Inverz négyzetek sorozata

Az inverz négyzetek sorozata egy végtelen sorozat :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\pontok

A sorozat összegének megtalálásának problémája sokáig megoldatlan maradt. Mivel az európai matematikusok figyelmét erre a problémára Jacob Bernoulli bázeli matematikaprofesszor (1689) hívta fel, a történelemben gyakran nevezik „ bázeli problémának ” (vagy „ bázeli problémának ”). A sorozat összegét 1735-ben először a 28 éves Leonhard Euler találta meg, ez egyenlőnek bizonyult

{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\s pont

(Lásd az OEIS A013661 sorozatát ).

Ez az összeg sok más számelméleti feladatban is előfordul .

Ennek a problémának (és a rokonoknak) megoldása nemcsak az ifjú Euler világhírnevét hozta meg [1] , hanem jelentős hatással volt az elemzés , a számelmélet , majd a komplex elemzés továbbfejlesztésére is . Ismét ( a Leibniz-sorozat felfedezése után ) a szám túllépett a geometrián, és megerősítette annak egyetemességét. Végül az inverz négyzetsor az első lépés a Riemann-zéta-függvény bevezetése felé [2] . Euler maga indult el ezen az úton, miután figyelembe vette az inverz négyzetsorozat általánosítását - egy tetszőleges páros hatvány s sorozatát , és levezette az alapvető Euler-azonosságot : $\pi$

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{4^{s}}}+\dots ={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s} }}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1 -11^{-s}}}\cdot \dots

A jobb oldali szorzat minden prímszámot átvesz .

Történelem

A történészek először Pietro Mengoli olasz matematikus ( Novae quadraturae arithmeticae seu de Addectione fractionum , 1644, 1650-ben megjelent) disszertációjában fedezték fel az inverz négyzetek sorozatával kapcsolatos érvelést , de aztán a probléma nem keltett általános érdeklődést. Mengoli megállapította, hogy a sorozat konvergál, és megtalálta az első 10 tag összegét [3] :

{\frac {1968329}{1270080}}\approx 1{,}54977.

Később számos kiváló matematikus próbálkozott sikertelenül megtalálni a sorozat összegét, köztük Leibniz , Stirling , de Moivre , Christian Goldbach , Jacob és Johann Bernoulli testvérek . Kiszámolták a sorozat összegének több jelentős számjegyét is. Goldbach kimutatta, hogy az összeg benne van az intervallumban (41/25; 5/3), Stirlingnek a Methodus Differentialis (1730) értekezésében sikerült egy meglehetősen pontos összeget kiszámítania: 1,644934066, de senki sem tudta pontosan meghatározni, hogy ez mennyi. érték volt összefüggésben [3] [4] [5] .

Jacob Bernoulli Arithmetic Propositions on Infinite Series (1689) című művében sürgette: „Ha valakinek sikerül találnia valamit, ami eddig nem engedett erőfeszítéseinknek, és ha közli velünk, akkor nagyon hálásak leszünk neki” [2] ] [6] . De Jacob Bernoulli életében a megoldás nem jelent meg.

Euler volt az első, akinek sikerült , majdnem fél évszázaddal Bernoulli megtérése után. Valószínűleg Johann Bernoulli, Jacob testvére beszélt Eulernek erről a problémáról. Euler a felfedezésről a Szentpétervári Tudományos Akadémia "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae" című folyóirata " Az inverz sorozatok összegéről" ( De summis serierum reciprocarum , 1735) [7] című jegyzetében számolt be . Az általa talált összeg értékéről Euler is beszámolt barátjának , Daniel Bernoullinak , Johann Bernoulli fiának [8] írt levelében :

Nemrég találtam, és teljesen váratlanul, egy elegáns kifejezést egy kör négyzetre emelésével kapcsolatos sorozat összegére... Ugyanis ennek a sorozatnak a hatszoros összege egyenlő egy olyan kör kerületének négyzetével, amelynek átmérője: 1.

Daniel elmondta apjának, aki kétségeit fejezte ki a szinusz végtelen szorzattá való Euler-féle kiterjesztésének érvényességével kapcsolatban (lásd alább ). Ezért 1748-ban Euler szigorúbban indokolta az eredményt Bevezetés az infinitezimálisok elemzésébe ( Introductio in analysin infinitorum , I. kötet, X. fejezet) című monográfiájában [9] .

Ahogy John Derbyshire megjegyzi, egy szám második ( a Leibniz-sorozat után) váratlan, teljesen nem geometriai kontextusban való megjelenése erős benyomást tett a tizennyolcadik századi matematikusokra [10] . $\pi$

Kontrollként Euler manuálisan kiszámította a 20 számjegyű sorozat összegét (nyilván az Euler-Maclaurin képlet segítségével , mivel az inverz négyzetsor meglehetősen lassan konvergál). Ezután az összeget az akkor már ismert szám hozzávetőleges értékével hasonlította össze az értékkel , és meggyőződött arról, hogy a számla pontosságán belül mindkét érték egybeesik. Ezt követően (1743) Euler további két különböző módszert publikált az inverz négyzetek sorozatának összegzésére [11] . ${\frac {\pi ^{2}}{6)),$ $\pi$

Sorozatkonvergencia

Annak igazolására, hogy az inverz négyzetsorozat konvergál, elegendő annak bizonyítása, hogy a következő sorozatok konvergálnak [12] :

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\pontok

Ez a sorozat az inverz négyzetes sorozatot majorizálja , mivel benne minden tag (az első kivételével) nagyobb, mint az inverz négyzetes sorozatban. Teleszkópos összegként ábrázolható :

1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right )+\bal({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\jobbra)+\pontok

Ennek a sorozatnak a parciális összege tehát a sorozat konvergál, összege pedig egyenlő 2-vel. Összehasonlítási feltétel alapján tehát az inverz négyzetek sorozata az (1, 2) [12] intervallum valamelyik számához konvergál . $S_{n}$ $2-{1 \over n},$

A részösszegek konvergenciájának becsléséhez használhatjuk a képletet

{\frac {1}{m+1}}=\int \limits _{m+1}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}<\ összeg _{n=m+1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{n^{2}}}<\int \limits _{m}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}={\frac {1}{m}}.

A képlet közepén lévő összeg a sorozat és a részösszegének különbsége, vagyis a részösszeg abszolút hibája . A képletből látható, hogy a sorozatok konvergenciája meglehetősen lassú - a sorozat első ezer tagja ( ) sorrendi hibát ad , vagyis a harmadik tizedesjegyben. Ahhoz, hogy 6 helyes jelet kapjunk, hozzá kell adni a sorozat egymillió tagját [13] . $m$ $m=1000$ $10^{-3}$

1988-ban Roy D. North Colorado Springsből kiszámolta egy számítógépen egy inverz négyzetsorozat millió tagjának összegét , és furcsa mintát fedezett fel – a hatodik tizedesjegy, ahogy az várható is, hibás, de a következő 6 számjegy helyesek. Ekkor egy karakter rossz, utána pedig ismét öt számjegy helyes:

A sorok teljes összege ( ) $\pi ^{2}/6$	1,64493 4 066848 2 26436 472415166646025189218949901…
Egymillió tag részösszege	1,64493 3 066848 7 26436 305748499979391855885616544…
Hiba	0,00000099999950000016666666666633333333333357…

Ezt a hibát összegként is ábrázolhatjuk

10^{-6}-{\frac {1}{2}}10^{-12}+{\frac {1}{6}}10^{-18}-{\frac {1} {30}}10^{-30}+{\frac {1}{42}}10^{-42}+\pontok \,,

amelyben a 10 hatványos együtthatók a Bernoulli-számok [13] . Ennek a ténynek a bizonyítéka Borwein, Borwein és Dilcher 1989-es tanulmánya [14] .

Euler első módszere egy sorozat összegének meghatározására

A 17. század végére Newton és más matematikusok munkájának köszönhetően ismertté vált a szinuszfüggvény sorozatbővítése :

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+\pontok

Eulernek sikerült elérnie a szinusz újabb kiterjesztését - nem összegben, hanem végtelen szorzatban [15] :

\sin x=x\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^ {2}}{4\pi ^{2}}}\jobbra)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\jobbra)\cdot \ left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\jobb)\cdot \dots

Mindkét kifejezés egyenlővé tételével és a redukálással a következőket kaphatja: $x,$

\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\ pi ^{2}}}\jobbra)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\jobbra)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{ 4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\pontok

(egy)

Mivel ez az azonosság mindenkire érvényes , az együtthatóknak mindkét részében egyenlőnek kell lenniük: $x,$ $x^{2}$

-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2 ))}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{6}}.

Az egyenlőség mindkét oldalát megszorozva végül megkapjuk [16] : $-\pi ^{2},$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

A leírt módszer a szinusz végtelen szorzattá való bővítésén alapul, azonban Euler ezt a bővítést nem indokolta meg kellőképpen, arra korlátozva magát, hogy a polinomnak tekintett bal és jobb oldali rész ugyanazt tartalmazza. gyökök: Johann és Daniil Bernoulli rámutattak egy ilyen levezetés helytelenségére, mivel csak véges fokú polinomokra vonatkozik, végtelen sorozatokra nem. Ezzel kapcsolatban Euler több további összegzési módszert is publikált, szigorúbban indokolva, és ugyanarra az eredményre vezettek [11] . Ennek ellenére a megadott bővítés igaznak bizonyult, és ezt követően bebizonyosodott [17] . $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots$

Euler második módszere

1741-ben Euler figyelembe vette eredeti módszerének fenti kritikáját, és közzétett egy újabb, sorozatintegráción alapuló összegzési módszert [18] . Ehhez az űrlap integrálját tekintjük

E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx}=\int \limits _{ 0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.

Az integrál kiszámításához használhatja az arcszinusz kiterjesztését egy sorozatban az intervallumon : $[0,1]$

\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!))\cdot {\frac {x^{ 2n+1}}{2n+1}}.

Ez a sorozat egységesen konvergál , és tagonként integrálható:

E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx+\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1} }{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx.

Az első integrál , a második pedig a behelyettesítés után egyenlőnek bizonyul innen: $egy$ $x=\sin t$ ${\textstyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!)),}$

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2))}=\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}.

Ez az összeg a páratlan számok inverz négyzetét tartalmazza. Az inverz négyzetek sorozatának szükséges összege két részből áll, amelyek közül az első egyenlő , a második pedig a páros számok inverz négyzeteit tartalmazza: $S$ $E,$

S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+ {\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{ \frac {1}{6^{2}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S.

Ott van ${3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8)),$ $S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Alternatív módok az összeg megkeresésére

Fourier sorozat

Ennek az összegnek az egyik legegyszerűbb módja a függvény Fourier-soros kiterjesztése . Az egyenletes függvényhez ez a bővítés a következő formában van : [19] $f(x)=x^{2}$

f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.

Az együtthatók kiszámítása szabványos képletekkel történik: $a_n$

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \ több mint 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=( -1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}.

Ennek eredményeként a dekompozíció a következő formát ölti : [19]

x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos( nx)}{n^{2}}}.

Ha behelyettesít egy értéket ebbe a képletbe , akkor az eredményt kapja $x=\pi$

\pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(- 1)^{n}}{n^{2}}},

vagy

{2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))}.

A végeredményt úgy kapjuk [19] , hogy mindkét oldalt elosztjuk 4-gyel.

Ha csere helyett váltakozó összeget kap: $x=\pi$ $x=0,$

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}.

A probléma megoldásának másik módja a Fourier-analízissel a Parseval-egyenlőség használata a függvényhez $f(x)=x.$

Dekompozíciós módszer a hiperbolikus kotangenshez

Ezzel a módszerrel megtalálhatja az összes fordított páros hatványsorozat összegét:

S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n))}.

A hiperbolikus kotangens két kiterjesztési képletén alapul . Az első [20] a következőre érvényes : $|x|<1$

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x ^{2n}.

A második képlet [21] a hiperbolikus kotangenst a Bernoulli-számokhoz köti : $B_{n}$

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n }}{(2n)!}}x^{2n}

Az együtthatók azonos hatványokon való egyenlővé tétele egy képletet ad a sorozat összegeinek a Bernoulli-számokkal való összekapcsolására: $x$

B_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n))}S_{2n}.

Különösen a kezdeti eredmény akkor érhető el, ha figyelembe vesszük $n=1$ ${\textstyle B_{1}={1 \over 6}.}$

Egyéb megközelítések

K. P. Kokhas cikkében [16] a sorozatok összegzésének többféle módja szerepel: integrálok , komplex maradékok , gamma-függvény , az arcszinusz vagy kotangens kiterjesztése , a Leibniz-sor négyzetre emelése . Az összegzési módszerek egy másik gyűjteménye Chapman [22] cikkében található .

Inverz négyzetek sorozatának összegzésének érdekes fizikai-geometriai ábrázolását mutatja be Johan Westlund [23] cikke, valamint a 3Blue1Brown YouTube csatornán [24] egy videoelőadás .

Változatok és általánosítások

Az ( 1 ) képlet alapján Euler nem csak inverz négyzetek sorozatára számolta az összegeket, hanem más páros hatványok sorozataira is, például 26-ig [2] :

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{4}}{90}}),

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\pontok ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

stb. Euler azt is megállapította, hogy az ilyen sorozatok összegei a következőképpen viszonyulnak a Bernoulli-számokhoz [9] : $B_{{n}}$

S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}.

Euler összefoglalta a páratlan számok négyzeteit vagy más páros hatványait tartalmazó inverz négyzetek sorozatának módosítását is [25] ; a sorozat összegei is a számhoz kapcsolódnak $\pi.$

A páratlan hatványok sorozataira az összegük elméleti kifejezése még mindig nem ismert. Csupán bebizonyosodott, hogy inverz kockák sorozatának összege ( Aperi-állandó ) irracionális szám [2] .

Ha az inverz hatványok általános sorozatában szereplő kitevőt változónak (nem feltétlenül egész számnak) tekintjük, akkor a Riemann zéta függvényt kapjuk , amely óriási szerepet játszik az elemzésben és a számelméletben:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}.

Tehát az inverz négyzetsorozat összege az $\zeta (2).$

A zéta-függvény tulajdonságainak első vizsgálatát Euler végezte. 1748-ban megjelentette a "Bevezetés az infinitezimálisok elemzésébe" című monográfiáját, ahol bebizonyította az " Euler-azonosságot " [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{- s}}},

ahol a szorzat átveszi az összes prímszámot.Ez az egyenlőség nagy szerepet játszott az analitikus számelmélet kialakulásában, Csebisev és Riemann a prímszámok természetes sorozatbeli eloszlásáról szóló tanulmányain alapult . 1859-ben jelent meg Riemann mélyreható munkája, amely kiterjesztette a zéta-függvény meghatározását a komplex tartományra . Riemann részletesen megvizsgálta a zéta-függvény kapcsolatát a prímszámok eloszlásával [26] . $p.$

1768-ban Euler javasolta az inverz négyzetsorozat egy másik általánosítását, az Euler -dilogaritmust [27] :

\operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}} {3^{2}}}+\pontok

Egyes alkalmazások

Inverz négyzetek sorozatának összege, számos számelméleti feladatban is megjelenik. $\zeta (2),$

Egy természetes szám osztóinak összege átlagosan nő [28] lineáris függvényként . $N$ $\zeta (2)\cdot N$

Annak a valószínűsége, hogy az 1- től az intervallumban véletlenszerűen kiválasztott természetes szám koprímnek bizonyul . Más szóval, a számsor [29] másodpímszámainak átlagos sűrűsége egyenlő $N$ $N$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$ ${\textstyle 1/\zeta(2).}$

Legyen a négyzet nélküli természetes számok száma 1 és 1 közötti tartományban Teljesíti a közelítő képletet [30] [31] [32] $Q(x)$ $x.$

Q(x)\approx {\frac {x}{\zeta (2)))

kumulatív Euler-függvény

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,

ahol az Euler-függvény a következő aszimptotikumokkal rendelkezik [33] : $\varphi (n)$

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}\cdot n^{2}+O\left(n\log n\right).

Jegyzetek

↑ Stewart, Ian . Stewart professzor hihetetlen számai = Stewart professzor hihetetlen számai. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 222-223. — 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 3 4 Derbyshire, 2010 , p. 90-92, 103-109.
↑ 1 2 Sofo, Anthony. A bázeli probléma a kiterjesztéssel . Letöltve: 2020. augusztus 3. (határozatlan)
↑ Leonhard Euler életrajza (elérhetetlen link) . Letöltve: 2016. április 16. Az eredetiből archiválva : 2008. március 17.. (határozatlan)
↑ Euler et le problemème de Bale . Letöltve: 2020. augusztus 5. Az eredetiből archiválva : 2021. január 23. (határozatlan)
↑ Poya D. Matematika és hihető érvelés. - Szerk. 2., javítva. - M . : Nauka, 1975. - S. 40.
↑ Leonhard Euler. Desummis serierum reciprocarum . Hozzáférés időpontja: 2016. április 17. (határozatlan)
↑ Navarro, Joaquin. A létszámhatárig . Letöltve: 2016. augusztus 10. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 15. (határozatlan)
↑ 1 2 Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 337.
↑ Derbyshire, 2010 , p. 92.
↑ 1 2 Vileitner G. A matematika története Descartes-tól a 19. század közepéig. - M. : GIFML, 1960. - S. 143-144. — 468 p.
↑ 1 2 Vorobjov N. N. Sorozatelmélet . - 4. kiadás - M . : Nauka, 1979. - S. 52 . — 408 p. - (Válogatott felsőfokú matematika fejezetek mérnökök és felsőoktatási intézmények hallgatói számára).
↑ 1 2 Aigner, Ziegler, 2006 , p. 49.
↑ Borwein, Borwein, Dilcher, 1989
↑ Antonio Duran, 2014 , p. 109-114.
↑ 1 2 Kokhas K.P., 2004 .
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 374-376.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 671.
↑ 1 2 3 Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - Szerk. 3. - M . : Nauka, 1963. - T. III. - S. 443, 451. - 656 p.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 484.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , p. 495-496.
↑ Robin Chapman .
↑ Wästlund, Johan. Inverz négyzetek összegzése euklideszi geometriával . Letöltve: 2020. augusztus 6. Az eredetiből archiválva : 2020. február 24. (határozatlan)
↑ Miért van itt pi? És miért négyzet alakú? Geometriai válasz a bázeli problémára a YouTube -on
↑ Zsukov A. V. A mindenütt jelenlévő „pi” szám. - 2. kiadás - M . : LKI Kiadó, 2007. - S. 145. - 216 p. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
↑ 1 2 Otradnykh F.P. A 18. századi matematika és Leonhard Euler akadémikus. - M . : Szovjet Tudomány, 1954. - S. 33. - 39 p.
↑ Leonhard Euler , Institutiones calculi integrálok
↑ Arnold V. I. Galois-mezők dinamikája, statisztikája és projektív geometriája. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.
↑ Cohen E. Tetszőleges egész számhalmazokhoz társított aritmetikai függvények // Acta Arithmetica . - 1959. - 1. évf. 5 . - P. 407-415 . Archiválva : 2019. május 2. (Lásd még a cikkre vonatkozó megjegyzést: Errata archiválva : 2020. augusztus 14. a Wayback Machine -nél . A megjegyzés a „3.3. következményre” vonatkozik, 413. oldal).
↑ Jia C.-H. A négyzet nélküli számok eloszlása (angol) // Tudomány Kínában. A sorozat – Matematika, fizika, csillagászat és technológiatudomány. - 1993. - 1. évf. 36 , iss. 2 . - 154-169 . o . doi : 10.1360 /ya1993-36-2-154 .
↑ Pappalardi F. Felmérés a k -mentességről // Számelmélet. Az analitikus számelméleti konferencia előadása Prof. Subbarao (angol) / Vol. Szerk.: SD Adhikari, R. Balasubramanian, K. Srinivas. - Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2002. - P. 77-88. — 161 p. - (Előadási jegyzetek sorozata: 1. szám). — ISBN 9788190254510 .
↑ Sinha K. Egyes aritmetikai függvények átlagos sorrendje // Journal of the Ramanujan Mathematical Society. - 2006. - 20. évf. 21 , iss. 3 . - 267-277 . o . Az eredetiből archiválva : 2012. február 14.
↑ Weisstein, Eric W. Totient Summatory Function (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Irodalom

Aigner M. , Ziegler G. Bizonyítékok a könyvből . A legjobb bizonyíték Eukleidész korától napjainkig. - M . : Mir, 2006. - S. 49 . — 256 p. — ISBN 5-03-003690-3 .
Derbyshire, John. Egyszerű megszállottság. Bernhard Riemann és a matematika legnagyobb megoldatlan problémája. - Astrel, 2010. - S. 90-92, 103-109. — 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Duran, Antonio. A számok költészete. Finom és matek. — M .: De Agostini, 2014. — 160 p. — (A matematika világa: 45 kötetben, 27. kötet). — ISBN 978-5-9774-0722-9 .
A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. II. - S. 461-462, 490, 496, 671. - 800 p. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Borwein J. M., Borwein P. B., Dilcher K. Pi, Euler-számok és aszimptotikus kiterjesztések // Amer. Math. Havi. - 1989. - 96. sz. - P. 681-687.

Linkek

Kokhas K. P. Az inverz négyzetek összege // Matematikai oktatás. - 2004. - Kiadás. 8 . – S. 142–163 .
Sobolevsky A., a fizika-matematika doktora. Tudományok (IPPI RAS). A bázeli probléma körül: Bernoulli, Euler, Riemann (2014). - videó előadás. Letöltve: 2016. május 24. (határozatlan)
Chapman, Robin. A ζ(2) értékelése (angol) (1999). Hozzáférés időpontja: 2016. április 17.
Pengelley DJ Táncok a folyamatos és a diszkrét között: Euler összegzési képlete (angol) (hivatkozás nem elérhető) . Euler 2K+2 konferencia, Rumford, Maine (2002). Letöltve: 2016. április 17. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 9..
Weisstein EW Riemann Zeta zeta függvény(2 ) . MathWorld – Wolfram webes forrás. Hozzáférés időpontja: 2016. április 17.

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor