Szűrt Poisson-egyenlet

A matematikában az átvilágított Poisson-egyenlet egy parciális differenciálegyenlet a következő formában:

\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),

ahol a Laplace-operátor , egy állandó, egy tetszőleges pozíciófüggvény (az úgynevezett „forrásfüggvény”), és a kívánt függvény. Az átvilágított Poisson-egyenletet gyakran használják a fizikában , beleértve Yukawa elméletét a mezonszűrésről és az elektromos mező szűréséről a plazmákban . ${\displaystyle {\nabla }^{2))$ $\lambda$ $f$ $u$

Ha egyenlő nullával, az egyenlet Poisson -egyenletté válik . Ezért, ha nagyon kicsi, a megoldás megközelíti az árnyékolatlan Poisson-egyenlet megoldását, amely a függvények szuperpozíciója, egy statisztikailag súlyozott forrásfüggvény : $\lambda$ $\lambda$ $1/r$ $f$

u(\mathbf {r} )_{(Poisson)}=\int d^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r } -\mathbf {r} '|}}.

Másrészt, ha nagyon nagy, akkor megközelíti az értékét , ami viszont a nullához közelít, amikor a végtelenbe megy. Amint látni fogjuk, az átlagos megoldás árnyékolt (vagy csillapított) függvények szuperpozíciójaként viselkedik , és ez lesz az árnyékolási erősség. $\lambda$ $u$ $f/\lambda ^{2}$ $\lambda$ $\lambda$ $1/r$ $\lambda$

Az átvilágított Poisson-egyenlet az általánosra a Green függvény segítségével oldható meg . A zöld funkcióját a következőképpen határozzuk meg $f$ $G$

\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).

Feltételezve, hogy a deriváltjai szintén elhanyagolhatóak , akkor a Fourier-transzformációt elvégezhetjük térbeli koordinátákban: $u$ $r$

{\displaystyle G(\mathbf {k} )=\int d^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} ))

ahol az integrál átveszi a teljes teret. Akkor ezt meg lehet mutatni

\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.

Ezért a zöld bekapcsolt függvényét az inverz Fourier-transzformáció adja: $r$

G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\int d^{3}\!k\;{\frac {e^ {-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.

Ez az integrál kiértékelhető gömbi koordinátákkal a -térben. A szögkoordinátákon történő integrálás nem nehéz, és az integrál egyszerűsödik - most csak egy radiális koordinátán kell integrálnia : $k$ $k$

G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int \limits _{0}^{\infty }dk\;{\frac {k\,\sin kr}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.

Ezt az integrált kontúrintegrációval ( maradékelmélet ) lehet kiértékelni . Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-|\lambda |r}}{4\pi r}}.

Az egész probléma végső megoldása:

u(\mathbf {r} )=\int d^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int d^ {3}r'{\frac {e^{-|\lambda ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} ' |}}f(\mathbf {r} ').

Mint fentebb említettük, ez a szűrt függvények szuperpozíciója, statisztikailag súlyozva a forrásfüggvénnyel , és ez a szűrési tényező. Az átvilágított függvény gyakran megjelenik a fizikában, mint az átvilágított Coulomb-potenciál, és a " Yukawa-potenciál " is ismert . $1/r$ $f$ $\lambda$ $1/r$

Lásd még

Yukawa interakció

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák