Bernoulli eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Bernoulli eloszlás
Valószínűségi függvény
elosztási függvény
Lehetőségek	$p\in(0,1)$ $q\equiv 1-p$
Hordozó	$k=\{0,1\}$
Valószínűségi függvény	${\begin{mátrix}q&k=0\\p~~&k=1\end{mátrix}}$
elosztási függvény	${\begin{mátrix}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{mátrix))$
Várható érték	$p$
Divat	${\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}$
Diszperzió	$pq$
Aszimmetria együttható	${\frac {qp}{{\sqrt {pq))))$
Kurtosis együttható	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)))$
Differenciál entrópia	$-q\ln qp\ln p$
Pillanatok generáló függvénye	${\displaystyle q+pe^{t))$
jellemző funkció	$q+pe^{it}$

A Bernoulli-eloszlás a valószínűségelméletben és a matematikai statisztikában egy diszkrét valószínűségi eloszlás , amely egy tetszőleges természetű véletlenszerű kísérletet modellez a siker vagy a kudarc előre meghatározott valószínűségével .

Definíció

Egy valószínűségi változónak Bernoulli-eloszlása van, ha csak két értéket vesz fel: és valószínűségekkel , ill. Ilyen módon: $x$ $egy$ $0$ $p$ $q\equiv 1-p$

{\mathbb {P}}(X=1)=p

{\mathbb {P}}(X=0)=q

Szokás azt mondani, hogy egy esemény a „sikernek”, egy esemény pedig a „kudarcnak” felel meg. Ezek a nevek feltételesek, és az adott feladattól függően helyettesíthetők ellentétesekkel. $\{X=1\}$ $\{X=0\}$

Tulajdonságok

Tulajdonság korlátozása

A határértéket a Poisson-tétel írja le :

Legyen egy sorozat Bernoulli-próbák sorozata, ahol a "siker" valószínűsége, a "sikerek" száma. $p_n$ $\mu _{n}$

Aztán ha

$\lim _{{n\to \infty }}p_{n}=0;$
$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$
$\lambda >0,$

akkor

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

A Bernoulli-eloszlás pillanatai

{\mathbb {E}}[X]=p

\operátornév {D}[X]=p(1-p)=pq

, mert: .

\operátornév {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=pp^{2}=p\cdot (1-p)=pq

Általában ezt könnyű belátni

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}= p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N}

Megjegyzés

Ha a független valószínűségi változóknak Bernoulli-eloszlásuk van a siker valószínűségével , akkor $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $p$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}

binomiális eloszlása van szabadságfokkal . $n$

Lásd még

Játékos tönkretételi probléma#Bernoulli-séma .

Irodalom

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), "Binomiális eloszlás", Matematikai Enciklopédia, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó