Kerekítés

A kerekítés egy szám helyettesítése a hozzávetőleges értékével (bizonyos pontossággal ), kevesebb jelentős számjeggyel. A cserélendő szám és a helyettesítő szám különbségének modulusát kerekítési hibának nevezzük .

A kerekítés az értékek és a számítási eredmények annyi tizedesjegyű megjelenítésére szolgál, amennyi a valódi mérési vagy számítási pontosság, vagy amennyit az adott alkalmazás megkövetel. A kézi számítások kerekítése olyan esetekben is használható a számítások egyszerűsítésére, amikor a kerekítési hiba okozta hiba nem lépi túl a megengedett számítási hiba határait.

Általános kerekítés és terminológia

A helyzeti számrendszerben M tizedesjegyekkel írt szám kerekítése „k-edik tizedesjegyig” történhet, ahol K ≤ M. Ezzel a kerekítéssel a rekordban a szignifikánstól jobbra (MK) el kell hagyni a számokat. számjegyek, és a vessző utáni K. számjegy változhat (lásd #Módszerek ). A terminológiát használják a kerekített számoknál megőrzött legkisebb tizedes rész egységének jelzésére is, azaz „tizedekre kerekítés”, „... századra”, „... ezredrészre” stb. (megfelel a következőnek: kerekítés egyre, kettőre, háromra, és így tovább, további tizedesjegyekre). Azt a speciális esetet, amikor K=0, felfelé kerekítésnek nevezzük.
Ha a kerekítés során a szám egész részének jelentős számjegyeit figyelmen kívül hagyjuk, akkor „tízesre kerekítésről” (százra, ezresre és így tovább) beszélnek, egy, kettő, három vagy több karakter elvetéséről. Ezzel a kerekítéssel a szám egész részének kihagyott számjegyeit nullák helyettesítik.
A normalizált formában ábrázolt számok esetében "K (jelentős) számjegyre kerekítésről" beszélünk. Ebben az esetben a szám mantisszája megőriz K jelentős számjegyet, a jobb oldalon lévő többi számjegyet el kell dobni.

Módszerek

A különböző mezők eltérő kerekítési módszereket alkalmazhatnak. Mindezen módszerekben az "extra" jeleket nullára állítják (eldobják), és az őket megelőző jelet valamilyen szabály szerint korrigálják.

Kerekítés a legközelebbi egész számra

A legközelebbi egészre kerekítés a leggyakrabban használt kerekítés, amelyben egy szám egész számra kerekítve van, a különbség modulusára, amellyel ennek a számnak a minimuma van. Általában, ha egy számot a tizedes rendszerben N-edik tizedesjegyre kerekítünk, a szabály a következőképpen fogalmazható meg:

ha N+1 karakter < 5 , akkor az N-edik karakter megmarad, és az N+1 és minden további karakter nullára lesz állítva;
ha N+1 számjegy ≥ 5 , akkor az N-edik számjegyet eggyel növeljük, és az N+1-et és az összes azt követő egyest nullára állítjuk;

Például: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3. A kerekítés által okozott maximális további abszolút hiba (kerekítési hiba) az utolsó tárolt számjegy ±0,5-e.

Felfelé kerekítés

Felfelé kerekítés (felfelé kerekítés +∞, kerekítés felfelé, angol plafon - lit. "plafon") - ha a nullázandó karakterek nem egyenlőek nullával, akkor az előző előjelet növeljük eggyel, ha a szám pozitív, vagy elmentjük, ha a szám negatív. Közgazdasági zsargonban - az eladó , a hitelező (a pénzt kapó személy) javára kerekítve . Különösen 2,6 → 3, −2,6 → −2. A kerekítési hiba az utolsó tárolt számjegyhez képest +1-en belül van.

Lefelé kerekítés

Lefelé kerekítés (lefelé kerekítés −∞-re, lefelé kerekítés, angol floor - szó szerint „emelet”) - ha a nullázható karakterek nem egyenlőek nullával, akkor az előző előjel megmarad, ha a szám pozitív, vagy eggyel növelve, ha a szám negatív. Közgazdasági zsargonban - a vevő , az adós (a pénzt adó személy) javára kerekítve . Itt 2,6 → 2, −2,6 → −3. A kerekítési hiba az utolsó tárolt számjegyhez képest -1-en belül van.

Kerekítés modulo

A felfelé kerekítés (végtelen felé kerekítés, nulláról lefelé kerekítés) a kerekítés viszonylag ritkán alkalmazott formája. Ha a nullázható karakterek nem egyenlőek nullával, az előző karakter eggyel nő. A kerekítési hiba +1 utolsó számjegy pozitív számok és -1 utolsó számjegy negatív számok esetén .

Lefelé kerekítés modulo

A legkisebb modulóra kerekítés (nullára kerekítés, egész angol fix, csonka, integer ) a legegyszerűbb kerekítés, mivel az „extra” karakterek nullázása után megmarad az előző előjel, vagyis technikailag az extra eldobásából áll. karakterek. Például 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1). Ilyen kerekítéssel az utoljára tárolt számjegy egységén belül lehet hibát bevinni, és a számtengely pozitív részében a hiba mindig negatív, a negatív részében pedig pozitív.

Véletlenszerű kerekítés

Véletlenszerű kerekítés - felfelé vagy lefelé kerekítés véletlenszerű sorrendben, miközben a felfelé kerekítés valószínűsége megegyezik a tört résszel. Ez a módszer a hibák halmozódását nulla matematikai elvárású valószínűségi változóvá teszi .

0,5-ös kerekítési lehetőségek a legközelebbi egész számra

Külön leírást írnak elő a kerekítési szabályok arra a speciális esetre, amikor az (N + 1)-edik karakter = 5, és az azt követő karakterek nullával egyenlőek . Ha minden más esetben a legközelebbi egészre kerekítés kisebb kerekítési hibát eredményez, akkor erre az esetre az a jellemző, hogy egyetlen kerekítésnél formálisan mindegy, hogy „fel” vagy „le” – mindkét esetben hiba. pontosan a legkisebb jelentőségű számjegy 1/2-ével kerül bevezetésre. Ebben az esetben a legközelebbi egész számra kerekítési szabály alábbi változatai léteznek:

Matematikai kerekítés - a kerekítés mindig felfelé történik (az előző számjegy mindig eggyel nő).
Kerekítés a legközelebbi páros számra (angolul az angol bankár kerekítése - "a bankár kerekítése") - a kerekítés ebben az esetben a legközelebbi páros számra történik, azaz 2,5 → 2; 3,5 → 4.
Véletlenszerű kerekítés - véletlenszerűen, de azonos valószínűséggel felfelé vagy lefelé kerekítés (statisztikailag használható).
Váltakozó kerekítés - felfelé vagy lefelé kerekítés felváltva.

Minden esetben, amikor az (N + 1)-edik előjel nem egyenlő 5-tel, vagy az azt követő előjelek nem egyenlők nullával, a kerekítés a szokásos szabályok szerint történik: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

A matematikai kerekítés egyszerűen formálisan megfelel az általános kerekítési szabálynak (lásd fent). Hátránya, hogy nagyszámú érték kerekítésekor, amelyeket aztán együtt dolgozunk fel , kerekítési hiba halmozódhat fel . Tipikus példa: a rubelben és kopejkában kifejezett pénzösszegek egész rubelekre kerekítése. Egy 10 000 soros regiszterben (feltételezve, hogy az egyes összegek kopejkás része egy véletlenszerű szám, egyenletes eloszlású, ami általában teljesen elfogadható), átlagosan körülbelül 100 olyan sor lesz, amelyekben a kopejka részben az 50 értéket tartalmazzák. Ha az összes ilyen sort a matematikai „felfelé” kerekítés szabályai szerint kerekítjük, a kerekített regiszter szerinti „összeg” összege 50 rubel lesz több, mint a pontos.

A másik három lehetőséget csak azért találták ki, hogy csökkentsék az összeg teljes hibáját nagyszámú érték kerekítésekor. A "legközelebbi párosra" kerekítés azt feltételezi, hogy nagyszámú kerekített érték esetén, amelyeknek a kerekített maradéka 0,5, átlagosan ezek fele balra, fele jobbra lesz a legközelebbi párostól, így kerekítési hibák kiiktatják egymást. Szigorúan véve ez a feltételezés csak akkor igaz, ha a kerekítendő számhalmaz véletlenszerű sorozat tulajdonságaival rendelkezik, ami általában igaz azokban a számviteli alkalmazásokban, ahol árakról, számlaösszegekről és így továbbról beszélünk. Ha a feltevést megsértik, akkor a „párosra” kerekítés szisztematikus hibákhoz vezethet. Ilyen esetekben a következő két módszer működik a legjobban.

Az utolsó két kerekítési lehetőség biztosítja, hogy a speciális értékek körülbelül fele egy irányba, a fele pedig a másik irányba kerekítésre kerüljön. Az ilyen módszerek gyakorlati megvalósítása azonban további erőfeszítéseket igényel a számítási folyamat megszervezéséhez.

A véletlenszerű kerekítéshez minden kerekített sorhoz véletlen számot kell generálni. Lineáris ismétlődő módszerrel előállított pszeudo-véletlen számok használatakor az egyes számok generálásához a szorzás, az összeadás és a modulo osztás művelete szükséges, ami jelentősen lelassíthatja a nagy mennyiségű adat számítását.
Az átlapolt kerekítéshez el kell tárolni egy jelzőt, amely jelzi, hogy a speciális értéket melyik módon kerekítették utoljára, és ennek értékét minden művelettel módosítani kell.

Jelölés

Az x szám nagyobbra ( felfelé ) kerekítésének műveletét a következőképpen jelöljük: . Hasonlóképpen a lefelé ( lefelé ) kerekítést jelöli . Ezeket a szimbólumokat (valamint ezeknek a műveleteknek az angol elnevezését - rendre mennyezet és padló , lit. "ceiling" és "floor") K. Iverson vezette be [1] A Programming Language [2] című munkájában , amely leírta a matematikai jelölésrendszer, amelyet később APL programozási nyelvvé fejlesztettek . A kerekítési műveletekre vonatkozó Iverson-féle jelölést D. Knuth népszerűsítette The Art of Programming című könyvében [ 3] . $\lceil x\rceil$ $\lfloor x\rfloor$

Analógia alapján a legközelebbi egész számra való kerekítést gyakran jelölik . Néhány korábbi és modern (a XX. század végéig) alkotásban a lefelé kerekítést így jelezték; ennek a jelölésnek a használata Gauss 1808-as munkájára nyúlik vissza (a kölcsönösség másodfokú törvényének harmadik bizonyítéka ). Ezenkívül ugyanezt a jelölést használják (más jelentéssel) az Iverson-jelölésben . [egy] $\left[ x \right]$

A következő karakterek rögzítve vannak a Unicode szabványban :

Név Unicode -ban	Kód Unicode-ban		Kilátás	Mnemonika a HTML 4 -ben	Megjegyzések
Név Unicode -ban	hexadecimális	decimális	Kilátás	Mnemonika a HTML 4 -ben	Megjegyzések
BAL MENNYEZET (APL felfelé is)	2308	8968	⌈	⌈	nem tévesztendő össze: U+2E22 ⸢ - Bal felső féltartó U+300C「-Bal saroktartó
JOBB MENNYEZET	2309	8969	⌉	⌉	nem tévesztendő össze: U+20E7 ◌⃧ — Összevonó járadékszimbólum U+2E23 ⸣ - Jobb felső féltartó
BAL PADLÓ (APL lefelé is)	230A	8970	⌊	⌊	nem tévesztendő össze: U+2E24 ⸤
JOBB EMELET	230B	8971	⌋	⌋	nem tévesztendő össze: U+2E25 ⸥ U+300D」-Jobb saroktartó

Alkalmazások

A kerekítés a számítási paraméterek tényleges pontosságának (ha ezek így vagy úgy mért valós értékek), a reálisan elérhető számítási pontosságnak megfelelő számjegyek számán belüli számokkal való munkavégzésre szolgál, ill. az eredmény kívánt pontossága. Régebben a köztes értékek és az eredmény kerekítése gyakorlati jelentőséggel bírt (mert papíron történő számításnál vagy olyan primitív eszközöknél, mint az abakusz , az extra tizedesjegyek figyelembevétele komolyan megnövelheti a munka mennyiségét). Mára a tudományos és mérnöki kultúra eleme marad. A számviteli alkalmazásokban emellett szükség lehet kerekítésre, beleértve a közteseket is, a számítási eszközök véges bitkapacitásával összefüggő számítási hibák elleni védelem érdekében.

Ezenkívül egyes tanulmányok életkor kerekítését használják a számolás mérésére . Ennek az az oka, hogy a kevésbé iskolázott emberek a pontos életkor megadása helyett inkább kerekítik életkorukat. Például az alacsonyabb humántőkével rendelkező populációk hivatalos nyilvántartásaiban a 30 éves kor gyakoribb, mint a 31 vagy 29 év [4] .

Kerekítés korlátozott pontosságú számok kezelésekor

A valós fizikai mennyiségek mérése mindig bizonyos véges pontossággal történik , amely a műszerektől és a mérési módszerektől függ, és az ismeretlen valódi érték maximális relatív vagy abszolút eltérésével becsülhető meg a mért értéktől, amely az érték decimális megjelenítésében vagy a egy bizonyos számú jelentős számjegy, vagy a számbevitel egy bizonyos helyére, amely után (jobbra) az összes szám jelentéktelen (a mérési hibán belül van ). Magukat a mért paramétereket olyan számú karakterrel rögzítik, hogy minden adat megbízható, az utolsó talán kétséges. A korlátozott pontosságú matematikai műveletek hibája megmarad, és az ismert matematikai törvények szerint változik, így ha a további számításokban köztes értékek és sok számjegyű eredmények jelennek meg, ezeknek a számjegyeknek csak egy része jelentős. A fennmaradó számok, amelyek az értékekben jelen vannak, valójában semmilyen fizikai valóságot nem tükröznek, és csak a számításokhoz tartanak időt. Ennek eredményeként a köztes értékek és a korlátozott pontosságú számítások eredményei a kapott értékek tényleges pontosságát tükröző tizedesjegyekre kerekítve vannak. A gyakorlatban általában ajánlott még egy számjegy tárolása közbenső értékekben a hosszú "láncolt" kézi számításokhoz. Számítógép használatakor a köztes kerekítések a tudományos és műszaki alkalmazásokban legtöbbször értelmüket vesztik, és csak az eredmény kerekíthető.

Tehát például, ha egy 5815 gf erőt adunk meg egy gramm erő pontossággal és egy 1,40 m vállhosszt egy centiméteres pontossággal, akkor az erőnyomaték kgf-ben a képlet szerint , abban az esetben egy formális számítás minden előjellel egyenlő lesz: 5,815 kgf • 1, 4 m \u003d 8,141 kgf • m . Ha azonban figyelembe vesszük a mérési hibát, akkor azt kapjuk, hogy az első érték relatív határhibája 1/5815 ≈ 1,7•10 -4 , a másodiké 1/140 ≈ 7,1•10 -3 , a relatív hiba a műveleti hibaszabály szorzása szerinti eredményből (közelítő értékek szorzásakor a relatív hibák összeadódnak) 7,3•10 −3 lesz , ami megfelel az eredmény maximális abszolút hibájának ±0,059 kgf•m! Vagyis a valóságban a hibát figyelembe véve az eredmény 8,082-8,200 kgf•m lehet, így a számított 8,141 kgf•m értékben csak az első adat teljesen megbízható, a második már kétséges. ! Helyes lesz a számítások eredményét az első kétes számjegyre kerekíteni, azaz tizedekre: 8,1 kgf•m, vagy ha szükséges, a hibahatár pontosabb megjelölésével, egyre kerekített formában kell bemutatni. vagy két tizedesjegy a hiba jelzésével: 8 ,14 ± 0,06 kgf•m . $M=(mg)\cdot h$

A számított hibaérték kerekítése

Általában csak az első egy-két jelentős számjegy marad meg a számított hiba végső értékében. Az egyik alkalmazott szabály szerint, ha a hibaérték 1-es vagy 2-es számjegyekkel kezdődik [5] (más szabály szerint - 1, 2 vagy 3 [6] ), akkor abban két jelentős számjegy kerül tárolásra, más esetekben - egy, például: 0 ,13; 0,26; 0,3; 0.8. Vagyis a kerekített hiba lehetséges értékeinek minden évtizede két részre oszlik. Ennek a szabálynak az a hátránya, hogy a relatív kerekítési hiba jelentősen megváltozik, ha 0,29-ről 0,3-ra változik. Ennek kiküszöbölése érdekében javasolt a lehetséges hibaértékek minden évtizedét három részre osztani, a kerekítési lépés kevésbé éles változásával. Ezután a használható kerekített hibaértékek sorozata a következő formában jelenik meg:

0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18;
0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.0.

Ilyen szabály alkalmazásakor azonban magának az eredménynek a kerekítés után megmaradt utolsó számjegyeinek is meg kell felelniük az adott sorozatnak [5] .

Fizikai mennyiségek értékeinek újraszámítása

Egy fizikai mennyiség értékének átszámítását az egyik mértékegységrendszerből a másikba az eredeti érték pontosságának megőrzése mellett kell végrehajtani. Ehhez az egy egységben lévő eredeti értéket meg kell szorozni (osztani) egy gyakran nagy számú jelentős számjegyet tartalmazó átváltási tényezővel, és az eredményt olyan jelentős számjegyre kell kerekíteni, amely biztosítja az eredeti érték pontosságát. . Például egy 96,3 tf erőérték kilonewtonban (kN) kifejezett értékre konvertálásakor az eredeti értéket meg kell szorozni egy 9,80665 (1 tf = 9,80665 kN) átváltási tényezővel. Az eredmény 944,380395 kN érték, amelyet három jelentős számjegyre kell kerekíteni. 96,3 tf helyett 944 kN-t kapunk [7] .

A kerekítési aritmetika ökölszabályai

Azokban az esetekben, amikor nem kell pontosan figyelembe venni a számítási hibákat, de csak a pontos számok számának hozzávetőleges becslésére van szükség a képlettel történő számítás eredményeként, akkor egyszerű szabályokat használhat a kerekített számításokhoz [ 8] :

Az összes nyers értéket a tényleges mérési pontosságig felkerekítjük, és a megfelelő számú jelentős számjeggyel rögzítjük, így a decimális jelölésben minden számjegy megbízható (megengedett, hogy az utolsó számjegy kétséges). Ha szükséges, az értékeket jelentős jobb oldali nullákkal rögzítjük, hogy a megbízható karakterek tényleges száma megjelenjen a rekordban (például ha 1 m-es hosszúságot ténylegesen a legközelebbi centiméter pontossággal mérünk, az „1,00 m” úgy írva, hogy látható legyen, hogy a tizedesvessző után két karakter megbízható a rekordban), vagy a pontosság kifejezetten fel van tüntetve (például 2500 ± 5 m - itt csak a tízesek megbízhatóak, és felfelé kell kerekíteni) .
A köztes értékek egy „tartalék” számjegyre kerekítve vannak.
Összeadáskor és kivonáskor az eredményt a legkevésbé pontos paraméter utolsó tizedesjegyére kerekítjük (például 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m érték kiszámításakor az eredményt tizedméterekre kerekítjük, 2,6 m). Ugyanakkor ajánlatos a számításokat olyan sorrendben végezni, hogy elkerüljük a nagyságrendjükben közel álló számok kivonását, és a számokkal, ha lehetséges, a moduljaik növekvő sorrendjében végezzünk műveleteket.
Szorzáskor és osztásakor az eredményt a faktorok vagy osztó és osztó legkisebb számú jelentős számjegyére kerekítjük. Például, ha egy test egyenletes mozgású 2,5⋅10 3 métert tett meg 635 másodperc alatt , akkor a sebesség kiszámításakor az eredményt 3,9 m/s - ra kell felkerekíteni , mivel az egyik szám (távolság) ismert. csak két jelentős számjegy pontossággal. Fontos megjegyzés: ha egy operandus szorzáskor vagy egy osztó osztás közben egész szám (vagyis nem egy folytonos fizikai mennyiség egész egységnyi pontosságú mérésének eredménye, hanem például egy mennyiség vagy csak egy egész számállandó ), akkor a benne lévő jelentős számjegyek számát a művelet eredményének pontossága nem befolyásolja, a hátralévő számjegyek számát pedig csak a második operandus határozza meg. Például egy 0,325 kg tömegű, 5,2 m / s sebességgel mozgó test kinetikus energiája egyenlő $E_{k}={\tfrac {mv^{2}}{2}}={\tfrac {0,325\cdot 5,2^{2}}{2}}=4,394\körülbelül 4,4$ J -vel - két tizedesjegyre kerekítve (a sebességértékben lévő jelentős számjegyek száma szerint), és nem egyhez ( a képletben 2 osztója ), mivel a 2 érték egy egész képletállandó, abszolút pontos, és nem befolyásolja a számítások pontosságát (formálisan egy ilyen operandust „végtelen számú szignifikánssal mértnek” tekinthetünk számjegyek”).
Hatványra emeléskor a számítás eredményeként annyi jelentős számjegyet kell hagyni, amennyi a fokszám alapja van.
Ha egy hozzávetőleges számból bármilyen fokú gyökét kinyerünk, akkor annyi jelentős számjegyet kell venni, ahány gyökszám van.
Egy függvény értékének kiszámításakor meg kell becsülni ennek a függvénynek a deriváltjának modulusát a számítási pont közelében. Ha , akkor a függvény eredménye pontosan ugyanabban a tizedesjegyben van, mint az argumentum. Ellenkező esetben az eredmény kevesebb pontos tizedesjegyet tartalmaz -val , felfelé kerekítve a legközelebbi egész számra. $f \left( x \right)$ $\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 1$ $\log _{10}\left(\left|f'\left(x\right)\right|\right)$

A nem szigorúság ellenére a fenti szabályok meglehetősen jól működnek a gyakorlatban, különösen a hibák kölcsönös törlésének meglehetősen nagy valószínűsége miatt, amelyet általában nem vesznek figyelembe, amikor a hibákat pontosan figyelembe veszik.

Hibák

Gyakran előfordulnak visszaélések a nem kerek számokkal. Például:

Írja le a kis pontosságú számokat kerekítetlen formában. Statisztikában: ha 17-ből 4 igennel válaszolt, akkor „23,5%”-ot ír (míg a „24%” helyes, mivel a forrásadatokban a jelentős számjegyek száma nem több, mint kettő ).
A mutatót használók néha így gondolják: „a mutató 5,5 és 6 között megállt a 6-hoz közelebb, legyen 5,8” - ez az érvelés helytelen. ( A műszer kalibrálása általában megfelel a valós pontosságának, helyes lenne a "6" értéket rögzíteni.

Érdekes tény

Carl Friedrich Gauss megjegyezte: „A matematikai oktatás hiányosságai a legvilágosabban a numerikus számítások túlzott pontosságában nyilvánulnak meg” [9] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Floor Function - a Wolfram MathWorldtől . Letöltve: 2015. augusztus 8. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 5.. (határozatlan)
↑ Iverson, Kenneth E. A programozási nyelv . - Wiley, 1962. - ISBN 0-471-43014-5 . Archivált másolat (nem elérhető link) . Hozzáférés dátuma: 2015. augusztus 8. Az eredetiből archiválva : 2009. június 4. (határozatlan)
↑ Knut D. E. A programozás művészete. 1. kötet. Alapvető algoritmusok = The Art of Computer Programming. 1. kötet. Alapvető algoritmusok / szerk. S. G. Trigub (1. fej.), Yu. G. Gordienko (2. fej.) és I. V. Krasikova (2.5. és 2.6. szakasz). - 3. - Moszkva: Williams, 2002. - T. 1. - 720 p. — ISBN 5-8459-0080-8 .
↑ A'Hearn, B., J. Baten, D. Crayen (2009). "Quantifying Quantitative Literacy: Age Heaping and the History of Human Capital", Journal of Economic History 69, 783-808.
↑ 1 2 A mérési eredmények kerekítése . www.metrologie.ru Letöltve: 2019. augusztus 10. Az eredetiből archiválva : 2019. augusztus 16. (határozatlan)
↑ 1.3.2. A hibaértékek kerekítésének és rögzítésének szabályai . StudFiles. Letöltve: 2019. augusztus 10. Az eredetiből archiválva : 2019. augusztus 10. (Orosz)
↑ A fizikai mennyiségek értékeinek újraszámításának szabályai | Fizikai mennyiségek mértékegységei . sv777.ru. Letöltve: 2019. augusztus 8. Az eredetiből archiválva : 2019. augusztus 8.. (határozatlan)
↑ V. M. Zavarykin, V. G. Zhitomirsky, M. P. Lapcsik. Számítástechnika és algoritmizálás: Bevezető tantárgy: Tankönyv fizika-matematika pedagógiai intézetek hallgatói számára. - M: Nevelés, 1987. 160 p.: ill.
↑ cit. V. Gilde, Z. Altrichter szerint. – Számológéppel a kezében. Második kiadás. Yu. A. Danilov német nyelvű fordítása. M: Mir, 1987, 64. o.

Irodalom

Henry S. Warren, Jr. 3. fejezet Kerekítés 2 hatványra // Algoritmikus trükkök programozóknak = Hacker's Delight. - M . : "Williams" , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .

Linkek

Szabvány SEV ST SEV 543-77 "Számok. Az írás és a ... szabályai | Dokipedia . dokipedia.ru. Hozzáférés dátuma: 2019. augusztus 8. Archiválva : 2019. augusztus 8. (határozatlan)