Trigonometrikus állandók

Ez a cikk pontos algebrai kifejezéseket tartalmaz egyes trigonometrikus számokhoz . Ilyen kifejezésekre szükség lehet például ahhoz, hogy a trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezések eredményeit radikális formába hozzuk , ami további egyszerűsítést tesz lehetővé.

Bármely trigonometrikus szám algebrai . Egyes trigonometrikus számok kifejezhetők komplex gyökökben , de nem mindig valósokban : különösen a trigonometrikus függvények egész fokban kifejezett szögértékei közül csak azokban lévő értékek adhatók meg. valós gyökökben kifejezve , a fokok száma három többszöröse. Ábel tétele szerint azonban vannak olyanok is, amelyek a gyökökben eldönthetetlenek.

tétele szerint a racionális argumentumú szinusz fokokban kifejezett értéke irracionális , vagy egyenlő a , , , , számok valamelyikével . $0$ ${\frac {1}{2))$ $egy$ $-\frac{1}{2}$ $-egy$

tétele szerint , ha a szinusz , koszinusz vagy érintő egy adott pontban algebrai számot ad, akkor fokokban kifejezett argumentációjuk vagy racionális , vagy transzcendentális . Más szóval, ha a fokokban kifejezett argumentum algebrai és irracionális , akkor ebből az argumentumból az összes trigonometrikus függvény értéke transzcendentális lesz .

Bevételi kritériumok

Egy argumentum trigonometrikus függvényeinek értékei csak akkor fejezhetők ki valós gyökökben , ha az osztással kapott redukált racionális tört nevezője kettőnek a hatványa, megszorozva több Fermat-prím szorzatával (lásd a Gauss-Wanzel-tételt ). Ezt az oldalt főleg a valós gyökökben kifejezett szögeknek szentelték. $\pi$ $\pi$

A félszög képlet segítségével algebrai kifejezéseket kaphatunk a trigonometrikus függvények értékeire bármely olyan szögben, amelyre azokat már megtaláltuk, felezve. Különösen igazak a képletek a -tól -ig terjedő intervallumon fekvő szögekre $0$ ${\frac {\pi }{2))$

\sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2))

, és .

\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2))

\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}

Az alábbi kifejezések lehetővé teszik a trigonometrikus függvények értékeinek komplex gyökökben történő kifejezését is azokban a szögekben, amelyekben nem fejeződnek ki valós szögekben. Például adott a szög képlete, a képlet a $\theta$ $\theta$ 3a következő harmadfokú egyenlet megoldásával kaphatjuk meg :

4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,

Általános megoldásában azonban összetett , nem valós számok is felmerülhetnek (ezt az esetet casus irreducibilisnek nevezzük ).

Néhány gyakori szög táblázata

A szögek mérésére különféle mértékegységek léteznek , például fokok , radiánok , fordulatok , fokozatok (gonok) .

1\,{\text{full turn))=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon} ).

Ez a táblázat az egyik mértékről a másikra való átváltásokat és a trigonometrikus függvények értékeit mutatja a leggyakoribb szögekből:

Forgások	fokon	radiánok	Gradok (gonok)	Sinus	Koszinusz	Tangens
0	0°	0	0	0	egy	0
egy12	30°	$\pi$ 6	33egy	egy2	√ 32	√ 33
egynyolc	45°	$\pi$ négy	ötven	√2 _2	√2 _2	egy
egy6	60°	$\pi$ 3	662	√ 32	egy2	√ 3
egynégy	90°	$\pi$ 2	100	egy	0
egy3	120°	2 $\pi$ 3	133egy	√ 32	−egy2	− √ 3
3nyolc	135°	3 $\pi$ négy	150	√2 _2	−√2 _2	−1
512	150°	5 $\pi$ 6	1662	egy2	−√ 32	−√ 33
egy2	180°	$\pi$	200	0	−1	0
712	210°	7 $\pi$ 6	233egy	−egy2	−√ 32	√ 33
5nyolc	225°	5 $\pi$ négy	250	−√2 _2	−√2 _2	egy
23	240°	négy $\pi$ 3	2662	−√ 32	−egy2	√ 3
3négy	270°	3 $\pi$ 2	300	−1	0
56	300°	5 $\pi$ 3	333egy	−√ 32	egy2	− √ 3
7nyolc	315°	7 $\pi$ négy	350	−√2 _2	√2 _2	−1
tizenegy12	330°	tizenegy $\pi$ 6	3662	−egy2	√ 32	−√ 33
egy	360°	2 $\pi$	400	0	egy	0

További szögek

A trigonometrikus függvények értékeit azokban a szögekben, amelyek nem tartoznak a tól -ig terjedő intervallumban, egyszerűen az intervallum szögeinek értékeiből származtatják a redukciós képletekkel . Minden szöget fokban és radiánban írunk le, és az adott szögre vonatkozó kifejezés előtti tényező reciproka az egyetlen szám egy olyan szabályos (esetleg csillagozott) sokszög Schläfli-szimbólumában, amelynek külső szöge megegyezik az adott szöggel. $0^{\circ }$ $45^{\circ }$ $\pi$

0° = 0 (rad)

\sin 0=0\,

\cos 0=1\,

\operatorname {tg} 0=0\,

\operatorname {ctg} 0=\infty \,

1,5°=(1/120)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1,5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\jobbra)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\jobbra )-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2))))\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5))))+{\sqrt {5)) +1\jobbra)}{16}}

\cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\jobbra)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({ \sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}\jobbra)}{16}}

1,875°=(1/96)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzet {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzet {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

2,25°=(1/80)π (rad)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2,25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5))}{2))))))))))))

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2,25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2)))))))))))))))

2,8125°=(1/64)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2,8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzet {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2,8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzet {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

3°=(1/60)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\ négyzet {3}}\jobb){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}+1\jobbra)}{16}}\,

\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\ négyzet {3}}\jobb){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}-1\jobbra)}{16}}\,

\operátornév {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

3,75°=(1/48)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzetméter {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzetméter {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

4,5°=(1/40)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzetméter {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}

5,625°=(1/32)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5,625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzetméter {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ négyzetméter {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

6°=(1/30)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {30-{\sqrt {180))))-{\sqrt { 5}}-1}{8}}\,

\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {10-{\sqrt {20))))+{\sqrt { 3))+{\sqrt {15}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}} }+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {27}}+{\sqrt {15} }+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,

7,5°=(1/24)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\ négyzetméter {2}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\ négyzetméter {2}}}}

\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {tg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\jobbra)

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {ctg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\jobbra)

9°=(1/20)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

11,25°=(1/16)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\ négyzetméter {2}}}}}}}

\cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ négyzetméter {2}}}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {tg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2))))-{ \sqrt {2}}-1

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {ctg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2))))+{ \sqrt {2}}+1

12°=(1/15)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{ \sqrt {5}}\jobbra)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\jobbra]\,

\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{ \sqrt {5}}\jobbra)}}+{\sqrt {5}}-1\jobbra]\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt { 3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)))\,\jobbra]\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15 ))+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)))\,\jobbra]\,

15°=(1/12)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}

\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

\operátornév {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operátornév {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

18°=(1/10)π (rad) [1]

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right )\,

\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\jobbra)}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left( 5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\,

21°=(7/60)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }+1\jobbra){\sqrt {5-{\sqrt {5))))-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\right)\right)\,

\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }-1\jobbra){\sqrt {5-{\sqrt {5))))+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\right)\right)\,

\operátornév {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operátornév {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\jobbra)}}\jobbra)\,

\operátornév {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operátornév {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2-{\sqrt {3}}\jobbra)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\jobbra)}}\jobbra)\,

22,5°=(1/8)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}} },

\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}} }\,

\operátornév {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operátornév {tg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,

, ezüst rész

24°=(2/15)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\ sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5- {\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

27°=(3/20)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\operátornév {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operátornév {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

\operátornév {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operátornév {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

30°=(1/6)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,

33°=(11/60)π (rad)

\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }-1\jobbra){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\jobbra)\jobbra]\,

\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }+1\jobbra){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\jobbra)\jobbra]\,

\operátornév {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operátornév {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2-{\sqrt {3}}\jobbra)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\jobbra)}}\,\jobbra]\,

\operátornév {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operátornév {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\jobbra)}}\,\jobbra]\,

36°=(1/5)π (rad)

[egy]

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}

\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\ varphi }{2}},

hol van az aranymetszet ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{ \sqrt {5}}}}}

39°=(13/60)π (rad)

\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt { 3}}\jobbra){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\jobbra)\jobbra]\,

\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt { 3}}\jobbra){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\jobbra)\jobbra]\,

\operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 -{\sqrt {3}}\jobbra)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\jobbra)}}\,\jobbra]\,

\operátornév {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operátornév {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 +{\sqrt {3}}\jobbra)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\jobbra)}}\,\jobbra]\,

42°=(7/30)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {30+6{\sqrt {5))))-{\ sqrt {5}}+1}{8}}\,

\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}+{\sqrt {3 }}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,

\operátornév {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operátornév {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5} ))}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

45°=(1/4)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {tg} 45^{\circ }=1\,

\operátornév {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operátornév {ctg} 45^{\circ }=1\,

54°=(3/10)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!

\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4}}

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}} }}{5}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20))))\,

60°=(1/3)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

67,5°=(3/8)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}} }}\,

\cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}} }}\,

\operátornév {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operátornév {tg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,

\operátornév {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operátornév {ctg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

72°=(2/5)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\jobbra)}}\,

\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\ right)={\frac {\varphi }{2)),

hol van az aranymetszet ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\ ,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\jobbra)}}\,

75°=(5/12)π (rad)

\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\ sqrt {2}}\jobbra)\,

\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\ sqrt {2}}\jobbra)\,

\operátornév {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operátornév {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

\operátornév {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operátornév {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

90°=(1/2)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,

\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty \,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0\,

A 2π/n argumentumú trigonometrikus függvények értékeinek listája

Csak olyan képletek vannak megadva, amelyek nem használnak foknál nagyobb gyököket . Mivel ( Moivre tétele szerint ) a komplex számok halmazában egy n fokú egész szám gyökének kinyerése n különböző értékhez vezet , így a nem valós számok 3. és 5. fokú gyökére , amelyek ebben a szakaszban jelennek meg, egy a fő értéket a legnagyobb valós részt tartalmazó gyökével egyenlőnek kell vennie : mindig pozitív. Ezért a táblázatban megjelenő összetett konjugált számok 3. vagy 5. fokú gyökeinek összegei is pozitívak. Az érintőt olyan esetekben adjuk meg, ahol sokkal könnyebben írható, mint a szinusz és koszinusz rekordok aránya. $5$

Néhány esetben az alábbiakban két olyan számot használunk , amelyek tulajdonsága . $\omega _{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega _{5}={\tfrac {1}{4}}(- 1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$ $\omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1$ ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n))\right)&\cos \left({\frac {2 \pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\ \hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({ \sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}} &{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{ \frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{ \frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\jobbra )&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\ frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3))))-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline { \omega _{3}}}}\jobbra)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right) &{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\ \hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ \\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt { 13}}-3i{\sqrt {39}})))}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}))) }\ right)))&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13 }} -3i{\sqrt {39))))}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))\ jobb)& \\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}} }{2 ))}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)))&{\frac {1}{6} }\left (1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3 }}} {\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}} \left( {\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\ bal(1 +{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\jobb)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\ hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\jobbra)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt { 17))+{\sqrt {34-2{\sqrt {17))))+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17} ))}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17))))))\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2))\left({\sqrt[{ 3}]{-\omega _{3))}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3))))}\jobbra)&{\frac {1}{2 }}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\jobb )&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\bal ({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}} \jobbra)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2} }\jobbra)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25& {\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}} })&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5} }}})&\end{tömb}}$

Bizonyítás

Az ( n és o egész számok) képletei származtatásának egyik gyakori és vizuális módszere az x n = 1 egyenlet megoldása , azaz 1 komplex gyökeinek megkeresése . Ebben az esetben maga a koszinusz és a szinusz egyenlő , illetve . Ezt a módszert De Moivre tétele igazolja : $x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}$ ${\tfrac {x+1/x}{2}}$ ${\tfrac {x-1/x}{2i))$

ha egy modul , és egy komplex szám argumentuma, akkor a -tól származó egész szám gyökét olyan számokkal fejezzük ki, ahol az egész számok halmaza átfut $r>0$ $\alpha \in {\mathbb {R}}$ $n\neq 0$ $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ ${\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin( {\tfrac {\alpha }{n))+{\tfrac {2\pi o}{n)))),$ $o$ $\mathbb{Z}.$

Ezt a tételt viszont bizonyítja az az állítás, hogy amikor komplex számokat szorozunk, akkor a modulusaikat megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk (ez utóbbi ekvivalens az összeg trigonometrikus azonosságával ):

$[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].$

Az 1-es n -edik természetes fokú gyökök között vannak olyanok, amelyek nem gyökerei egyetlen más természetes fokú m < n 1-nek sem – ezeket az 1-es n- edik fokú antiderivatív vagy primitív gyökeinek nevezzük . Azt a polinomot pedig, amelyik gyökeként csak 1-ből származó primitív gyököket tartalmaz, és egységsokszorosával, körkörösnek nevezzük . 1 n- edik gyökére a körpolinom foka egyenlő φ ( n ), ahol φ az Euler-függvény , és szükségszerűen páros n ≥ 3 esetén, mivel n ≥ 3 esetén az összes primitív gyök (amelyek között nincs) hosszabb ±1) nem valós és összetett konjugált párokat alkotnak.

n ≥ 2 esetén a körpolinom szimmetrikus , azaz minden együtthatója tükröződik a φ ( n )/2 hatványra vonatkozóan. Ha n ≥ 3, akkor egy s φ(n) ( x ) = 0 páros fokú φ(n) körpolinomú egyenlet megoldásához az s φ(n ) ( x ) szimmetrikus polinomot el kell osztani x φ( n) /2 , majd az x + 1/ x szám hatványaival csoportosítjuk (ez a szimmetria miatt lehetséges), ami véletlenül a kívánt koszinusz 2-vel szorozva lesz.

1. példa: n = 3

1. módszer - a 2. fokú egyenlet megoldása az általános módszer szerint

A polinom körtényezőkre bontható , amelyek közül az első gyöke 1, a második pedig egy 2. fokú polinom. És általános esetben egy másodfokú egyenlet megoldásához el kell osztani a polinomot a vezető együtthatóval (itt egyenlő 1-gyel), majd ki kell választani a pontos négyzetet, hogy megszabaduljon a fok monomiális tagjától. 1-gyel kisebb, mint a polinom fokszáma, vagyis hozzuk a polinom egyenletet kanonikus alakba : $x^{3}-1$ $x-1$ $x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x=-1,$

$(x+{\tfrac {1}{2)))^{2}=-{\tfrac {3}{4)),$

$(x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0$ ( kanonikus nézet ).

Ennek eredményeként az egyenlettel együtt kiderül, hogy $x-1=0$

$x=1$ vagy $x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

2. módszer - az egyenlet redukciója az 1. fokú egyenletre

Az egyenlet másodfokú megoldása helyett a szimmetrikus polinom osztható x -szel, x + 1/ x köré csoportosítva , mivel x + 1/ x a szükséges koszinusz szorozva 2-vel: $x^{2}+x+1=0$ $x^{2}+x+1$

$(x+{\tfrac {1}{x)))+1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}=-1,$

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

2. példa: n = 5

Egy körpolinom egyenlő , és a gyökeinek megtalálásához el kell osztani x 2 -vel, csoportosítani kell x + 1/ x hatványaival (négyzetes polinomra redukálva), és 0-val kell egyenlővé tenni: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}+(x+{\tfrac {1}{x)))-1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$ (a kívánt koszinusz szorozva 2-vel),

$x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10 \pm_{1}2{\sqrt {5}}}}.$

3. példa: n = 7

Szimbólumok . Jelölje mint $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$ $\omega _{n}.$

1. lépés – az egyenlet kanonikus formába állítása

Az n \u003d 5-höz hasonló körpolinommal végzett transzformációk után 3. fokú egyenletet kapunk . Továbbá , mint a másodfokú egyenlet esetében, ezt az egyenletet kanonikus formába kell hozni, azaz osszuk el az egyenlet mindkét részét a vezető együtthatóval (egy), majd válasszuk ki a pontos kockát, 1-gyel megszabadulva a polinom fokszámánál kisebb fok tagjától: $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ $(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x }})-1=0.$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x }})+1,$

$[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}}),$

$(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1} {3}}+{\tfrac {1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0$ ( kanonikus forma ).

2. lépés – del Ferro módszer

A kanonikus köbegyenletek megoldásának módszere Gerolamo Cardano néven vonult be a történelembe , de először Scipio del Ferro fedezte fel . Ez a következőkből áll: cserélje ki a szükséges változót ( ) az összeggel : $x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}$ $v+w$

$(v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac { 7}{27}}=0,$

majd állítsa be a v és w közötti összefüggést úgy, hogy az egyenlet a 3. hatvány alá csökkenthető. Ekkor kiderül, hogy a számban a tényezőt nullával kell egyenlővé tenni. Ebben az esetben és (maga a koszinusz), és maga a köbegyenlet másodfokúra redukálódik: $3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w )$ $3vw-{\tfrac {7}{3))$ $w={\tfrac {7}{9v}}$ ${\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w )={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})$

$v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0 ,$

$v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}} }-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}} }{2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},$

és figyelembe véve a kockagyökök fő értékeit, kiderül:

$v={\tfrac {\omega _{3}^{m)){3)){\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3))}{2 }}),{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},$ ahol $m\in \mathbb {Z} ,$

$\cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[ {3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i {\sqrt {3}}}{2}}}\jobbra),$

ahol o = 1 ( o = 6) m = 0, o = 2 ( o = 5 ) m = 1, o = 3 ( o = 4 ) pedig m = 2.

3. lépés – szinusz [2]

A szinust a legjobb, ha nem a trigonometrikus alapazonosság, hanem a félszög képlet alapján keresed, különben számnégyzetek jelennek meg , és az egyszerűsítés nyilvánvalóvá válik. Ennek eredményeképpen az 1-nek minden primitív 7. gyöke egyenlő $\sin {\tfrac {2\pi o}{7}}=\pm {\sqrt ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos {\ tfrac {4\pi o}{7}}}},$ ${\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})))),$

${\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

ahol $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

4. példa: n = 3 2 = 9

Szimbólum . Jelölje mint $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$ $\omega _{n}.$

A 9-es szám prímtényezőkbe kerül 3 2 -ként , így a polinom beszámítható körtényezőkbe, mint például . Ezek közül az utolsó gyökerei a számok 3. gyökei (a polinom gyökei ), amelyek viszont: az 1 3. fokának primitív gyökerei, vagyis az 1 primitív 9. gyökei $x^{9}-1$ ${\megjelenítési stílus (x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{3}+1).}$ $x^{2}+x+1$

$x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1))},$ ahol $m\in \{0,1,2\}.$

Ezután (figyelembe véve a kockagyökök fő értékeit) a "primitív" koszinuszokat és szinuszokat a következőképpen fejezzük ki:

${\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3} ^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\jobbra),$

${\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3 }^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\ omega _{3}^{\pm 1}}}\jobbra),$

5. példa: n = 2 7 = 14

Szimbólum: $\omega _{n}:=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

A polinomnak körtényezői vannak : $x^{14}-1=(x^{7}-1)(x^{7}+1)$

$x-1$ (körpolinom az 1. fokra);
$x+1$ (körpolinom a 2. fokhoz);
$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ (7. fokra);
$x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ (14. fokra).

A polinom gyökerei pontosan ellentétesek a polinom gyökeivel (ezt egy változó ellentétére cserélve vagy Vieta tételével igazolhatjuk ), ezért így néznek ki: $x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

${\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

ahol $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

6. példa: n = 3 5 = 15

A körpolinom nem túl egyszerű, és ahelyett, hogy a gyökereit keresnénk, jobb, ha a szöget ( o egy egész szám) összegként bővítjük, ahol o 1 és o 2 néhány egész szám. $x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$ ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\tfrac {2\pi }{3}}o_{1}+{\tfrac {2\pi }{5}}o_{2},$

Megjegyzés . Ellentétben 15-tel, a 9-es szám faktorizálása ugyanazt a kettős multiplicitástényezőt foglalja magában - és a szöggel ellentétben nem mindig lehetséges az alakban bővíteni ( o , o 1 és o 2 egész számok). ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi o}{3^{2))))$ ${\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{3}}$

A szöget a szögek összegére bővítve kiszámíthatja a koszinusz és a szinusz:

$\cos({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})+i\sin({\tfrac {2 \pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=(\cos {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}})(\cos {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}} (-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5))))\jobbra]^{o_{2)).$

Például, ha o = 1, akkor a −1 és 2 közül választhat o 1 és o 2 értéket. Akkor

$\cos {\tfrac {2\pi }{15}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{15}}={\tfrac {1}{8}}(-1-i{ \sqrt {3)))(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})=$

$={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3} }+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5)))))))].$

7. példa: n = 17

1. lépés

Mivel ez a Fermat-szám prím, ezért, mint n = 3, n = 5 és n = 7 esetén, először is el kell osztanunk a körpolinomot x 8 -cal , és helyettesíteni kell valamilyen b = x változóval. + 1/ x — kapjuk $x^{16}+\cdots +x+1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1.$

Szimbólum. A polinom gyökeit mint $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b_{o/17}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{17)).$

2. lépés [3]

A polinom gyökereit nem az együtthatókon keresztül lehet a legjobban megtalálni, hanem abból a tényből, hogy a gyökei dupla koszinuszok. Ehhez valahogyan el kell osztani az összes gyökerét két S 1 és S 2 összeg között, meg kell keresni az S 1 + S 2 és S 1 S 2 értékeket, és a Vieta tétel segítségével le kell vezetni az S 1 és S 2 egyenletét , megoldva. amit kapunk S 1 és S 2 . $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

Pontosabban, a polinom gyökereit két hatványban kell elosztani : $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

$S_{1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{1}/17}+b_{2^{2}/17}+b_{2^{3}/17 }=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$
$S_{2}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}+ b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$

Az S 1 + S 2 összeg egyenlő az összes gyök összegével , ami azt jelenti, hogy a Vieta-tétel szerint egyenlő -1-gyel, és a szorzatot a szorzat koszinusz képletével találjuk meg. $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1,$ $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5 /17}+b_{7/17})=$

$=\underbrace {(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}b_{7/17})} _{\text{16 kifejezés))= \alá zárójel {(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})} _{\text{32 kifejezések, beleértve a zárójelben lévő kifejezéseket} }$ (a szorzat koszinuszának képlete szerint)

$=2\underbrace {(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})}_{\text{16 kifejezés)) =4(S_{1}+S_{2})=-4.$

Ezután kapunk egy másodfokú egyenletet a gyökökkel, és ezek a következőképpen oszlanak meg: $S^{2}+S-4=0$ ${\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$

$S_{1}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}={\tfrac {-1+{\sqrt {17)) }{2}};$
$S_{2}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}={\tfrac {-1-{\sqrt {17)) }{2}}.$

3. lépés

Az S 1 -be és S 2 -be foglalt kifejezéseket ismét fele kell osztani az összegekkel, sőt a négy hatványaival - és négy szám keletkezik:

$T_{1.1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{2}/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$
$T_{1.2}=b_{2^{1}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$
$T_{2.1}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$
$T_{2.2}=b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$

Az összeg (ahol m átmegy az {1, 2} halmazon) egyenlő , a szorzat pedig (ugyanaz a képlet szerint ) egyenlő -1-gyel ( m = 1 és m = 2 esetén), ami azt jelenti, hogy itt a Vieta-tétel, kapunk egy másodfokú egyenletet T -re : $T_{m.1}+T_{m.2}$ $S_{m}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$ $T_{m.1}T_{m.2}$ $\cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]$ $T_{m}^{2}-S_{m}T_{m}-1=0$

$T_{1.1}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{1.2}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.1}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.2}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}).$

4. lépés

A 2. és 3. szakaszban minden alkalommal „feleztük” az összegeket. Itt is ezt tesszük, és így már elérjük magukat a gyököket ( b o /17 számok ). Az összegek a következők:

$b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};$
$b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};$
$b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$
$b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},$

és a hozzá tartozó művek:

$b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$
$b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2,2};$
$b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1,2};$
$b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1,1}.$

Az összes szükséges másodfokú egyenlet összeállítása után megkapjuk a kívánt koszinuszokat :

$b_{1/17}/2$ vagy - $b_{4/17}/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N+{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N-{\sqrt {2N}}-2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{2/17}/2$ vagy - $b_{8/17}/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N-{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N+{\sqrt {2N}}+2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M+{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M-{\sqrt {2M}}+2{\sqrt {2N} }}});$
$b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M-{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M+{\sqrt {2M}}-2{\sqrt {2N} }}});$

ahol $M=17+{\sqrt {17)),N=17-{\sqrt {17}}$ .

8. példa: n = 13

A körpolinomot el kell osztani x 6 - tal , és x + 1/ x -et helyettesíteni valamilyen b változóval - polinom prímszámokat kapunk , másodszor pedig a polinomok fokszámait (ami n = 13-nak felel meg) és ( n = 17) összetett számok - ezért van egy olyan gyanú, hogy a polinom gyökereit ugyanazon elv szerint kell megtalálni, mint a 7. példában: és itt először le kell vezetni és meg kell oldani a másodfokú egyenletet, és csak azután - a köböst . $x^{12}+\cdots +x+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1.$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$

Szimbólum . A polinom gyökeit mint $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b_{o/13}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{13)).$

1. lépés

A jelzett polinom mind a hat gyökét elosztjuk két S 1 , S 2 összegen és a hármas hatványai között:

$S_{1}=x_{3^{0}/13}+x_{3^{1}/13}+x_{3^{2}/13}=x_{1/13}+x_{ 3/13}+x_{4/13};$
$S_{2}=x_{2\cdot 3^{0}/13}+x_{2\cdot 3^{1}/13}+x_{2\cdot 3^{2}/13}= x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$

és számítsuk ki a következő mennyiségeket az azonosság segítségével $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$S_{1}+S_{2}=-1;$
${\begin{aligned}S_{1}S_{2}&=(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_ {6/13}+b_{5/13})\\&=b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_ {5/13}\\&+b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13}\\& +b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13}\\&=(b_{3/13} +b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\&+(b_{5/13 }+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\&+(b_{6/ 13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\&=3(b_{ 1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_{1}+S_{ 2})=-3,\\\end{igazított}}$

miután megkaptuk az egyenletet , amelynek megoldásával kapjuk: $S^{2}+S-3=0$ $S_{1}=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}},$ $S_{2}=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}={\tfrac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}.$

2. lépés

S 1 és S 2 ismertek - most ezek segítségével kell levezetni b köbegyenleteit . A bemutatáshoz például az S 1 összegben szereplő gyököket választjuk . Ezután meg kell találnia a következő mennyiségeket:

$b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_{1}={\tfrac {-1+{\sqrt {13))}{2));$
$b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}=b_{4/13}+b_ {2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_{1}+S_{2}=-1;$
$b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13} ^{2}+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_{2 }={\tfrac {3-{\sqrt {13}}}{2}},$

hogy Vieta tételével megkapjuk az egyenletet. Ha az S 1 -ben szereplő gyökökkel együtt az S 2 -ben szereplő gyököket is beszámítjuk , az eredmény egy egyenlet . $b^{3}-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{2}}b^{2}-b+{\tfrac {-3\pm {\sqrt {13} }}{2}}=0$

3. lépés – kanonizálás

$(b-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13))}{6)))^{3}+{\tfrac {-13\pm {\sqrt {13))}{6 }}(b-{\tfrac {1\pm {\sqrt {13}}}{6}})+{\tfrac {-26\pm 5{\sqrt {13}}}{27}}=0$ ( kanonikus forma ) $|\cdot 6^{3},$

$[6b-(-1\pm {\sqrt {13)))]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13)))[6b-(-1\sqrt {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0$ (úgy, hogy a válaszban azonnal kivették a nevezőt a gyökér alól).

A 4. lépés a kanonikus egyenlet megoldása

${\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13)))&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac { 8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^ {2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13)))}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m} {\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\tfrac 5{\sqrt {13)))}{2))+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5) {\sqrt {13)))}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\ \&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39))))}}+\ omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))),\\\end {igazított }}$

ahol m átfut a 0, 1, 2} és $\omega _{n}=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

Vegyes

Más állandók kiszámításához használja

Például egy élhosszúságú szabályos dodekaéder térfogata a következő képlettel adható meg: $a$

V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.

Ha kifejezéseket használunk

\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4)),\,

\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))),\,

képlet leegyszerűsíthető

V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,

Levezetés háromszögeken keresztül

A szinusz , koszinusz és érintő értékeinek gyök alakban történő származtatása azon a lehetőségen alapul , hogy körzővel és vonalzóval szabályos sokszögeket lehet létrehozni .

Itt a szabályos sokszögek szimmetriatengelyei mentén metszett derékszögű háromszögeket használjuk az alapvető trigonometrikus arányok kiszámításához. Minden derékszögű háromszögben a csúcsok a következők:

Sokszög középpontja
Sokszög csúcsa
Az ezt a csúcsot tartalmazó oldal felezőpontja

Egy szabályos n -szög 2n sarkú háromszögre osztható180n.90 180n, 90 fokkal, ha n nagyobb vagy egyenlő 3-mal. Háromszög, négyzet, öt- és tizenötszögű háromszög, négyzet, öt- és tizenötszögű megszerkesztésének lehetősége – az alapban a szögfelezők olyan sokszögeket is lehetővé tesznek, amelyeknek oldalszáma egyenlő kettő hatványa, megszorozva egy adott sokszög oldalainak számával.

Iránytűvel és egyenes éllel építhető
- Szabályos 3 × 2 n -gon, ahol n = 0, 1, 2, 3, …
  - 30°-60°-90°: Derékszögű háromszög
  - 60°-30°-90°: Szabályos hatszög
  - 75°-15°-90°: Szabályos Dodecagon
  - 82,5°-7,5°-90°: Normál huszonnégyes
  - 86,25°-3,75°-90°: Szabályos 48-gon
  - 88,125°-1,875°-90°: Szabályos 96-szög
  - 89,0625°-0,9375°-90°: Szabályos 192 szög
  - 89,53125°-0,46875°-90°: Normál 384 szög
  - …
- 4 × 2 n - gons
  - 45°-45°-90°: Négyzet
  - 67,5°-22,5°-90°: Szabályos nyolcszög
  - 78,75°-11,25°-90°: Szabályos hatszög
  - 84,375°-5,625°-90°: Szabályos 32-gon
  - 87,1875°-2,8125°-90°: Szabályos 64 szög
  - 88,09375°-1,40625°-90°: Normál 128 szög
  - 89,046875°-0,703125°-90°: normál 256 szög
  - …
- 5 × 2 n - gons
  - 54°-36°-90°: Szabályos ötszög
  - 72°-18°-90°: Szabályos tízszög
  - 81°-9°-90°: Szabályos hatszög
  - 85,5°-4,5°-90°: Szabályos nyolcszög
  - 87,75°-2,25°-90°: Szabályos nyolcszög
  - 88,875°-1,125°-90°: normál 160 szög
  - 89,4375°-0,5625°-90°: normál 320 szög
  - …
- 15 × 2 n - gons
  - 78°-12°-90°e: Szabályos ötszög
  - 84°-6°-90°: Szabályos thiagon
  - 87°-3°-90°: Szabályos hatszög
  - 88,5°-1,5°-90°: Normál 120
  - 89,25°-0,75°-90°: Szabályos 240-gon
- …

Vannak olyan szabályos sokszögek is, amelyek körzővel és vonalzóval építhetők: 17 , 51, 85, 255, 257 , 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537 , 693481, . ., 4294967295. )

Nem építhető meg körzővel és egyenes éllel (fél fokos vagy egész szögekkel) - A háromszögek oldalainak eredő arányaihoz nincsenek véges gyökformák, beleértve a valós számokat is, ami azt jelenti, hogy olyan sokszögek, amelyeknek oldalszáma egyenlő egy adott sokszög oldalszámának kétszeresének hatványa nem vonható ki.
- 9 × 2 n - gons
  - 70°-20°-90°: Szabályos nem szög
  - 80°-10°-90°: Szabályos nyolcszög
  - 85°-5°-90°: Szabályos 36-szög
  - 87,5°-2,5°-90°: Szabályos 72-szög
  - …
- 45 × 2 n - gons
  - 86°-4°-90°: Szabályos negyvenötszög
  - 88°-2°-90°: Szabályos nem szög
  - 89°-1°-90°: Szabályos 180-gon
  - 89,5°-0,5°-90°: Normál 360
  - …

A szinusz és a koszinusz számított értékei

Triviális mennyiségek

A 0, 30, 45, 60 és 90 fok szinusza és koszinusza a megfelelő derékszögű háromszögekből a Pitagorasz-tétel segítségével számítható ki.

Radiánok használatakor a szinusz és a koszinusz / 2 n a következő képletek rekurzív alkalmazásával fejezhető ki gyök alakban: $\pi$

2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; stb.

2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; stb.

Például:

\cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2)))){2))

\cos {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2} }

;

\sin {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2} }

\cos {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

stb.

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (3× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{3}}={\frac {-1}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

stb.

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (5× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

(Ezért )

2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1,25}}+0,5

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {1,5-{\sqrt {1,25)))){2))

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5 +{\sqrt {1.25}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5 +{\sqrt {1.25}}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))))))))))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))))))))))){2))

stb.

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (5×3× 2n )

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0))}={\frac ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875))+{\sqrt {0.3125} }-0,25}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{1))}={\frac {\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0.703125))+1.875))+{\sqrt 0,3125}}+1,75}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {2,25-{\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875))-{ \sqrt {0.3125}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt 0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt 0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}})))))))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}})))))))){2}}

stb.

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (17× 2n )

Ha és akkor $M=2(17+{\sqrt {17)))$ $N=2(17-{\sqrt {17)))$

\cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M)))))))))){8}}.

Ezután az indukciót használva azt kapjuk

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{ \sqrt {17))))+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\times ({\sqrt {17} }-1)-64{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{8}};

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

A fent alkalmazott indukció ugyanúgy alkalmazható bármely Fermat-prímre (F 3 =2 2 3 +1=2 8 +1= 257 ; F 4 =2 2 4 +1=2 16 +1= 65537 ), többszörösei amelynek szinusz és koszinusz értékei radikális formában léteznek, de túl hosszúak ahhoz, hogy itt felsoroljuk. $\pi$

\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

D = 2 32 - 1 = 4294967295 a jelenleg ismert legnagyobb páratlan egész nevező, amelyre a sin( /D) és cos ( /D) gyökformák ismertek. A fenti szakaszokból származó mennyiségek gyökös alakjait felhasználva és a szabályt indukcióval alkalmazva azt kapjuk, hogy - $\pi$ $\pi$ $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}};

Ezért a fenti szakaszokból származó mennyiségek gyökös alakjait felhasználva, és a szabályt indukcióval alkalmazva azt kapjuk, hogy - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257}}))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Végül a fenti szakaszokból származó mennyiségek gyökformáit felhasználva és a szabályt indukcióval alkalmazva azt kapjuk, hogy - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac {\pi }{65537))))}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac {\pi }{65537))))}{2));

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

A fenti leírás radikális formája nagyon nagy, ezért egyszerűbb módon fejezhető ki (mint fent).

n × π(5× 2 m )

Geometriai módszer

A Ptolemaiosz-egyenlőtlenséget az ötszög négy egymást követő csúcsa által meghatározott ABCD négyszögre alkalmazva azt kapjuk, hogy:

\operatorname {crd} 36^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b))={\frac {2}{1+ {\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

aminek a reciprokjaegyφaz aranymetszés kapcsán . crd az akkordhossz függvénye,

\operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2)).\,

Ami azt jelenti

\sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.

(A Ptolemaiosz-egyenlőtlenség nélkül is megteheti. Jelölje X AC és BD metszéspontját, és vegye figyelembe, hogy az AXB háromszög egyenlő szárú , így AX = AB = a . Az AXD és a CXB háromszögek hasonlóak , mivel AD párhuzamos BC- vel Ezért XC = a (ab). De AX + XC = AC, tehát a + a 2b = b . Az eredményt megoldva ez megvanab = egyφ, mint korábban szereztük).

Hasonló

\operatorname {crd} \ 108^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a))={\frac {1+{\ sqrt{5}}}{2}},

ami azt jelenti

\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.

Algebrai módszer

Ha θ 18° vagy -54°, akkor 2θ és 3θ 5θ = 90°-ra vagy -270°-ra redukálódik, tehát . $\sin 2\theta =\cos 3\theta$

(2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2 }\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta

Következő , mit tesz

4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0

\sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.

Következésképpen,

\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

és és

\sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

\sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4))

és

\sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5)))){4)).

Az 5 x függvények többszörös szögképlete is , ahol x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} és 5 x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, megoldható x függvényeire is , mivel 5 x -ből ismerjük a függvények értékeit . A következő több szögképlet látható:

\sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,

\cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,

Ha sin 5 x \u003d 0 vagy cos 5 x \u003d 0, jelöljük y \u003d sin x vagy y \u003d cos x, és megoldjuk az y egyenletet :

16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,

Az egyik gyök 0, így a kapott kvartikus egyenlet y 2 másodfokú egyenleteként megoldható .

Ha sin 5 x \u003d 1 vagy cos 5 x \u003d 1, ismét jelöljük y \u003d sin x vagy y \u003d cos x, és megoldjuk az y egyenletet :

16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,

amit mi ennek tekintünk:

(y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,

n × $\pi$ húsz

9° = 45-36 és 27° = 45-18; így használhatja a különbségi képletet a szinuszra és a koszinuszra.

n × $\pi$ harminc

6° = 36 - 30, 12° = 30 - 18, 24° = 54 - 3 és 42° = 60 - 18; így használhatja a különbségi képletet a szinuszra és a koszinuszra.

n × $\pi$ 60

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 és 39° = 54 − 15, így használhatja a különbség (vagy összegzés) képletet a szinuszra és a koszinuszra.

A kifejezések egyszerűsítésének módjai

A nevező racionalizálása

Ha a nevező n > 1 természetes gyök , akkor a számlálót és a nevezőt ezzel a gyökkel meg kell szorozni n − 1: hatványra . ${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$
Általános esetben, ha a nevező egy másodfokú algebrai szám (a formájú komplex szám , ahol q és r racionális), akkor a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni a konjugált számával: $q\pm {\sqrt {r))$ ${\tfrac {1}{1+{\sqrt {3))))={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{(1+{\sqrt {3}})(1 -{\sqrt {3))))}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{-2}}.$
Bizonyos esetekben a nevezőt többször is racionalizálni kell:
- $\csc {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\tfrac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})(10-2{\sqrt {5}})))}={\tfrac { \sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\sqrt {10(5-{\sqrt {5}}))){5}}.$
És ha a nevező egy másodfokúnál nagyobb algebrai szám, akkor az lenne a legjobb, ha nem konjugált számokkal szoroznánk (bár ez is megtörténik), hanem ennek az algebrai számnak a minimális polinomját keressük meg, fejezzük ki rajta egy polinomot. , amelynek egyik gyöke a szám, ennek a számnak az inverze, és keresse meg az utóbbi gyökét.
- Adott egy szám Ennek reciproka 2-vel szorozva a polinom gyöke (ezt fent mutattuk ). Ekkor maga a szekáns, osztva 2-vel, a polinom gyöke , és ennek eredményeként $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}} i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.$ $b^{3}+b^{2}-2b-1$ ${\displaystyle (b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^{3))$ $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\ sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).$

Tört átalakítása két (vagy több) tört összegére (különbségére)

Néha hasznos, ha egy törtet több részre oszt, és külön-külön tovább egyszerűsíti őket.

Négyzetre emelés és a négyzetgyök felvétele

Ez a terv akkor segíthet, ha a kifejezés egyetlen összetett tagból áll, és csak egyféle gyök van jelen. Négyzet alakú kifejezés, hasonló kifejezések hozzáadása, és vegye ki a négyzetgyököt. Ez a módszer hagyhat beágyazott gyököket, de gyakran egy ilyen kifejezés egyszerűbb, mint az eredeti.

Kifejezések egyszerűsítése beágyazott gyökök segítségével

Alapvetően a beágyazott gyökök nincsenek leegyszerűsítve. De ha

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))\,

ahol a , b és c racionális számok, azt kapjuk

R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,

racionális, akkor mindkét kifejezés

d={\frac {a+R}{2}}{\text{ and }}e={\frac {aR}{2}}\,

racionális; Következésképpen

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,

Például,

4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5))))={\sqrt {5}}-1.\,

4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\ jobb).

Lásd még

Egy körzővel és egyenes éllel megépíthető sokszög, bármelyik esetén a központi és belső szögek szinuszának és koszinuszának van racionális kifejezése négyzetgyökben
Egy tizenhétszög felépítése , pontos kifejezést adva a cos 2 $\pi$ 17
Trigonometrikus azonosságok
Niven tétele egy racionális többszörös szinuszának racionális értékeire $\pi$
Ptolemaioszi akkordtáblázat
Trigonometrikus függvények
Trigonometrikus szám , egy racionális többszörös trigonometrikus függvényének értéke $\pi$

Jegyzetek

↑ 1 2 Bradie, Brian. A 18° többszöröseinek szinuszának és koszinuszának pontos értékei: geometriai megközelítés // The College Mathematics Journal :magazin. - 2002. - szeptember ( 33. évf. , 4. sz.). - P. 318-319 . - doi : 10.2307/1559057 . — .
↑ trigonometria - Módszer a $\sin (2\pi/7)$ megtalálására . Matematika Stack Exchange . Letöltve: 2021. március 30. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 28.. (határozatlan)
↑ Hogyan bizonyítható, hogy [math]\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17} }+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} [/math] - Quora . www.quora.com . Hozzáférés időpontja: 2021. április 3. (határozatlan)

Weisstein, Eric W. Építhető sokszög a Wolfram MathWorldnél .
Weisstein, Eric W. Trigonometry angles (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
- $\pi$ /3 (60°) - /6 (30°) - /12 (15°) - /24 (7,5°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /4 (45°) - /8 (22,5°) - /16 (11,25°) - /32 (5,625°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /5 (36°) - /10 (18°) - /20 (9°) $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /7 - /14 $\pi$
- $\pi$ /9 (20°) - /18 (10°) $\pi$
- $\pi$ /tizenegy
- $\pi$ /13
- $\pi$ /15 (12°) - /30 (6°) $\pi$
- $\pi$ /17
- $\pi$ /19
- $\pi$ /23
Bracken, Paul; Cizek, Jiri. Kvantummechanikai perturbációs összegek kiértékelése másodfokú hullámokban és felhasználásuk ζ (3 ) közelítésében / 3 // Int. J. Quantum Chem. $\pi$ : folyóirat. - 2002. - 20. évf. 90 , sz. 1 . - P. 42-53 . - doi : 10.1002/qua.1803 .
Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo. Olyan szögeken, amelyek négyzetes trigonometrikus függvényei racionálisak // Disc . És Comp. Geom. : folyóirat. - 1999. - 1. évf. 22 , sz. 3 . - P. 321-332 . - doi : 10.1007/PL00009463 . — arXiv : math-ph/9812019 .
Gerstmair, Kurt. Néhány lineáris összefüggés a trigonometrikus függvények értékei között k / n // Acta Arithmetica $\pi$ : folyóirat. - 1997. - 1. évf. 81 , sz. 4 . - P. 387-398 . - doi : 10.4064/aa-81-4-387-398 .
Gurak, S. A gauss periódusok minimális polinomjáról prímhatványokhoz // Számítási matematika : folyóirat. - 2006. - 20. évf. 75 , sz. 256 . - P. 2021-2035 . - doi : 10.1090/S0025-5718-06-01885-0 . - .
Servi, L.D. Beágyazott négyzetgyökök 2 (angol) // Amer. Math. Havi . - 2003. - 1. évf. 110 , sz. 4 . - P. 326-330 . - doi : 10.2307/3647881 . — .

Linkek

Konstruálható szabályos sokszögek
A szinusz és koszinusz mint irracionális számok bizonyos esetekben alternatív kifejezéseket, valamint bizonyos szögekre vonatkozó kifejezéseket is tartalmaznak

Trigonometria
Tábornok	Trigonometria áttekintése Sztori Használat Funkciók Fordított Ritkán használt Általánosított trigonometria
Könyvtár	Identitások Pontos állandók táblázatok egységkör
Törvények és tételek	Szinusztétel Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Érintőtétel Kotangens tétel Háromszögek megoldása
Matematikai elemzés	Trigonometrikus helyettesítés Integrálok ( inverz függvények ) Származékok

Trigonometrikus állandók

Bevételi kritériumok

Néhány gyakori szög táblázata

További szögek

0° = 0 (rad)

1,5°=(1/120)π (rad)

1,875°=(1/96)π (rad)

2,25°=(1/80)π (rad)

2,8125°=(1/64)π (rad)

3°=(1/60)π (rad)

3,75°=(1/48)π (rad)

4,5°=(1/40)π (rad)

5,625°=(1/32)π (rad)

6°=(1/30)π (rad)

7,5°=(1/24)π (rad)

9°=(1/20)π (rad)

11,25°=(1/16)π (rad)

12°=(1/15)π (rad)

15°=(1/12)π (rad)

18°=(1/10)π (rad) [1]

21°=(7/60)π (rad)

22,5°=(1/8)π (rad)

24°=(2/15)π (rad)

27°=(3/20)π (rad)

30°=(1/6)π (rad)

33°=(11/60)π (rad)

36°=(1/5)π (rad)

39°=(13/60)π (rad)

42°=(7/30)π (rad)

45°=(1/4)π (rad)

54°=(3/10)π (rad)

60°=(1/3)π (rad)

67,5°=(3/8)π (rad)

72°=(2/5)π (rad)

75°=(5/12)π (rad)

90°=(1/2)π (rad)

A 2π/n argumentumú trigonometrikus függvények értékeinek listája

Bizonyítás

1. példa: n = 3

2. példa: n = 5

3. példa: n = 7

4. példa: n = 3 2 = 9

5. példa: n = 2 7 = 14

6. példa: n = 3 5 = 15

7. példa: n = 17

8. példa: n = 13

Vegyes

Más állandók kiszámításához használja

Levezetés háromszögeken keresztül

A szinusz és a koszinusz számított értékei

Triviális mennyiségek

Radikális forma, szinusz és koszinusz(3× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz(5× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz(5×3× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz(17× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz(257× 2n );(65537× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz(255× 2n ),(65535× 2n );(4294967295× 2n )

n × π(5× 2 m )

n × húsz

n × harminc

n × 60

A kifejezések egyszerűsítésének módjai

A nevező racionalizálása

Tört átalakítása két (vagy több) tört összegére (különbségére)

Négyzetre emelés és a négyzetgyök felvétele

Kifejezések egyszerűsítése beágyazott gyökök segítségével

Lásd még

Jegyzetek

Linkek

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (3× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (5× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (5×3× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (17× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

Radikális forma, szinusz és koszinusz $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

n × $\pi$ húsz

n × $\pi$ harminc

n × $\pi$ 60