Lebesgue mértékkiterjesztési tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges . Bevezető definíciók

Legyen monoton, nem csökkenő függvény , folytonos hagyva [1] és olyan, hogy . Vezessünk be egy mértéket az alak összes intervallumának félig osztására a következő szabály szerint: . Ez a mérték kiterjeszthető a Borel szigma algebrára . Ebben az esetben a végekkel ellátott rések mértékét a következőképpen határozzuk meg. $F$ $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$ $[a,\;b)$ $m$ $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$ $a,\;b$

m[a,\;b)=F(b)-F(a)

m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)

m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)

m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)

Itt van a függvény jobb oldali határa a pontban (azért létezik, mert a függvény nem csökkenő). $F(a+0)$ $F(x)$ $a$ $F(x)$

A mérték kiterjeszthető a Lebesgue-számegyenes részhalmazaira. Ebben az esetben kiderül - a Stieltjes intézkedés . $m$ $\mu _{F}$

A generáló függvény speciális esetei : $F$

$F$ az ugrás funkció. Az ugrás mindig pozitív, a halmaz véges vagy megszámlálható számú pontból (skalárból) áll. $A$

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ egy diszkrét mérték.

Az F függvény folyamatos, nem csökken monoton on -on , -on . $[a,\;b]$ $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ abszolút folyamatos intézkedés.

$F$ - szinguláris függvény (például Cantor ladder , ahol a növekmény 1 a teljes szakaszon, de szinte mindenhol ). A mérték a függvény növekedési pontjaira összpontosul. $F$ $const$

Mérési dekompozíciós tétel

Bármely Lebesgue-Stieltjes mérték három mérték – diszkrét, abszolút folytonos és szinguláris – összegeként ábrázolható .

Jegyzetek

↑ Turilova E. A., Kareev I. A. A mértékelmélet elemei és a Lebesgue-integrál. - Kazan: Kazanyi Szövetségi Egyetem, 2016. - p. 29.