Lebesgue mértéke

A Lebesgue-mérték egy olyan mérték , amely egy szegmens hosszának , az ábra területének és a test térfogatának fogalmait egy tetszőleges dimenziós euklideszi térre általánosítja . Formálisabban a Lebesgue-mérték a Jordan-mérték kiterjesztése a halmazok szélesebb osztályára [1] . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Konkrétan, a valós egyenes szakaszának Lebesgue-mértéke egyenlő a hosszával, a síkon lévő sokszög Lebesgue-mértéke egyenlő a területével.

Henri Lebesgue francia matematikus vezette be 1902 -ben disszertációjában.

Építés egyenesen

Külső mérték

A valós egyenes egy tetszőleges részhalmazához véges vagy megszámlálható számú intervallumból tetszőlegesen sok különböző rendszert találhatunk, amelyek uniója tartalmazza a halmazt . Az ilyen rendszereket bevonatoknak nevezzük . Mivel a tetszőleges borítást alkotó intervallumok hosszának összege nem negatív érték, alulról korlátos, ezért az összes fedő hosszhalmazának infimuma van . Ezt az arcot, csak a készlettől függően , külső mértéknek nevezzük : $E$ $E$ $E$

m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.

Lehetőségek külső intézkedés kijelölésére:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.

Bármely intervallum külső mértéke egybeesik a hosszával, ami a Lebesgue-mérték megszámlálható additivitásának a következménye az intervallumok, szakaszok és félintervallumok félig való felosztására. Pontosabban, ez a megszámlálható additivitás ad , míg az ellenkező egyenlőtlenség valóban nyilvánvaló, és közvetlenül következik a külső mérték definíciójából. Sőt, lehet példát adni egy olyan mértékre egy algebrán, hogy az algebrából származó valamely halmaz külső mértéke szigorúan kisebb, mint az eredeti mértéke. $m(a,b)\leqslant m^{*}(a,b)$

Külső mérték tulajdonságai

(monoton) $E_{1}\subseteq E_{2}\Rightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.$
(megszámlálható féladditivitás) $E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Rightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*} E_{k}.$
$\forall E,\ \varepsilon >0\ \exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon$ , hol van egy nyitott halmaz . Valóban, elegendő a lefedettséget alkotó intervallumok összegét úgy venni, hogy . Egy ilyen fedezet megléte a legkisebb alsó korlát meghatározásából következik. $G$ $G$ $E$ $\textstyle \sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon$

Belső intézkedés

Ha a halmaz korlátos, akkor a halmaz belső mértéke a tartalmazó szegmens hossza és a komplementer külső mértéke közötti különbség : $E$ $E$ $[a,\;b]$ $E$ $E$ $[a,\;b]$

m_*E=(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E).

Korlátlan halmazok esetén az összes szegmensre vonatkozó legkisebb felső korlát . $m_*E$ $(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E)$ $[a,\;b]$

Mérhető halmazok

Egy halmazt Lebesgue mérhetőnek nevezünk , ha külső és belső mértéke egyenlő. Ekkor az utóbbi összértékét a halmaz Lebesgue-mértékének nevezzük , és , , , vagy jelöli . $me$ $\mu E$ $|E|$ $\lambda(E)$ $\operatorname {mes} E$

Példa egy nem mérhető halmazra

A Lebesgue-mérhetetlen díszlet példáját J. Vitali építette meg 1905-ben. Tekintsük a következő ekvivalencia-relációt az intervallumon : ha a különbség racionális . Továbbá minden ekvivalencia osztályból választunk egy reprezentatív - egy pontot (itt a választási axiómát használjuk ). Ekkor a kapott képviselőkészlet mérhetetlen lesz. $\sim$ $[0, 1]$ $x\sim y$ $xy$ $E$

Valóban, ha megszámlálható számúszor eltoljuk az intervallum összes racionális számával , akkor az unió tartalmazza a teljes szegmenst , ugyanakkor benne lesz a szegmensben . Ebben az esetben a halmaz "eltolt másolatai" nem metszik egymást, ami közvetlenül következik a és a felépítéséből . $E$ $[-1,1]$ $[0, 1]$ $[-1,2]$ $E$ $\sim$ $E$

Ezért, figyelembe véve a Lebesgue-mérték megszámlálható additivitását,

1=\mu {\big (}[0;1]{\big )}\leqslant \mu {\bigg (}\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}{\ bigg )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})\leqslant \mu {\big (}[-1;2]{\big )}=3.

Ha azonban a megszerkesztett halmaz mérhető, ez lehetetlen: minden a Lebesgue-mérték invariancia tulajdonságának köszönhető (a halmaz mértéke nem változik eltolással), és ebből adódik a sorozat összege. $E$ $\mu (E_{n})=\mu (E)$

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})

vagy végtelen (ha ), vagy egyenlő nullával (ha ); Nincs harmadik. $\mu (E)>0$ $\mu (E)=0$

Mindkét esetben ellentmondást kapunk, és ezért a halmaz mérhetetlen; vagyis a mértékfüggvény nem vonatkozik rá. $E$ $E$

Megjegyzendő, hogy ennek megalkotása, akárcsak bármely más nem mérhető halmaz példája egy szegmensen, lehetetlen lenne a választási axióma elfogadása nélkül (lehetetlen lenne képviselőt választani minden ekvivalenciaosztályban).

Tulajdonságok

A Lebesgue-mérés a következő két feltételt teljesíti:
- Egy egységkocka mértéke egyenlő eggyel.
- A kongruens halmazok mértéke egyenlő egymással.

Továbbá

A mérhető halmazok olyan halmazok maximális (befogadási) osztályát alkotják, amelyeken ez a két feltétel egyetlen mértéket határoz meg.

Történelem

Henri Lebesgue a Lectures on Integration and the Search for Primitive Functions (1904) című előadásában kijelentette, hogy célja egy (nem negatív) mérték megtalálása a valós egyenesen, amely minden korlátos halmazra létezik, és három feltételnek eleget tesz:

A kongruens halmazok mértéke egyenlő (vagyis a mérték invariáns a transzláció és a szimmetriák alatt).
Az intézkedés megszámlálhatóan additív .
A (0, 1) intervallum mértéke 1.

Lebesgue konstrukciója a valós számok hatalmas halmazát fedte le, és mérhető függvényeket definiált , amelyek szélesebbek az analitikus függvények halmazánál . Sőt, bármilyen mérhető függvény számos analitikai módszer alkalmazását tette lehetővé. Ekkor már létezett E. Borel (1898) által kidolgozott általános mértékelmélet , Lebesgue első munkái pedig a Borel-elméletre épültek. Lebesgue disszertációjában (1902) azonban a mértékelmélet lényegében a „Lebesgue-mértékre” általánosított. Lebesgue meghatározta a korlátos mérhető függvények és az ezekhez tartozó integrálok fogalmait, bebizonyította, hogy az elemzésben vizsgált összes "közönséges" korlátos függvény mérhető, és hogy a mérhető függvények osztálya az alapvető analitikai műveletek, köztük a határértékre való áthaladás művelete alatt zárt . 1904-ben Lebesgue általánosította elméletét azzal, hogy eltávolította a függvény korlátossági feltételét.

J. Vitali már a következő évben (1905) megmutatta, hogy a fenti három feltételt kielégítő mérték nem fedi le az összes korlátos valós halmazt: olyan halmazt szerkesztett , amelynek nincs a jelzett tulajdonságokkal rendelkező mértéke. Sőt, 1914-ben Hausdorff bebizonyította, hogy még ha a megszámlálható additivitás követelményét egy gyengébb véges additív feltételre cseréljük is, akkor is találunk korlátos, nem mérhető halmazokat a háromdimenziós térben. Az egyenes vonalra vonatkozóan, amint azt Banach 1923-ban felfedezte , létezik egy univerzális, véges additív mérték, és még csak nem is egyedi [2] .

Lebesgue kutatásai széles körű tudományos visszhangra találtak, ezeket számos matematikus folytatta és fejlesztette: E. Borel , M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov és mások. A konvergencia fogalmát a mérték szerint vezették be ( 1909).

Lebesgue munkáinak volt egy másik fontos fogalmi jelentősége is: teljes mértékben Cantor halmazelméletén alapultak , amely azokban az években vitatott volt , és Lebesgue elméletének gyümölcsözősége erős érvként szolgált a halmazelméletnek a matematika alapjaként való elfogadása mellett.

Lásd még

Irodalom

Brylevskaya L. I. A mértékprobléma történetéről a 20. század első felében // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1986. - 30. sz . - S. 97-112 .
Vulikh BZ Rövid kurzus a valós változó függvényeinek elméletéből (bevezetés az integrál elméletébe). — M .: Nauka, 1973. — 352 p.
Gelbaum, B., Olmsted, J. Ellenpéldák az elemzésben = Counterexamples in Analysis. — M. : LKI, 2007. — 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .

Jegyzetek

↑ Mérték // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 636-645. — 1184 p.
↑ Brylevskaya L.I., 1986 , p. 100.

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái