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_1^+$

Hasonló határérték-problémákat vetünk fel a Poisson-egyenletre :

\Delta u = - f

A belső és külső Dirichlet-feladatok megoldása egyedileg és folyamatosan függ a határadatoktól. A belső Neumann-probléma megoldását egy tetszőleges additív állandóig határozzuk meg. A külső Neumann-probléma megoldása egyedülálló. [23]

Megoldási módszerek

A változók szétválasztásának módja [24] [25]
A terjedési hullám módszere ( hiperbolikus típusú egyenletekhez ) [26]
Green-függvény módszer ( elliptikus típusú egyenletekhez ) [27]
Eltérési módszerek . [28]
Variációs módszerek . [29]
Végeselem módszer .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 187.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 193.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , második rész, I. fejezet, 2. §.
↑ Naimark M. A. Lineáris differenciáloperátorok, 1969 , első rész, I., II. fejezet.
↑ Naimark M. A. Lineáris differenciálműködtetők, 1969 , p. 40.
↑ Naimark M. A. Lineáris differenciálműködtetők, 1969 , p. 38-39.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 190.
↑ Naimark M. A. Lineáris differenciálműködtetők, 1969 , p. 44.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 249.
↑ Kalitkin N. N. Numerikus módszerek, 1978 , p. 262.
↑ Kalitkin N. N. Numerikus módszerek, 1978 , p. 268.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Számítási módszerek, 1959 , p. 372.
↑ Kalitkin N. N. Numerikus módszerek, 1978 , p. 276.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Számítási módszerek, 1959 , p. 391.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , p. 222.
↑ Na Ts. Számítási módszerek alkalmazott határérték problémák megoldására, 1982 , 12. fejezet.
↑ Na Ts. Számítási módszerek alkalmazott határérték problémák megoldására, 1982 , 2. fejezet.
↑ Berezin I. S., Zhidkov N. P. Számítási módszerek, 1959 , 9. fejezet, 9. §.
↑ Na Ts. Számítási módszerek alkalmazott határproblémák megoldására, 1982 , 3. fejezet.
↑ Naimark M. A. Lineáris differenciálműködtetők, 1969 , p. 88.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. A matematikai fizika egyenletei, 2004 , 6.2.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. A matematikai fizika egyenletei, 2004 , 6.3.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. A matematikai fizika egyenletei, 2004 , 5.6.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. A matematikai fizika egyenletei, 2004 .
↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. A matematikai fizika egyenletei, 1999 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of Mathematical physics, 1999 , p. 70.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. A matematikai fizika egyenletei, 2004 , 5.7.
↑ Samarsky A. A. Numerical módszerek, 1989 , III. rész.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Számítási módszerek, 1959 , 10. fejezet, 9. §.

Irodalom

Közönséges differenciálegyenletek

Kamke E. Közönséges differenciálegyenletek kézikönyve. Per. vele .. - 4. kiadás, javítva .. - M . : Nauka, Ch. szerk. fizika és matematika lit., 1971. - 576 p.
Naimark M. A. Lineáris differenciáloperátorok. - M . : Nauka, Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1969.

Parciális differenciálegyenletek

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. A matematikai fizika egyenletei: Tankönyv .. - 6. kiadás, Rev. és további .. - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1999. - 798 p. — ISBN 5-211-04138-0 .

Numerikus módszerek

Na Ts Számítási módszerek alkalmazott határfeladatok megoldására. Per. angolból - M . : Mir, 1982. - 286 p.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Számítási módszerek. kötet II. - M . : Állam. Fizikai és Matematikai Kiadó, 1959.
Kalitkin N. N. Numerikus módszerek. - M .: Nauka, 1978.
Gulin A. V. , Samarsky A. A. Numerikus módszerek: tankönyv egyetemeknek. - M . : Tudomány, ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1989. - 432 p. — ISBN 5-02-013996-3 .