Mátrix karakterisztikus polinomja

A mátrix karakterisztikus polinomja egy polinom , amely meghatározza a sajátértékeit .

Definíció

Egy adott mátrixra , ahol az azonosságmátrix , egy in polinom , amelyet a mátrix karakterisztikus polinomjának (néha szekuláris egyenletnek is ) nevezünk . $A$ $\chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)$ $E$ $\lambda$ $A$

A karakterisztikus polinom értéke az, hogy a mátrix sajátértékei a gyökei. Valójában, ha az egyenletnek nem nulla megoldása van, akkor , akkor a mátrix degenerált, és a determinánsa nulla. $Av=\lambda v$ $(A-\lambda E)v=0$ $A-\lambda E$ $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$

Kapcsolódó definíciók

A mátrixot a mátrix karakterisztikus mátrixának nevezzük . $A-\lambda E$ $A$
Az egyenletet karakterisztikus mátrixegyenletnek nevezzük . $\chi (\lambda )=0$ $A$
Egy gráf karakterisztikus polinomja a szomszédsági mátrixának karakterisztikus polinomja .

Tulajdonságok

Mátrix esetén a karakterisztikus polinom fokszámú . $n\szer n$ $n$
Egy mátrix karakterisztikus polinomjának minden gyöke a sajátértéke .
Hamilton-Cayley tétel : ha a mátrix karakterisztikus polinomja, akkor. $\chi (\lambda )$ $A$ $\chi (A)=0$
A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai egybeesnek: . $\chi _{{ABA^{{-1}}}}=\chi _{{B}}$
Az inverz mátrix karakterisztikus polinomja: . $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$

Bizonyíték:

${\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}- \lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda AE )\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\ vége{igazított}}$

Ha és két mátrix , akkor . Ez különösen azt jelenti, hogy termékük nyoma és . $A$ $B$ $n\szer n$ $\chi _{{AB}}\,=\,\chi _{{BA}}$ ${\mathrm {tr}}\,(AB)={\mathrm {tr}}\,(BA)$ $\det(AB)=\det(BA)$
Általánosabb formában, ha egy mátrix , és egy mátrix , és , tehát az és a méretek és a négyzetes mátrixok , akkor: $A$ $m\szer n$ $B$ $n\szer m$ $m<n$ $AB$ $BA$ $m$ $n$

\chi _{{BA}}(\lambda )\,=\,\lambda ^{{nm}}\,\chi _{{AB}}(\lambda )

Linkek

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Felső matematika. Lineáris algebra . — Ivanovo Állami Energetikai Egyetem. Archiválva : 2008. december 23. a Wayback Machine -nél

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb