Coxeter-Dynkin diagramok

A Coxeter-Dynkin-diagram (vagy Coxeter-diagram , Coxeter- gráf , Coxeter- diagram [1] ) egy gráf számmal jelölt élekkel (úgynevezett elágazásokkal ), amelyek a tükörszimmetriák halmaza (vagy tükörreflexiós hipersíkok ) közötti térbeli kapcsolatokat reprezentálják . A diagram egy kaleidoszkópos konstrukciót ír le - a gráf minden "csúcsa" egy tükröt (az alapterület egyik lapját) ábrázol, és az elágazási címkék beállítják a két tükör közötti diéderszög értékét (az alapterület csúcsán, vagyis az arcon dimenzióval ). A címkézetlen ágak implicit módon a 3-as sorrendet jelentik. $n-2$

Mindegyik diagram egy Coxeter-csoportot képvisel , és a Coxeter-csoportok a hozzájuk tartozó diagramok szerint vannak osztályozva.

A Dynkin-diagramok szorosan kapcsolódnak a Coxeter-diagramokhoz, és két szempontból különböznek tőlük - egyrészt a "4"-es és a feletti ágak orientáltak , míg a Coxeter-diagramokban nem irányítottak, másrészt a Dynkin-diagramoknak meg kell felelniük a további ( krisztallográfiai ) korlátozás, nevezetesen csak 2, 3, 4 és 6 engedélyezett címkéként.. A Dynkin-diagramok a gyökérrendszernek felelnek meg és osztályozásukra szolgálnak, így félig egyszerű Lie-csoportoknak felelnek meg [2] .

Leírás

A Coxeter-Dynkin diagram ágait a 180°/ p diéderszögeknek megfelelő p racionális számokkal jelöljük . Ha p = 2, akkor a szög 90°, és a tükrök nincsenek hatással egymásra, így az elágazás kizárható a diagramból. Ha az ág nincs címkézve, akkor p = 3-at kell feltételezni, ami 60°-os szögnek felel meg. Két párhuzamos tükörnek van egy „∞” feliratú ága. Elvileg n reflexió ábrázolható egy teljes gráfban , amelyben mind az n ( n − 1)/2 ág megrajzolódik. A gyakorlatban szinte minden érdekes reflexiós kombináció tartalmaz bizonyos számú derékszöget, így a megfelelő ágak kizárhatók.

A diagramok grafikonszerkezetük szerint címkézhetők. A Ludwig Schläfli által vizsgált első formák egymásra merőleges élek halmaza által meghatározott egyszerűségek voltak. Schläfli ezeket az egyszerűsítéseket ortosémáknak nevezte . Az ortoszkémák különféle összefüggésekben merülnek fel, különösen, ha a szabályos politópokat és a szabályos méhsejteket vizsgáljuk . A plagiosémák elágazó gráfokkal, a ciklosémák pedig ciklikus gráfokkal ábrázolt egyszerűségek.

Gram Matrix (Schläfli)

Bármely Coxeter-diagram rendelkezik egy megfelelő Schläfli - mátrixszal bejegyzésekkel

a_{i,j}=a_{j,i}=-2\cos \left({\frac {\pi }{p))\right),

ahol a tükröződéspárok közötti elágazási sorrend. A koszinuszmátrixhoz hasonlóan Jörgen Gram után Gram-mátrixnak is nevezik . A Coxeter-csoport összes Gram -mátrixa szimmetrikus, mert gyökvektora normalizált. Ezek szorosan kapcsolódnak a Cartan-mátrixokhoz , amelyeket hasonló kontextusban használnak, de Dynkin-diagramok irányított gráfjaihoz esetekre , és amelyek általában nem szimmetrikusak. $p$ $p=2,3,4,6$

A Schläfli-mátrix determinánsát Schläfli -nek (más néven Gramiannak ) nevezik, és előjele határozza meg, hogy egy csoport véges (pozitív determináns), affin (nulla) vagy határozatlan (negatív). Ezt a szabályt Schläfli-kritériumnak nevezik [3] .

A Gram-mátrix sajátértékei határozzák meg, hogy a Coxeter-csoport véges típusú (minden érték pozitív), affin típusú (minden nem negatív, legalább egy érték nulla) vagy határozatlan típusú (minden egyéb eset). . A határozatlan típust néha tovább bontják altípusokra, például hiperbolikus és más Coxeter-csoportokra. A hiperbolikus Coxeter-csoportoknak azonban sok nem egyenértékű definíciója létezik. A következő definíciót használjuk: A megfelelő diagrammal rendelkező Coxeter-csoport akkor hiperbolikus , ha sem nem véges, sem nem affin típusú, de bármely kapcsolódó részdiagram véges vagy affin típusú. Egy hiperbolikus Coxeter-csoport kompakt , ha minden alcsoportja véges (vagyis pozitív determinánsokkal rendelkezik), és parakompakt , ha minden alcsoportja véges vagy affin (vagyis nem negatív determinánsokkal rendelkezik) [4] .

A véges és az affin csoportokat elliptikusnak és parabolikusnak is nevezik . A hiperbolikus csoportokat Lanner-csoportoknak is nevezik ( svédül Folke Lannér ) , akik 1950-ben kompakt hiperbolikus csoportokat soroltak fel [5] , és parakompakt csoportokat Koszul csoportoknak ( francia Jean-Louis Koszul [kɔ'syl] ), ill. kvázi Lanner csoportok. Vannak más nevek is. Így Maxwell cikkében [6] a véges csoportokat pozitívnak, az affin csoportokat pedig euklideszinek nevezik.

2. rangú Coxeter csoportok

A 2. ranghoz a Coxeter-csoport típusát teljesen a Gram-mátrix determináns határozza meg, mivel ez egyszerűen egyenlő sajátértékeinek szorzatával: véges típus (pozitív determináns), affin típus (nulla determináns) vagy hiperbolikus típus (negatív). döntő). A Coxeter az ekvivalens zárójeles jelölést használja , amely az elágazási sorrendek sorozatait sorolja fel a grafikus csomópont-elágazás diagramok helyett.

Típusú	végső					affin	Hiperbolikus
Geometria					…
koxéter	[ ]	[2]	[3]	[négy]	[p]	[∞]	[∞]	[ip/λ]
rendelés	2	négy	6	nyolc	2p _	∞
A közvetlen visszaverődések színezése a Coxeter diagram csomópontjai szerint történik. Az alapvető területek alternatív színekkel vannak festve.

A 2. rangú Coxeter-csoport diagramjai

Rendelés p	Csoport	Coxeter diagram		Gram mátrix
Rendelés p	Csoport	Coxeter diagram		$\left[{\begin{mátrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{mátrix}}\jobbra]$	Determináns (4-a 21 *a 12 )
Döntő (selejtező>0)
2	I 2 (2) = A 1 xA 1		[2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	négy
3	I 2 (3) = A 2		[3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3
négy	I 2 (4) = B 2		[négy]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2
5	I 2 (5) = H 2		[5]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-\phi\\-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]$	$4\sin^2(\pi/5)$ = $(5-\sqrt{5})/2$ ~1,38196601125
6	I 2 (6) = G 2		[6]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	egy
nyolc	I 2 (8)		[nyolc]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/8)\\-2\cos(\pi/8)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$2-\sqrt{2}$ ~0,58578643763
tíz	I 2 (10)		[tíz]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/10)\\-2\cos(\pi/10)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$4\sin^2(\pi/10)$ = $(3-\sqrt{5})/2$ ~0,38196601125
12	I 2 (12)		[12]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/12)\\-2\cos(\pi/12)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$2-\sqrt{3}$ ~0,26794919243
p	I 2 (p)		[p]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$4\sin^2(\pi/p)$
Affin (determináns=0)
∞	I 2 (∞) = = ${\tilde{I}}_1$ ${\tilde{A}}_1$		[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
Hiperbolikus (determináns≤0)
∞			[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
∞			[ip/λ]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$-4\sinh^2(2\lambda) \le 0$

Geometriai ábrázolás

A Coxeter-Dynkin diagram a reflexiók alapvető régiójának grafikus leírásaként tekinthető . A tükör (rögzített reflexiós pontok halmaza) egy hipersík egy adott gömbi, euklideszi vagy hiperbolikus térben. (A kétdimenziós térben az egyenes tükörként, a háromdimenziós térben síkként szolgál.)

Az alábbiakban a kétdimenziós és háromdimenziós euklideszi csoportok, valamint a kétdimenziós gömbcsoportok alapvető tartományait mutatjuk be. Minden csoporthoz egy Coxeter-diagram származtatható hipersíkok meghatározásával és kapcsolataik címkézésével, a 90 fokos diéderszögek figyelmen kívül hagyásával (2. sorrend).

Coxeter csoport	${\tilde {C}}_{2}$	${\tilde{I}}_1$ x ${\tilde{I}}_1$	${\tilde {G}}_{2}$	${\tilde {A}}_{2}$
Coxeter csoport	[4,4]	[∞4,∞]	[6,3]	[(3,3,3)] = [3 [3] ]
alapvető terület
Coxeter-Dynkin diagram

Coxeter csoportok az euklideszi síkon a megfelelő diagramokkal. A tükrök R 1, R 2 stb. gráfcsomópontoknak vannak jelölve, és a visszaverődés sorrendjének megfelelően színezve. A 90 fokos visszaverődések semmit nem változtatnak, ezért eltávolítják a diagramból. A párhuzamos visszaverődéseket ∞ jelöli. Az x prizmatikus csoport duplázóként jelenik meg , de létrehozható négyszögletes területként is, amely duplázó háromszögekből származik . a háromszög megkettőzése . ${\tilde{I}}_1$ ${\tilde{I}}_1$ ${\tilde{C}}_2$ ${\tilde{G}}_2$ ${\tilde{A}}_2$ ${\tilde{G}}_2$

Néhány hiperbolikus kaleidoszkóp

Coxeter csoport	[n,4]	[∞n,∞]	[n,3]	[(n,3,3)]
alapvető terület
Kettős gráf (teljes Coxeter-séma)
Coxeter-Dynkin diagram
	n=5,6...	n=3,4...	n=7,8...	n=4,5

A hiperbolikus síkon számos Coxeter-csoport kiterjeszthető az euklideszi esetből, mint hiperbolikus megoldások sorozata.

Coxeter csoportok háromdimenziós térben a megfelelő diagramokkal. A tükrök (háromszöglapok) ellentétes csúcsai 0..3. Az ágakat a tükröződés sorrendjének megfelelően színezzük. kitölti a kocka 1/48-át. kitölti a kocka 1/24 részét. kitölti a kocka 1/12-ét. ${\tilde{C}}_3$ ${\tilde{B}}_3$ ${\tilde {A}}_{3}$	Coxeter csoportok a gömbön megfelelő diagramokkal. Az egyik alapvető régió sárga színnel van kiemelve. A régió csúcsait (és a gráf ágait) a tükrözés sorrendjének megfelelően színezzük.

Véges Coxeter csoportok

Lásd még a poliédercsaládokat az ezekhez a csoportokhoz kapcsolódó egységes poliéderek táblázatához.

Minden csoporthoz három különböző jelölés tartozik - egy alfanumerikus jelölés, egy zárójelben lévő számkészlet és egy Coxeter-diagram.
A D n elágazó csoportok a közönséges C n csoportok fele vagy váltakozó változatai .
A D n és E n elágazó csoportokra a [3 a , b , c ] felső indexű jelölést adjuk meg, ahol az a , b és c számok a szegmensek számát adják meg mindhárom ágban.

Kapcsolódó Dynkin-gráfok 1-től 9-ig

Rang	Egyszerű hazugság csoportok			Kivételes hazugságcsoportok
Rang	${A}_{1+}$	${BC}_{2+}$	${D}_{2+}$		${F}_{3-4}$	${G}_{2}$	${H}_{2-4}$	${I}_{2}(p)$
egy	A 1 =[]
2	A 2 =[3]	B2 = [4]	D 2 \u003d A 1 xA 1			G2 = [6]	H2 = [5]	I 2 [p]
3	A 3 = [3 2 ]	B3 =[3,4 ]	D3 = A3_ _	E 3 \u003d A 2 A 1	F 3 \u003d B 3		H3_ _
négy	A 4 = [3 3 ]	B 4 \u003d [3 2 ,4]	D4 =[ 3 1,1,1 ]	E 4 = A 4	F4_ _		H4 _
5	A 5 = [3 4 ]	B 5 \u003d [3 3 ,4]	D5 =[ 3 2,1,1 ]	E 5 = D 5
6	A 6 = [3 5 ]	B 6 \u003d [3 4 ,4]	D 6 \u003d [3 3,1,1 ]	E 6 \u003d [3 2,2,1 ]
7	A 7 =[3 6 ]	B 7 \u003d [3 5 ,4]	D 7 \u003d [3 4,1,1 ]	E 7 \u003d [3 3,2,1 ]
nyolc	A 8 =[3 7 ]	B 8 \u003d [3 6 ,4]	D 8 \u003d [3 5,1,1 ]	E 8 =[3 4,2,1 ]
9	A 9 = [3 8 ]	B 9 \u003d [3 7 ,4]	D9 =[ 3 6 , 1, 1 ]
10+	..	..	..	..

Alkalmazás homogén politópokhoz

A Coxeter-Dynkin diagramok az egységes politópok és az egységes csempe szinte minden osztályát kifejezetten felsorolják . Minden egyszerű tükörszimmetriájú egységes poliéder (néhány speciális eset kivételével mindegyik egyszerű tükörszimmetriával) ábrázolható címkével permutált Coxeter-Dynkin diagramokkal . Ilyen tükrök és egy generáló pont segítségével minden egységes poliéder előállítható - a reflexiók a szimmetria eredményeként új pontokat hoznak létre, majd meghatározhatók a poliéder pontok közötti élei és azok tükörreflexiói. Az arcokat úgy lehet építeni, hogy élekből stb. ciklust generálunk. Egy generáló csúcs megadásához egy vagy több csomópontot körbe kell körözni, ami azt jelenti, hogy a csúcs nincs a körbekerített csomópontok által képviselt tükör(ek)en. (Ha két vagy több tükröt jelölünk, akkor a csúcs egyenlő távolságra van tőlük.) A tükör csak azokon a pontokon aktív (reflexiókat hoz létre), amelyek nem fekszenek rá. A diagramnak legalább egy aktív csomóponttal kell rendelkeznie a poliéder ábrázolásához.

Minden szabályos többdimenziós poliéder , amelyet a Schläfli - szimbólum ( p , q , r , …) reprezentál, rendelkezhet egy n tükör által reprezentált alapvető tartományokkal a megfelelő Coxeter–Dynkin diagrammal, mint p , q , r címkével ellátott csomópontok és ágak sorozata , … az első körbeírt csomóval.

Az egy körből álló egységes poliéderek az alaptartomány szimplexének sarkaiban keletkező pontoknak felelnek meg. A két kör a szimplex éleinek felel meg és választási szabadsággal rendelkezik, de csak a közepe vezet homogén megoldáshoz azonos élhosszúsággal. Általában a k körrel rendelkező generátorok a szimplex (k-1)-dimenziós lapjai. Ha minden csomópont körökkel van megjelölve, akkor a generáló pont a szimplexen belül van.

Egy másik jelölőelem az egységes poliéderek nem tükör szimmetriájának egy speciális esetét fejezi ki. Ezek az esetek a poliéderek tükörszimmetriájának váltakozásaiként léteznek . Ebből a jelölőelemből hiányzik a körrel jelölt csomópont központi pontja, amelyet ezután lyuknak neveznek , és ez azt jelenti, hogy egy ilyen csomópont egy távoli alternáló csúcs. A kapott poliéder az eredeti Coxeter-csoport szubszimmetriáival rendelkezik . A csonka váltakozást metszésnek nevezzük .

Egyetlen csomópont egyetlen tükröt képvisel. A megfelelő csoportot A 1 -gyel jelöljük . A csomópont körüli kör a tükörre merőleges szakaszt eredményez , és ezt {}-ként jelöljük.
A két nem összekapcsolt csomópont két merőleges tükröt képvisel. Ha mindkét csomópont be van körözve, akkor téglalap hozható létre , vagy négyzet , ha a pontok azonos távolságra vannak mindkét tükörtől.
Két n -rendű ággal összekötött csomópont létrehozhat egy n - gont , ha a pont az egyik tükörön van, és egy 2n -gont, ha a pont egyik tükörön sincs. Ez a két csomópont egy I 1 (n) csoportot alkot.
Két párhuzamos tükör reprezentálhatja az I 1 (∞) végtelen sokszögcsoportot, amelyet szintén £ 1 jelölünk .
Három háromszög alakú tükör alkotja azokat a képeket, amelyek a hagyományos kaleidoszkópban megfigyelhetők, és ez a konfiguráció három, háromszögben összekapcsolt csomóponttal ábrázolható. A periodikus példákban a (3 3 3), (2 4 4) és (2 3 6) feliratú ágak lesznek, bár az utolsó kettő egyenes vonalként is megrajzolható (a 2 ág eltávolításával ). Egységes mozaikokat generálnak .
Három tükör egységes poliédert hozhat létre, beleértve a racionális számokból származó Schwarz-háromszögeket .
Három tükör, ahol az egyik tükör merőleges a másik kettőre, egységes prizmát hozhat létre .

Egy közös háromszögre 7 tükörhomogén konstrukció létezik, amelyek a generátor 7 topológiai helyzetén alapulnak az alapterületen belül. Minden egyes aktív tükörnek van egy generátora a sarokban, és egy élt képez, két tükör esetében a generátor a háromszög egyik oldalán, három aktív tükörnél pedig a háromszög belsejében van egy generátor. Egy vagy két szabadságfok egy pozícióra csökkenthető, hogy a kapott poliéderben vagy csempézésben egyenlő élhosszúság érhető el.	Példa hét generátorra oktaéder szimmetriájú alapháromszöggel (4 3 2) és a nyolcadik generátor metszésével

A kettős egységes poliédereket néha függőleges csíkokkal jelölik a körbekerített csomópontok helyett, és az áthúzott üres csomópont (nincs belső pont) vágást jelez. Például,egy téglalapot ábrázol (két aktív merőleges tükörként), éskettős sokszögét jelenti ( gyémánt ).

Példák poliéderekre és burkolólapokra

Példaként a B 3 Coxeter csoport rendelkezik a sémával. Oktaéder szimmetriának is nevezik .

7 konvex egyenletes poliéder létezik, amelyek megszerkeszthetők ezzel a szimmetriacsoporttal és 3 alternációs szubszimmetriájával, mindegyik egyetlen Coxeter-Dynkin sémával. A Wythoff-szimbólum a Coxeter-séma egy speciális esetét jelöli 3-as rangú gráfokhoz, amelyek mindhárom ágával a 2-es rendű ágakat nem törölték. A Wythoff-szimbólum képes vágással dolgozni , de nem általános váltakozásokkal, amikor nincs minden csomópont karikázva.

Egységes oktaéder poliéder

Szimmetria : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Kettős poliéder

V4 3	v3.82_ _	V(3.4) 2	v4.62_ _	V3 4	v3.43_ _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Ugyanezek a konstrukciók elvégezhetők szétválasztott (ortogonális) Coxeter-csoportokkal, mint például a homogén prizmák csoportjával , és tisztábban tekinthetők a gömbön lévő diéderek és oszoéderek csempézettjeiként , mint például a [6] × [] vagy [6, 2]:

Egységes hatszögletű kétszög alakú gömbpoliéder

Szimmetria : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Kettős poliéderük

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26_ _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

[6,3]-hoz képest a családkét párhuzamos családot hoz létre az euklideszi sík 7 egységes csempéjéből és ezek kettős burkolatából. Ismét van 3 alternatíva és több félszimmetrikus változat.

Homogén hatszögletű/háromszögletű burkolólapok

Szimmetria : [6,3], (*632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}


6 3	3,12 2	(3.6) 2	6.6.6	3 6	3.4.12.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Kettős homogén burkolatuk

V6 3	V3.122 [ hu	V(3.6 2	V6 3	V3 6	V3.4.12.4	V.4.6.12	V3 4.6 [ hu	V3 6

A hiperbolikus síkon [7,3] a családkét párhuzamos készletet hoz létre az euklideszi sík homogén csempéiből és ezek kettős burkolásából. Csak egy váltakozás van ( csonkítás ), mivel minden ág páratlan. A hiperbolikus síkon található egységes burkolólapok között sok más hiperbolikus burkolatcsalád is látható .

Egységes hétszög/háromszög alakú burkolólapok
Szimmetria: [7,3], (*732)							[7,3] + , (732)


{7,3}	t{7,3}	r{7,3	2t{7,3} =t{3,7}	2r{7,3} ={3,7}	rr{7,3	tr{7,3	sr{7,3
Homogén kettős burkolatok


V7 3	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3 7	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Affine Coxeter csoportok

A konvex homogén euklideszi burkolólapok családjait az affin Coxeter csoport határozza meg . Ezek a csoportok egy csomópont hozzáadásával megegyeznek a levélcsoportokkal. Betűrendben ugyanazt a betűt kapják, a betű fölött egy tildával ("~"). Az index véges csoportra vonatkozik, így a rangsor index + 1. ( Az affin csoportok Witt szimbólumai is meg vannak jelölve )

${\tilde{A}}_{n-1}$ : az ilyen típusú diagramok ciklusok. (P n is )
${\tilde{C}}_{n-1}$ a hiperköbös szabályos burkolólapok családjához kapcsolódik (3, …., 4). (R n is )
${\tilde{B}}_{n-1}$ kapcsolódó C-vel egy kiskorú eltávolítása. (S n is )
${\tilde{D}}_{n-1}$ két kiskorú eltávolításával kapcsolódik C-hez. (Q n is )
${\tilde {E}}_{6}$ , , . (T 7 , T 8 , T 9 is ) ${\tilde{E}}_7$ ${\tilde{E}}_8$
${\tilde{F}}_4$ szabályos csempét alkot {3,4,3,3}. (U 5 is )
${\tilde{G}}_2$ 30-60-90 háromszög alapterületet alkot. (V 3 is )
${\tilde{I}}_1$ két párhuzamos tükörből áll. (= = ) (W 2 is ) ${\tilde{A}}_1$ ${\tilde{C}}_1$

Az összetett csoportok ortogonális rendszerként definiálhatók. Leggyakrabban használt . Például, ${\tilde{A}}_1$ ${\tilde{A}}_1^2$ négyzet vagy téglalap alakú régiókat jelöl az euklideszi síkon, és ${\tilde{A}}_1 {\tilde{G}}_2$ az alapvető tartományt háromszög prizmaként ábrázolja az euklideszi 3D térben.

Affine Coxeter csoportok (2 és 10 csomó között)

Rang	${\tilde {A}}_{1+}$ (P2 + )	${\tilde {B}}_{3+}$ (S4 + )	${\tilde{C}}_{1+}$ (R2 + )	${\tilde {D}}_{4+}$ (Q5 + )	${\tilde{E}}_n$ (T n+1 ) / (U 5 ) / (V 3 ) ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde{G}}_2$
2	${\tilde{A}}_1$ =[∞]		${\tilde{C}}_1$ =[∞]
3	${\tilde {A}}_{2}$ =[3 [3] ] *		${\tilde {C}}_{2}$ =[4,4] *		${\tilde {G}}_{2}$ =[6,3] *
négy	${\tilde {A}}_{3}$ =[3 [4] ] *	${\tilde {B}}_{3}$ =[4,3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{3}$ =[4,3,4] *	${\tilde{D}}_{3}$ =[3 1,1 ,3 -1 ,3 1,1 ] = ${\tilde {A}}_{3}$
5	${\tilde {A}}_{4}$ =[3 [5] ] *	${\tilde {B}}_{4}$ =[4,3,3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{4}$ =[4,3 2,4 ] *	${\tilde {D}}_{4}$ =[3 1,1,1,1 ] *	${\tilde {F}}_{4}$ =[3,4,3,3] *
6	${\tilde {A}}_{5}$ =[3 [6] ] *	${\tilde {B}}_{5}$ =[4,3 2 ,3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{5}$ =[4,3 3,4 ] *	${\tilde {D}}_{5}$ =[3 1,1 ,3,3 1,1 ] *
7	${\tilde {A}}_{6}$ =[3 [7] ] *	${\tilde {B}}_{6}$ =[4,3 3 ,3 1,1 ]	${\tilde {C}}_{6}$ =[4,3 4,4 ]	${\tilde {D}}_{6}$ =[3 1,1 ,3 2 ,3 1,1 ]	${\tilde {E}}_{6}$ =[3 2,2,2 ]
nyolc	${\tilde {A}}_{7}$ =[3 [8] ] *	${\tilde {B}}_{7}$ =[4,3 4 ,3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{7}$ =[4,3 5,4 ]	${\tilde {D}}_{7}$ =[3 1,1 ,3 3 ,3 1,1 ] *	${\tilde {E}}_{7}$ =[3 3,3,1 ] *
9	${\tilde {A}}_{8}$ =[3 [9] ] *	${\tilde {B}}_{8}$ = [ 4,35,31,1 ] _	${\tilde {C}}_{8}$ =[4,3 6,4 ]	${\tilde {D}}_{8}$ =[3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ]	${\tilde {E}}_{8}$ =[3 5,2,1 ] *
tíz	${\tilde {A}}_{9}$ =[3 [10] ] *	${\tilde {B}}_{9}$ = [ 4,36,31,1 ] _	${\tilde {C}}_{9}$ =[4,3 7,4 ]	${\tilde {D}}_{9}$ =[3 1,1 ,3 5 ,3 1,1 ]
tizenegy	…	…	…	…

Hiperbolikus Coxeter csoportok

Végtelenül sok végtelen hiperbolikus Coxeter-csoport létezik . A hiperbolikus csoportokat kompakt és nem kompakt csoportokra osztják, ahol a kompakt csoportok alapvető tartományokkal rendelkeznek. A hiperbolikus egyszerűségek kompakt csoportjai ( Lanner-simlices ) léteznek a 3-tól 5-ig terjedő rangokhoz. Az egyszerűségek parakompakt csoportjai ( Koszul simplices) a 10. rangig léteznek. A hiperkompakt ( Vinberg polyhedra ) csoportokat tanulmányozták, de még nem teljesen ismerték. 2006-ban Allcock bebizonyította, hogy végtelenül sok kompakt Vinberg-politóp létezik 6-ig terjedő méretű terekhez, és végtelen sok Vinberg-politóp 19-ig [7] , így a teljes felsorolás lehetetlen. A reflexiók ezen alapvető tartományait, mind az egyszerűket, mind a nem egyszerűket gyakran Coxeter-politópoknak , vagy néha kevésbé pontosan Coxeter - poliédereknek nevezik .

Hiperbolikus csoportok H 2 -ben

Poincaré modellje a háromszögek alaptartományáról

Példák derékszögű háromszögekre [p, q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞,∞]
Példák általános háromszögekre [(p, q, r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3,∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3,∞,∞)]	[(6,6,6)]	[(∞,∞,∞)]

A kétdimenziós hiperbolikus háromszögcsoportok a háromszög (pqr) által meghatározott 3. rangú Coxeter-sémaként léteznek:

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1.

Végtelenül sok kompakt háromszög alakú hiperbolikus Coxeter-csoport létezik, beleértve a vonal- és háromszöggráfokat. Egyenes grafikonok léteznek derékszögű háromszögekhez (r=2). [nyolc]

Kompakt hiperbolikus Coxeter csoportok

Lineáris

Ciklikus

∞ [p, q],

:
2(p+q)<pq

…

…

…

∞ [(p, q, r)],

: p+q+r>9

			…

A 3. rangú Paracompact Coxeter csoportok a kompaktok határaiként léteznek.

Vonalgrafikonok	Ciklikus grafikonok
[p,∞] [∞,∞]	[(p, q,∞)] [(p,∞,∞)] [(∞,∞,∞)]

Háromszög aritmetikai csoportja

A hiperbolikus háromszögcsoportok véges részhalmaza az aritmetikai csoportok . Az ilyen csoportok teljes listáját Kisao Takeuchi számítógépe segítségével találta meg, és az 1977-es Arithmetic Groups of Triangles című cikkben [9] publikálta . 85 ilyen csoport van, ebből 76 kompakt és 9 parakompakt.

Derékszögű háromszögek (pq 2)	Általános háromszögek (pqr)
Kompakt csoportok: (76) ,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,, ,,,, ,,,,,,, Parakompakt derékszögű háromszögek: (4) ,,,	Általános háromszögek: (39) ,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,, ,,,,,,,, Általános parakompakt háromszögek: (5) ,,,,
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30) (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12) (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18) (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18) (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)	(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15) (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3) 10 30), (3 12 12) (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16) (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10) (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15) (3,3∞) (3∞∞) (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Hiperbolikus Coxeter sokszögek háromszögek felett Négyszögcsoportok alapterülete

Tökéletes csúcsokkal rendelkező területek
vagy [∞,3,∞] [iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 ] (*3222)	vagy [((3,∞,3)),∞] [((3,iπ/λ 1 ,3)), iπ/λ 2 ] (*3322)	vagy [(3,∞) [2] ] [(3,iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 )] (*3232)	vagy [(4,∞) [2] ] [(4,iπ/λ 1 ,4,iπ/λ 2 )] (*4242)	(*3333)
[iπ/λ 1 ,∞,iπ/λ 2 ] (*∞222)	(*∞∞22)	[(iπ/λ 1 ,∞,iπ/λ 2 ,∞)] (*2∞2∞)	(*∞∞∞∞)	(*4444)

Más H 2 hiperbolikus kaleidoszkópok is építhetők magasabb rendű poligonokból. A háromszögcsoportokhoz hasonlóan ezek a kaleidoszkópok is azonosíthatók az alapterület körüli tükör-keresztezési sorrendek ciklikus sorozatával, például (abcd …), vagy ezzel egyenértékű módon (az orbifold jelölése szerint ), mint * abcd …. A Coxeter-Dynkin diagramok ezekhez a sokszögű kaleidoszkópokhoz egy degenerált -dimenziós szimplex alaptartománynak tekinthetők a, b, c… ágak ciklikus sorrendjével, a fennmaradó ágak pedig végtelennek (∞) vannak jelölve, és nem metsző ágakat képviselnek. tükrök. Az egyetlen nem hiperbolikus példa egy négyzet vagy téglalap négy tükörének szimmetriája (euklideszi térben) , $(n-1)$ $n\cdot (n-3)/2$ , [∞,2,∞] (orbifold *2222). A diszjunkt tükrök ágainak egy másik ábrázolása, amelyet Vinberg javasolt , a végtelen ágakat pontozott vagy szaggatott vonalakkal ábrázolja, így a diagramok így néznek kikerülete mentén feltételezett négy 2-es rendű ággal.

Például egy négyszögletű régiónak (abcd) két végtelen rendű ága lesz, amelyek ultrapárhuzamos tükröket kötnek össze. A legkisebb hiperbolikus példa az, [∞,3,∞] vagy [iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 ] (orbifold *3222), ahol (λ 1 ,λ 2 ) az ultrapárhuzamos tükrök távolsága. Alternatív kifejezés az, három 2-es rendű ággal a kerület körül. Hasonlóképpen a (2 3 2 3) (orbifold *3232) is ábrázolhatóés (3 3 3 3), (orbifold *3333) teljes gráfként ábrázolható.

A legmagasabb négyzetrégió (∞ ∞ ∞ ∞) egy végtelen négyzet, amelyet egy teljes tetraéder gráf ábrázol, amelynek 4 kerületi ága ideális csúcs, és két átlós ág végtelenként (szaggatott vonallal jelölve) ultrapárhuzamos tükrök esetén:.

Kompakt (Lanner egyszerű csoportok)

A kompakt hiperbolikus csoportokat Lanner-csoportoknak nevezik Folke Lanner után, aki 1950-ben tanulmányozta őket [5] . A csoportok csak a 4-es és 5-ös rangú gráfokhoz léteznek. Coxeter lineáris hiperbolikus csoportokat tanulmányozott (saját nevével) a Regular Honeycombs in hyperbolic space [ 10] című 1954-es cikkében , amely két racionális megoldást ad a 4-dimenziós hiperbolikus térben : [5/2,5,3,3] =és [5,5/2,5,3] =.

4-5 . helyezés

A két osztott csoport [5,3 1,1 ] és [5,3,3 1,1 ] bármelyikének alaptartománya a megfelelő lineáris csoport [5,3,4] és [5,3] megduplázódása. ,3,4] ill. A csoportok betűneveit Johnson adja meg a Witt szimbólumok kiterjesztéseként [11] .

Kompakt hiperbolikus Coxeter csoportok

Méret H d	Rang	Teljes szám	Lineáris	hasadó	Ciklikus
H3_ _	négy	9	3: ${\bar{BH}}_3$ = [4,3,5]: ${\bar{K}}_3$ = [5,3,5]: ${\bar{J}}_3$ = [3,5,3]:	${\bar{DH}}_3$ = [5,3 1,1 ]:	${\widehat{AB}}_3$ = [(3 3 ,4)]: ${\widehat{AH}}_3$ = [(3 3 ,5)]: ${\widehat{BB}}_3$ = [(3,4) [2] ]: ${\widehat{BH}}_3$ = [(3,4,3,5)]: ${\widehat{HH}}_3$ = [(3,5) [2] ]:
H4 _	5	5	3: ${\bar{H}}_4$ = [3 3 ,5]: ${\bar{BH}}_4$ = [4,3,3,5]: ${\bar{K}}_4$ = [5,3,3,5]:	${\bar{DH}}_4$ = [5,3,3 1,1 ]:	${\widehat{AF}}_4$ = [(3 4 ,4)]:

Paracompact (Koszul egyszerűségek csoportjai)

Parakompakt (más néven nem kompakt) hiperbolikus Coxeter-csoportok affin alcsoportokat tartalmaznak, és aszimptotikusan szimplex alapvető tartományokkal rendelkeznek. A legmagasabb parakompakt hiperbolikus Coxeter-csoportok a 10. rangúak. Ezeket a csoportokat Jean-Louis Koszul francia matematikusról nevezték el [12] . Kvázi Lanner-csoportoknak is nevezik őket a kompakt Lanner-csoportok kiterjesztéseként. A csoportok teljes listáját M. Chein találta meg számítógép segítségével, és 1969-ben publikálta [13] .

Vinberg szerint nyolc kivételével a 72 kompakt és parakompakt csoport mindegyike aritmetikai. Két nem aritmetikai csoport kompakt −és. A fennmaradó hat nem aritmetikai csoport parakompakt, ebből öt háromdimenziós (,,,és), az egyik pedig 5 dimenziós ().

Ideális egyszerűségek

5 hiperbolikus Coxeter-csoport létezik, amelyek ideális egyszerűségeket tükröznek , amelyek gráfokkal rendelkeznek, amelyek bármelyik csúcsának eltávolítása egy affin Coxeter-csoporthoz vezet. Ebben az esetben ezen ideális egyszerűségek összes csúcsa a végtelenben van [14] .

Rang	Ideális csoport	Affin alcsoportok
3	[(∞,∞,∞)]	[∞]
négy	[4 [4] ]	[4,4]
négy	[3 [3,3] ]	[3 [3] ]
négy	[(3,6) [2] ]	[3,6]
6	[(3,3,4) [2] ]	[4,3,3,4], [3,4,3,3]	,

4-10 . helyezés

58 parakompakt hiperbolikus Coxeter-csoport létezik, 4-től 10-ig terjedő rangokkal. Mind az 58 csoport öt kategóriába van csoportosítva. A csoportok betűjelölését Johnson kiterjesztett Witt szimbólumként adta meg , amelyhez az affin Witt szimbólumok közül a PQRSTWUV betűket használta, és hozzáadta az LMNOXYZ betűket. A hiperbolikus csoportok jelöléseinek betűi felett aláhúzás, vagy felső (ciklikus sémák esetén) található. A Coxeter zárójel jelölése a Coxeter csoport linearizált ábrázolása.

Hiperbolikus parakompakt csoportok

Rang	Teljes szám	Csoportok
négy	23	${\widehat{BR}}_3$ = [(3,3,4,4)]: ${\widehat{CR}}_3$ = [(3,4 3 )]: ${\widehat{RR}}_3$ = [4 [4] ]: ${\widehat{AV}}_3$ = [(3 3 ,6)]: ${\widehat{BV}}_3$ = [(3,4,3,6)]: ${\widehat{HV}}_3$ = [(3,5,3,6)]: ${\widehat{VV}}_3$ = [(3,6) [2] ]:	${\bar{P}}_3$ = [3,3 [3] ]: ${\bar{BP}}_3$ = [4,3 [3] ]: ${\bar{HP}}_3$ = [5,3 [3] ]: ${\bar{VP}}_3$ = [6,3 [3] ]: ${\bar{DV}}_3$ = [6,3 1,1 ]: ${\bar{O}}_3$ = [3,4 1,1 ]: ${\bar{M}}_3$ = [4 1,1,1 ]:	${\bar{R}}_3$ = [3,4,4]: ${\bar{N}}_3$ = [4 3 ]: ${\bar{V}}_3$ = [3,3,6]: ${\bar{BV}}_3$ = [4,3,6]: ${\bar{HV}}_3$ = [5,3,6]: ${\bar{Y}}_3$ = [3,6,3]: ${\bar{Z}}_3$ = [6,3,6]:	${\bar{DP}}_3$ = [3 []x[] ]: ${\bar{PP}}_3$ = [3 [3,3] ]:
5	9	${\bar{P}}_4$ = [3,3 [4] ]: ${\bar{BP}}_4$ = [4,3 [4] ]: ${\widehat{FR}}_4$ = [(3 2 ,4,3,4)]: ${\bar{DP}}_4$ = [3 [3]x[] ]:	${\bar{N}}_4$ = [4,3,((4,2,3))]: ${\bar{O}}_4$ = [3,4,3 1,1 ]: ${\bar{S}}_4$ = [4,3 2,1 ]:	${\bar{R}}_4$ = [(3,4) 2 ]:	${\bar{M}}_4$ = [4,3 1,1,1 ]:
6	12	${\bar{P}}_5$ = [3,3 [5] ]: ${\widehat{AU}}_5$ = [(3 5 ,4)]: ${\widehat{AR}}_5$ = [(3,3,4) [2] ]:	${\bar{S}}_5$ = [4,3,3 2,1 ]: ${\bar{O}}_5$ = [3,4,3 1,1 ]: ${\bar{N}}_5$ = [3,(3,4) 1,1 ]:	${\bar{U}}_5$ = [3 3 , 4, 3]: ${\bar{X}}_5$ = [3,3,4,3,3]: ${\bar{R}}_5$ = [3,4,3,3,4]:	${\bar{Q}}_5$ = [3 2,1,1,1 ]: ${\bar{M}}_5$ = [4,3,3 1,1,1 ]: ${\bar{L}}_5$ = [3 1,1,1,1,1 ]:
7	3	${\bar{P}}_6$ = [3,3 [6] ]:	${\bar{Q}}_6$ = [3 1,1 ,3,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_6$ = [4,3 2 ,3 2,1 ]:
nyolc	négy	${\bar{P}}_7$ = [3,3 [7] ]:	${\bar{Q}}_7$ = [3 1,1 ,3 2 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_7$ = [4,3 3 ,3 2,1 ]:	${\bar{T}}_7$ = [3 3,2,2 ]:
9	négy	${\bar{P}}_8$ = [3,3 [8] ]:	${\bar{Q}}_8$ = [3 1,1 ,3 3 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_8$ = [4,3 4 ,3 2,1 ]:	${\bar{T}}_8$ = [3 4,3,1 ]:
tíz	3		${\bar{Q}}_9$ = [3 1,1 ,3 4 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_9$ = [4,3 5 , 3 2,1 ]:	${\bar{T}}_9$ = [3 6,2,1 ]:

Parakompakt hiperbolikus csoportok alcsoportjainak kapcsolatai

Az alábbi grafikonok a parakompakt hiperbolikus csoportok alcsoportjainak kapcsolatait ábrázolják. Az egyes élek alcsoport-indexe pirossal van megadva [15] . A 2-es indexű alcsoportok a tükör eltávolítását és az alapvető tartomány megkettőzését jelentik. Más alcsoportok arányosak (a térfogatok aránya egész szám).

H3_ _
H4 _
H5_ _

Hiperkompakt Coxeter csoportok (Vinberg polytopes)

Ahogy a H 2 hiperbolikus sík esetében , amelynek nem háromszög alakú sokszögű alaptartományai vannak, itt is vannak magasabb dimenziójú tartományok, amelyek nem egyszerűek. Ezek a tartományok degenerált egyszerűségeknek tekinthetők, nem metsző tükrökkel, végtelen sorrendet adva. A Coxeter-diagramokon az ilyen ágakat pontozott vagy szaggatott vonalak tükrözik. Az ilyen tartományokat, amelyek nem egyszerűek , Vinberg- politópoknak nevezik Ernest Vinberg után , aki kifejlesztett egy algoritmust egy hiperbolikus reflexiós csoport nem szimplex alaptartományának megtalálására. Geometriailag ezek az alapterületek négyszög alakú piramisok vagy prizmák , vagy egyéb poliéderek közé sorolhatók, amelyek minden élén π/n diéderszög van n=2,3,4…

A szimplex tartományokban egy n-dimenziós térhez n + 1 tükör tartozik. A nem szimplex régiókban több mint n + 1 tükör található. A lista véges, de még nem teljesen ismert. Vannak olyan részlisták, amelyekben n + k tükör k egyenlő 2, 3 és 4 értékkel.

A háromdimenziós térben és felette lévő hiperkompakt Coxeter csoportok egy lényeges vonatkozásban különböznek a kétdimenziós csoportoktól. A síkban két hiperbolikus n-szög, amelyeknek valamilyen ciklikus sorrendben azonos szögei vannak, eltérő élhosszúak lehetnek, és általában nem kongruensek . A Vinberg-politópokat a 3-dimenziós térben és annál nagyobb mértékben diéderszögek határozzák meg. Ez a tény a Mostow-féle merevségi tételen alapul , amely kimondja, hogy két izomorf csoport, amely a H n -ben n>=3 esetén reflexiókkal alakul ki, egybevágó alaptartományokat (Vinberg-politópokat) határoz meg.

n+2 rangú Vinberg-politópok n-dimenziós térhez

Az n-dimenziós terekre vonatkozó n+2 tükörrangú Vinberg-politópok teljes listáját F. Esselmann adta meg 1996-ban [16] . A részleges listát 1974-ben tette közzé I. M. Kaplinskaya [17] .

A parakompakt megoldások teljes listáját P. V. Tumarkin tette közzé 2003-ban 3-tól 17-ig terjedő méretekre [18] .

A legkisebb parakompakt halmaz a H 3 -ban így ábrázolhatóvagy [∞,3,3,∞], és összeállítható úgy, hogy egy parakompakt hiperbolikus csoportból tükröt távolítunk el [3,4,4]. A megkettőzött alapterület tetraéderből négyszögletű piramissá válik. Egyéb piramisok a következők: [4,4,1 + ,4] = [∞,4,4,∞],=. Néhány ciklikus hiperbolikus Coxeter-gráf tükröt eltávolítva csokornyakkendővé válik: [(3,3,4,1 + ,4)] = [((3,∞,3)), ((3,∞,3)) ] vagy, [(3,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,3)), ((3,∞,4))], vagy, [(4,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,4)), ((4,∞,4))], vagy.

Más parakompakt gráfok négyszög alakú piramis alapterületekkel a következők:

Dimenzió	Rang	Számít
H3_ _	5	,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,

Egy másik alcsoport [1 + ,4 1,1,1 ] = [∞,4,1 + ,4,∞] = [∞ [6] ].==. [19]

n+3 rangú Vinberg-politópok n-dimenziós térhez

A legfeljebb 8 dimenziós terekben véges számú degenerált alapvető tartomány létezik. P. V. Tumarkin 2004-ben adta meg az n-dimenziós terekre vonatkozó n+3 tükörrangú kompakt Vinberg-politópok teljes listáját . Ezeket a csoportokat szaggatott/szaggatott vonalak jelölik az ultrapárhuzamos ágak esetében.

A 4-től 8-ig terjedő dimenzióknál a 7-től 11-ig terjedő Coxeter-csoportok száma rendre 44, 16, 3, 1 és 1 [20] . A legmagasabb rangú csoportot Bugaenko fedezte fel 1984-ben egy 8-as dimenziójú térben, és 11-es rangot kapott [21] :

Méretek	Rang	esetek	Grafikonok
H4 _	7	44	…
H5_ _	nyolc	16	..
H6_ _	9	3
H7_ _	tíz	egy
H8_ _	tizenegy	egy

n+4 rangú Vinberg-politópok n-dimenziós térhez

Véges számú degenerált alapvető egyszerűség létezik, legfeljebb nyolc dimenzióban. Anna Felikson és Pavel Tumarkin 2005-ben tanulmányozta a kompakt Vinberg-politópokat, amelyek tükörrangsora n+4 az n dimenzióhoz. [22]

Lorentz csoportok

Rendszeres lépek Lorentz csoportokkal

{3,3,7} hiperbolikus 3-dimenziós térben. A méhsejt és a végtelen sík metszéspontját a Poincaré-féle féltérmodell mutatja be .	{7,3,3} , a Poincaré labda modellen kívül ábrázolva.

A Lorentz-csoportok a Minkowski-tér Lorentz-transzformációs csoportjai . Kapcsolatuk van a speciális relativitáselméletben használt Hendrik Lorentzről elnevezett Lorentz-geometriával és az általános relativitáselméletben a téridő fogalmával , amely időszerű vektorokat tartalmaz, amelyek skaláris szorzata önmagával ad negatív eredmény [11] .

Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups 1982-es tanulmányában a Lorentz-csoportok 5-től 11-ig terjedő rangú listája szerepel. Az általa megadott lista teljes, de nem tükrözi azokat az eseteket, amikor az egyik csoport egy másik alcsoportja. Végtelenül sok Lorentz-csoport van 4-es ranggal. Az 5-11. rangokhoz véges számú Lorentz-csoport tartozik: 186, 66, 36, 13, 10, 8 és 4 [6] . Egy 2013-as cikkben Chen és Labbé (H. Chen, J.-P. Labbé, Lorentzian Coxeter csoportok és Boyd--Maxwell ball packings ) újraszámolta és kiegészítette a listát [23] .

Lorentz Coxeter csoportok

Rang	teljes szám	Csoportok
négy	∞	[3,3,7] … [∞,∞,∞]:… [4,3 [3] ] … [∞,∞ [3] ]:… [5,4 1,1 ] … [∞ 1,1,1 ]:… … [(5,4,3,3)] … [∞ [4] ]: …… … [4 []×[] ] … [∞ []×[] ]: … … [4 [3,3] ] … [∞ [3,3] ]
5	186	…[3 [3,3,3] ]:…
6	66
7	36	[3 1,1,1,1,1,1 ]:…
nyolc	13	[3,3,3 [6] ]: [3,3 [6] , 3]: [3,3 [2+4] ,3]: [3,3 [1+5] ,3]: [3 [ ]e × [3] ]:	[4,3,3,3 3,1 ]: [3 1,1 , 3,3 3,1 ]: [3,(3,3,4) 1,1 ]: [3 2,1 , 3,3 2,1 ]:		[4,3,3,3 2,2 ]: [3 1,1 , 3,3 2,2 ]:
9	tíz	[3,3 [3+4] ,3]: [3,3 [9] ]: [3,3 [2+5] ,3]:	[3 2.1 ,3 2.3 2.1 ] :	[3 3,1 ,3 3,4 ]: [3 3,1 ,3,3,3 1,1 ]:	[3 3,3,2 ]: [3 2,2,4 ]: [3 2,2 ,3 3,4 ]: [3 2,2 ,3,3,3 1,1 ]:
tíz	nyolc	[3,3 [8] , 3]: [3,3 [3+5] ,3]: [3,3 [9] ]:	[3 2,1 ,3 3 , 3 2,1 ] :	[3 5,3,1 ]: [3 3,1 , 3 4,4 ]: [3 3,1 ,3 3 ,3 1,1 ] :	[3 4,4,1 ]:
tizenegy	négy		[3 2,1 ,3 4 , 3 2,1 ] :	[3 2,1 ,3 6,4 ]: [3 2,1 ,3 5 , 3 1,1 ]:	[3 7,2,1 ]:

Nagyon kiterjesztett Coxeter diagramok

Néha az erősen kiterjesztett Dynkin-diagramok fogalmát használják , amelyben az affin csoportokat kiterjesztettnek , a hiperbolikus csoportokat lényegében kiterjesztettnek , a harmadik ágat pedig az erősen kiterjesztett egyszerű csoportoknak tekintik. Ezeket a kiterjesztéseket általában 1, 2 vagy 3 + címkével látják el a felső indexben a kiterjesztett csúcsok számának megfelelően. Ezek a kiterjesztett sorozatok az ellenkező irányba is kiterjeszthetők a gráf azonos pozíciójában lévő csomópontok egymás utáni törlésével, bár a folyamat leáll, amikor az elágazó csomópontot töröljük. Az E 8 kiterjesztett család a legismertebb példa az E 3 -ból hátrafelé és előre az E 11 -be történő kiterjesztésre .

A bővítési folyamat Coxeter-gráfok korlátozott sorozatát adhatja, amelyek végestől affinig, majd hiperbolikus és Lorentz-csoportokig terjednek. A Cartan-mátrix determináns határozza meg, hogy a sorozat hol változik végesről (pozitív determináns) affinra (nulla), majd hiperbolikus típusra (negatív), és egy legalább egy hiperbolikus alcsoportot tartalmazó Lorentz-csoporttal végződik [24] . A H n nem kristályos csoportok egy kiterjesztett sorozatot alkotnak, ahol a H4 kompakt hiperbolikus csoporttá bővül, és lényegében egy Lorentz-csoporttá bővül .

Schläfli-mátrix determináns rangok szerint [25] :

det(A 1 n =[2 n-1 ]) = 2 n (végleges minden n-re)
det(A n =[3 n-1 ]) = n+1 (végleges minden n esetén)
det(B n =[4,3 n-2 ]) = 2 (végleges minden n-re)
det(D n =[3 n-3,1,1 ]) = 4 (végleges minden n-re)

Schläfli mátrix determináns kivételes sorozatokban:

det( E n =[3 n-3,2,1 ]) = 9-n (végső: E 3 (=A 2 A 1 ), E 4 (=A 4 ), E 5 (= D 5 ) ), E 6 , E 7 és E 8 , affin az E 9 -re ( ), hiperbolikus az E 10 -re ) ${\tilde {E}}_{8}$
det([3 n-4,3,1 ]) = 2(8-n) (véges n= 4-től 7-ig, affin ( ) esetén és hiperbolikus n=8 esetén.) ${\tilde {E}}_{7}$
det([3 n-4,2,2 ]) = 3(7-n) (Véges, ha n= 4-től 6-ig, affin a ( )-hoz és hiperbolikus az n=7-hez.) ${\tilde {E}}_{6}$
det(F n =[3,4,3 n-3 ]) = 5-n (F 3 (=B 3 ) és F 4 esetén véges, F 5 esetén affin ( ), F 6 esetén hiperbolikus ) ${\tilde {F}}_{4}$
det(G n =[6,3 n-2 ]) = 3-n (G 2 esetén véges, G 3 esetén affin ( ), G 4 esetén hiperbolikus ) ${\tilde {G}}_{2}$

Kis bővített sorozat

	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$H_4$
rang n	[3 [3] ,3 n-3 ]	[4,4,3n -3 ]	G n \u003d [6,3 n-2 ]	[3 [4] ,3 n-4 ]	[4,3 1,n-3 ]	[4,3,4,3n -4 ]	H n \u003d [5,3 n-2 ]
2	[3 ] A2	[4 ] C2	[6 ] G2		[2] A 1 2	[4 ] C2	[5 ] H2
3	[3 [3] ] A 2 + = ${\tilde {A}}_{2}$	[4,4] C 2 + = ${\tilde {C}}_{2}$	[6,3] G 2 + = ${\tilde {G}}_{2}$	[3,3] = A 3	[4,3 ] B3	[4,3 ] C3	[5,3 ] H3
négy	[3 [3] ,3] A 2 ++ = ${\bar{P}}_3$	[4,4,3 ] C2 ++ = ${\bar{R}}_3$	[6,3,3] G 2 ++ = ${\bar{V}}_3$	[3 [4] ] A 3 + = ${\tilde {A}}_{3}$	[4,3 1,1 ] B 3 + = ${\tilde {B}}_{3}$	[4,3,4] C 3 + = ${\tilde {C}}_{3}$	[5,3,3 ] H4
5	[3 [3] ,3,3] A 2 +++	[4,4,3,3 ] C2 +++	[6,3,3,3] G 2 +++	[3 [4] ,3] A 3 ++ = ${\bar{P}}_4$	[4,3 2,1 ] B 3 ++ = ${\bar{S}}_4$	[4,3,4,3] C 3 ++ = ${\bar{R}}_4$	[5,3 3 ] H 5 = ${\bar{H}}_4$
6				[3 [4] ,3,3] A 3 +++	[4,3 3,1 ] B 3 +++	[4,3,4,3,3] C 3 +++	[5,3 4 ] H 6
Det(M n )	3(3- n )	2(3- n )	3- n	4(4- n )	2(4- n )

Közepes kiterjesztett sorozat

	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$
rang n	[3 [5] ,3 n-5 ]	[4,3,3n -4,1 ]	[4,3,3,4,3n -5 ]	[ 3n-4,1,1,1 ]	[3,4,3n -3 ]	[3 [6] , 3 n-6 ]	[4,3,3,3n -5,1 ]	[3 1,1 ,3,3 n-5,1 ]
3		[4,3 −1,1 ] B 2 A 1	[4,3 ] B3	[3 −1,1,1,1 ] A 1 3	[3,4 ] B3		[4,3,3 ] C3
négy	[3 3 ] A 4	[4,3,3 ] B4	[4,3,3 ] C4	[3 0,1,1,1 ] D 4	[3,4,3] F 4		[4,3,3,3 −1,1 ] B 3 A 1	[3 1,1 ,3,3 −1,1 ] A 3 A 1
5	[3 [5] ] A 4 + = ${\tilde {A}}_{4}$	[4,3,3 1,1 ] B 4 + = ${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3,4] C 4 + = ${\tilde {C}}_{4}$	[3 1,1,1,1 ] D 4 + = ${\tilde {D}}_{4}$	[3,4,3,3] F 4 + = ${\tilde {F}}_{4}$	[3 4 ] A 5	[4,3,3,3,3] B 5	[3 1,1 ,3,3] D 5
6	[3 [5] ,3] A 4 ++ = ${\bar{P}}_5$	[4,3,3 2,1 ] B 4 ++ = ${\bar{S}}_5$	[4,3,3,4,3] C 4 ++ = ${\bar{R}}_5$	[ 3 2,1,1,1 ] D4 ++ = ${\bar{Q}}_5$	[3,4,3 3 ] F 4 ++ = ${\bar{U}}_5$	[3 [6] ] A 5 + = ${\tilde {A}}_{5}$	[4,3,3,3 1,1 ] B 5 + = ${\tilde {B}}_{5}$	[3 1,1 ,3,3 1,1 ] D 5 + = ${\tilde {D}}_{5}$
7	[3 [5] ,3,3] A 4 +++	[4,3,3 3,1 ] B 4 +++	[4,3,3,4,3,3 ] C4 +++	[3 3,1,1,1 ] D 4 +++	[3,4,3 4 ] F 4 +++	[3 [6] , 3] A 5 ++ = ${\bar{P}}_6$	[4,3,3,3 2,1 ] B 5 ++ = ${\bar{S}}_6$	[3 1,1 ,3,3 2,1 ] D 5 ++ = ${\bar{Q}}_6$
nyolc						[3 [6] ,3,3] A 5 +++	[4,3,3,3 3,1 ] B 5 +++	[3 1,1 ,3,3 3,1 ] D 5 +++
Det(M n )	5(5- n )	2(5- n )		4(5- n )	5- n	6(6- n )	4(6- n )

Néhány erősen bővített sorozat

	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$	$A_7$	$B_7$	$D_7$	$E_7$
rang n	[3 [7] ,3 n-7 ]	[4,3 3 , 3 n-6,1 ]	[3 1.1 ,3.3.3 n-6.1 ]	[ 3n-5,2,2 ]	[3 [8] , 3 n-8 ]	[4,3 4 , 3 n-7,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3,3 n-7,1 ]	[ 3n-5,3,1 ]	E n \u003d [3 n-4,2,1 ]
3									[3 −1,2,1 ] E 3 =A 2 A 1
négy				[3 −1,2,2 ] A 2 2				[3 −1,3,1 ] A 3 A 1	[3 0,2,1 ] E 4 =A 4
5		[4,3,3,3,3 −1,1 ] B 4 A 1	[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] D 4 A 1	[3 0,2,2 ] A 5				[3 0,3,1 ] A 5	[3 1,2,1 ] E 5 =D 5
6	[3 5 ] A 6	[4,3 4 ] B 6	[3 1,1 ,3,3,3] D 6	[3 1,2,2 ] E 6		[4,3,3,3,3,3 −1,1 ] B 5 A 1	[3 1,1 ,3,3,3,3 −1,1 ] D 5 A 1	[3 1,3,1 ] D 6	[3 2,2,1 ] E 6 *
7	[3 [7] ] A 6 + = ${\tilde {A}}_{6}$	[4,3 3 ,3 1,1 ] B 6 + = ${\tilde {B}}_{6}$	[3 1,1 ,3,3,3 1,1 ] D 6 + = ${\tilde {D}}_{6}$	[3 2,2,2 ] E 6 + = ${\tilde {E}}_{6}$	[3 6 ] A 7	[4,3 5 ] B 7	[3 1,1 ,3,3,3,3 0,1 ] D 7	[3 2,3,1 ] E 7 *	[3 3,2,1 ] E 7 *
nyolc	[3 [7] ,3] A 6 ++ = ${\bar{P}}_7$	[4,3 3 ,3 2,1 ] B 6 ++ = ${\bar{S}}_7$	[3 1,1 ,3,3,3 2,1 ] D 6 ++ = ${\bar{Q}}_7$	[3 3,2,2 ] E 6 ++ = ${\bar{T}}_7$	[3 [8] ] A 7 + = * ${\tilde {A}}_{7}$	[4,3 4 ,3 1,1 ] B 7 + = * ${\tilde {B}}_{7}$	[3 1,1 ,3,3,3,3 1,1 ] D 7 + = * ${\tilde {D}}_{7}$	[3 3,3,1 ] E 7 + = * ${\tilde {E}}_{7}$	[3 4,2,1 ] E 8 *
9	[3 [7] ,3,3] A 6 +++	[4,3 3 ,3 3,1 ] B 6 +++	[3 1,1 ,3,3,3 3,1 ] D 6 +++	[3 4,2,2 ] E 6 +++	[3 [8] ,3] A 7 ++ = * ${\bar{P}}_8$	[4,3 4 ,3 2,1 ] B 7 ++ = * ${\bar{S}}_8$	[3 1,1 ,3,3,3,3 2,1 ] D 7 ++ = * ${\bar{Q}}_8$	[3 4,3,1 ] E 7 ++ = * ${\bar{T}}_8$	[3 5,2,1 ] E 9 =E 8 + = * ${\tilde {E}}_{8}$
tíz					[3 [8] ,3,3] A 7 +++ *	[4,3 4 ,3 3,1 ] B 7 +++ *	[3 1,1 ,3,3,3,3 3,1 ] D 7 +++ *	[3 5,3,1 ] E 7 +++ *	[3 6,2,1 ] E 10 =E 8 ++ = * ${\bar{T}}_9$
tizenegy									[3 7,2,1 ] E 11 =E 8 +++ *
Det(M n )	7 (7- n )	2(7- n )	4(7- n )	3(7- n )	8(8- n )	2(8- n )	4(8- n )	2(8- n )	9- n

Geometriai konvolúciók

Véges és végtelen konvolúciók [26]

φ A : A Γ --> A Γ' véges típusokhoz
Γ	Γ'	A konvolúció leírása	Coxeter-Dynkin sémák
I 2 ( h )	Γ(h)	diéder konvolúció
B n	A 2n	(I,s n )
B n	D n+1 , A 2n-1	(A 3 ,+/-ε)
F4_ _	E 6	(A 3 ,±ε)
H4 _	E 8	(A 4 ±ε)
H3_ _	D6_ _
H2_ _	A4_ _
G2_ _	A5_ _	(A 5 ,±ε)
G2_ _	D4_ _	(D 4 ,±ε)
φ: A Γ + --> A Γ' + minden affin típushoz
${\tilde{A}}_{n-1}$	${\tilde{A}}_{kn-1}$	Helyileg triviális
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{2n+1}$	(I,s n )
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n+1}$ , ${\tilde{D}}_{2n}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{B}}_{n+1}$ , ${\tilde{C}}_{2n}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{C}}_{2n+1}$	(I,s n )
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{A}}_{2n+1}$	(I,s n ) & (I,s 0 )
	${\tilde{A}}_{2n}$	(A 3 ,ε) & (I,s 0 )
	${\tilde{A}}_{2n-1}$	(A 3 ,ε) & (A 3 ,ε')
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n+2}$	(A 3 ,-ε) & (A 3 ,-ε')
${\tilde {C}}_{2}$	${\tilde {D}}_{5}$	(I,s 1 )
${\tilde {F}}_{4}$	${\tilde {E}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde {G}}_{2}$	${\tilde {D}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$	(A 5 ,±ε)
	${\tilde {B}}_{3}$ , ${\tilde {F}}_{4}$	(B 3 ,±ε)
	${\tilde {D}}_{4}$ , ${\tilde {E}}_{6}$	(D 4 ,±ε)

Egy Coxeter-Dynkin séma (egyszerű kapcsolatokkal [27] , véges, affin vagy hiperbolikus), amely szimmetriával rendelkezik (egy feltételnek eleget tesz) szimmetriával átalakítható egy új, általában többszálú sémává, a "konvolúció"-nak nevezett folyamat segítségével [28] [ 29] .

Geometriailag ez az egyenletes poliéderek és burkolólapok ortogonális vetületeinek felel meg. Érdekes módon bármely véges Coxeter-Dynkin séma egyszerű kapcsolatokkal összehajtható I 2 -be ( h ), ahol h a Coxeter-szám , amely geometriailag megfelel a Coxeter-síkra való vetítésnek .

Néhány hiperbolikus konvolúció

Lásd még

Coxeter csoport
Schwartz háromszög
Goursat tetraéder
Dynkin diagram
Homogén politóp
- Wythoff szimbólum
- Egységes poliéder
- Az egységes poliéderek listája
- Egyenletes lapos burkolólapok listája
- Homogén 4-dimenziós politóp
- Konvex egységes méhsejt
- Konvex homogén lépek hiperbolikus térben
Wythoff konstrukció és Wythoff szimbólum

Jegyzetek

↑ V. O. Bugaenko. Szabályos poliéder. - (Matematikai oktatás Ser.3).
↑ Brian C. Hall. Hazugságcsoportok, hazugságalgebrák és ábrázolások: elemi bevezető. - Springer, 2003. - ISBN 0-387-40122-9 .
↑ Coxeter, . 7.7. Schlafli kritériuma //Rendszeres politópok . — 3. - Doveri kiadás, 1973. - S. 133. —ISBN 0-486-61480-8.
↑ V. O. Bugaenko. Coxeter polyhedra osztályozása // Matem. megvilágosodás .. - 2003. - Issue. 7 . - S. 82-106 .
↑ 1 2 Folke Lanner. Az automorfizmusok tranzitív csoportjaival rendelkező komplexeken . - 1950. - T. 11. - S. 1-71. - (Meddelanden Från Lunds Universitets Matematiska Seminarium [Communications du Séminaire Mathématique de l'Université de Lund]).
↑ 1 2 George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups Archiválva : 2013. június 30. , Journal of Algebra 79 :1, 78-97 (1982)
↑ Daniel Allcock. Végtelen sok hiperbolikus Coxeter-csoport a 19-es dimenzión keresztül. 10. - P. 737-758. - doi : 10.2140/gt.2006.10.737 .
↑ The Geometry and Topology of Coxeter Groups , Michael W. Davis, 2008 Archivált : 2010. június 28., a Wayback Machine p. 105 6.2. táblázat. hiperbolikus diagramok
↑ Takeuchi, Kisao. Aritmetikai háromszögcsoportok // Journal of the Mathematical Society of Japan. - 1977. - T. 29 . - S. 91-106 .
↑ Rendszeres méhsejt a hiperbolikus térben Archiválva : 2016. június 10., a Wayback Machine , Coxeter, 1954
↑ 1 2 Norman Johnson, Geometriák és transzformációk , 13. fejezet: Hiperbolikus Coxeter-csoportok, 13.6 Lorentzi-rácsok
↑ JL Koszul, Előadások a hiperbolikus Coxeter-csoportokról , Notre Dame Egyetem (1967)
↑ M. Chein, Recherche des graphes des matrices de Coxeter hyperboliques d'ordre ≤10, Rev. Francaise Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), sz. Ser. R-3, 3-16 (francia). [1] Archiválva : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél
↑ Hiperbolikus Kay-Moody algebrák szubalgebrái Archiválva : 2021. május 20. a Wayback Machine -nél, 5.1. ábra, 13. o.
↑ NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, A hiperbolikus Coxeter-csoportok összemérhetőségi osztályai H 3 : p130, H 4 : p137, H 5 : p 138. [2] Archivált 2015. szeptember 24. a Wayback gépen
↑ F. Esselmann, A kompakt hiperbolikus Coxeter d-politópok osztályozása d+2 fazettával. megjegyzés. Math. Helvetici 71, 229-242 (1996). [3] Archiválva : 2018. június 5. a Wayback Machine -nél
↑ I. M. Kaplinszkaja. A Lobacsevszkij-terek egyszerű prizmáinak reflexiói által generált diszkrét csoportokról // Mat. jegyzetek. - 1974. - T. 15 , sz. 1 . - S. 159-164 .
↑ P. V. Tumarkin. Hiperbolikus Coxeter poliéder H 3 -ban n+2 fazettával // Matem. jegyzetek. - 2004. - T. 75 , sz. 6 . - S. 909-916 .
↑ Norman W. Johnson és Asia Ivic Weiss. Másodfokú egész számok és Coxeter-csoportok // Kanada. J Math. - 1999. - T. évf. 51 , sz. 6 . - S. 1307-1336 .
↑ P. V. Tumarkin. Hiperbolikus n-dimenziós Coxeter poliéder n+3 fazettával // Uspekhi Mat. - 2003. - T. 58 , sz. 4(352) . - S. 161-162 .
↑ V. O. Bugaenko. Egy gyűrű feletti unimoduláris hiperbolikus négyzetes formák automorfizmus-csoportjairól Z // Vest. Moszkvai Állami Egyetem. - 1984. - S. 5, 6-12. .
↑ Anna Felikson, Pavel Tumarkin, Kompakt, hiperbolikus Coxeter d-politópokról d+4 oldalakkal , 2005 [4] Archivált : 2021. május 20. a Wayback Machine -nél
↑ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter csoportok és Boyd-Maxwell ball packings , http://arxiv.org/abs/1310.8608 Archiválva : 2017. szeptember 19. a Wayback Machine -nél
↑ Kac-Moody algebrák az M-elméletben . Letöltve: 2015. október 7. Az eredetiből archiválva : 2021. augusztus 30. (határozatlan)
↑ Cartan-Gram determinants for the simple Hazugság csoportok Archiválva : 2016. február 7., a Wayback Machine , Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, 1982. nov.
↑ John Crisp , ' Injective maps between Artin groups , in Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Ausztrália, 1996), Postscript Archived 2005. október 16.. , 13-14. o. és googlebook, Geometric group theory lent, 131. o.
↑ azaz csak 3 ágcímkével rendelkezik
↑ Jean-Bernard Zuber. Általánosított Dynkin-diagramok és gyökérrendszerek, valamint azok hajtogatása. - S. 28-30 .
↑ Pierre-Philippe Dechant, Celine Boehm, Reidun Twarock. A nem kristályos Coxeter-csoportok projekcióval indukált affin kiterjesztései. 2011. október 25

Olvasás további olvasáshoz

James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge-i tanulmányok haladó matematikában, 29 (1990)
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , szerkesztette: F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 , Googlebooks [ 5] 6]
- (17. cikk) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin diagramok , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
Coxeter . 3. fejezet: Wythoff konstrukciója egységes politópokhoz // A geometria szépsége: Tizenkét esszé . - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0-486-40919-1 .
- HSM Coxeter. 5. fejezet: A kaleidoszkóp, 11.3. szakasz: Ábrázolás gráfokkal // Szabályos politópok . - Doveri kiadás, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generátorok és kapcsolatok diszkrét csoportokhoz = HSM Coxeter, WOJ Moser, Generátorok és kapcsolatok diszkrét csoportokhoz. - Moszkva: Nauka, 1980.
Norman Johnson , Geometriák és transzformációk , 11., 12., 13. fejezet, preprint 2011
Norman Johnson , R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz. transzformációs csoportok. - 1999. - T. 4 , szám. 4 . - S. 329-353 .
Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Másodfokú egész számok és Coxeter-csoportok // Kanada. J Math. - 1999. - T. 51 , sz. 6 . - S. 1307-1336 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Coxeter–Dynkin diagram (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
1978. októberi beszélgetés a Coxeter-diagramok történetéről Coxeter és Dynkin által Torontóban , Kanadában ; Eugene Dynkin Matematikai interjúk gyűjteménye, Cornell University Library .