Csoportok közvetlen terméke

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A csoportok közvetlen szorzata egy olyan művelet, amely csoportokkal új csoportot épít fel , amelyet általában jelöléssel jelölnek . Ez a művelet a Descartes - féle halmazszorzat csoportelméleti analógja, és a közvetlen szorzat fogalmának egyik fő példája . $G$ $H$ $G\time H$

Az Abeli-csoportok kontextusában a közvetlen szorzatot néha közvetlen összegnek nevezik, és jelöli . A direkt összegek fontos szerepet játszanak az Abel-csoportok osztályozásában: a véges generált Abel-csoportok szerkezetére vonatkozó tétel szerint bármely véges generált Abel-csoport felbontható ciklikus csoportok közvetlen összegére . $G\oplus H$

Definíció

Ha és csoportok műveletekkel és , akkor a közvetlen szorzat a következőképpen definiálható: $G$ $H$ $*$ $\háromszög$ $G\time H$

A készlet a derékszögű termék, . Elemei rendezett párok , ahol és . $G\time H$ $(g,h)$ $g\in G$ $h\in H$
A on bináris művelet komponensenként van meghatározva: $\cdot$ $G\time H$ ${\megjelenítési stílus (g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\háromszög h_{2}) }$

A kapott algebrai objektum kielégíti a csoport axiómáit:

Bináris művelet asszociativitása A on bináris művelet asszociatív , amelyet komponensenként ellenőrzünk.

G\time H

Egyetlen elem létezése A közvetlen terméknek van identitáseleme , ahol az identitáselem és az identitáselem .

1_{G\times H}=(1_{G},1_{H})

1_{G}

G

1_H

H

Inverz elem létezése Az in elem inverze a pár , ahol az in inverze és az in inverze .

(g,h)

G\time H

(g^{-1},h^{-1})

g^{{-1}}

g

G

h^{-1}

h

H

Példák

Legyen valós számok csoportja összeadási művelettel . Ekkor a közvetlen szorzat az összes kétkomponensű vektor csoportja a vektorösszeadás művelettel : $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $(x, y)$ $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ .
Legyen pozitív valós számok csoportja szorzási művelettel. Ekkor a közvetlen szorzat az első koordinátanegyedben lévő összes vektor csoportja a komponensenkénti szorzás műveletével: $\mathbb {R^{+}}$ $\mathbb {R^{+}} \times \mathbb {R^{+}}$ $(x_{1},y_{1})\times (x_{2},y_{2})=(x_{1}\times x_{2},y_{1}\times y_{2} )$ .
Legyen és legyen ciklikus csoportok , amelyek mindegyike két elemet tartalmaz: $G$ $H$

$G$

* egy a

egy egy a

a a egy
$H$

* egy b

egy egy b

b b egy

*	egy	a
egy	egy	a
a	a	egy

*	egy	b
egy	egy	b
b	b	egy

Ekkor a közvetlen szorzat izomorf a Klein-négyes csoporttal : $G\time H$

G\time H

*	(1.1)	(a,1)	(1b)	(a,b)
(1.1)	(1.1)	(a,1)	(1b)	(a,b)
(a,1)	(a,1)	(1.1)	(a,b)	(1b)
(1b)	(1b)	(a,b)	(1.1)	(a,1)
(a,b)	(a,b)	(1b)	(a,1)	(1.1)

Elementary Properties

A véges csoportok közvetlen szorzatának sorrendje megegyezik ezen csoportok sorrendjének szorzatával és : $G\time H$ $G$ $H$ $|G\times H|=|G||H|$ .Ez következik a halmazok derékszögű szorzatának számosságának képletéből .
Az egyes elemek sorrendje a sorrendek legkisebb közös többszöröse és [1] : $(g,h)$ $g$ $h$ $\operátornév {ord} ((g,h))=lcm(\operátornév {ord} (g),\operátornév {ord} (h))$ . Konkrétan, ha a és relatív prímszámúak , akkor a sorrend megegyezik az és a rendelések szorzatával . ${\megjelenítési stílus \operátornév {ord} (g)}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {ord} (h)}$ $(g,h)$ $g$ $h$
Következésképpen, ha és olyan ciklikus csoportok , amelyek sorrendje koprím, akkor a közvetlen szorzat is ciklikus csoport. Nevezetesen, ha és koprím, akkor $G$ $H$ $G\times H$ $m$ $n$ $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z}$ . Ez a tény a kínai maradéktétel egy változata .
A közvetlen termék csoportokon végzett műveletnek tekinthető. Ez a művelet kommutatív és asszociatív az izomorfizmusig : és bármely csoport esetén , és . Egy triviális csoport az identitáseleme az izomorfizmusig, vagyis ha triviális csoport, akkor bármely csoport esetében . $G\times H\cong H\times G$ ${\megjelenítési stílus (G\time H)\times K\cong G\times (H\times K)}$ $G$ $H$ $K$ $E$ $G\cong G\times E\cong E\times G$ $G$

Algebrai szerkezet

Legyen és legyen csoportok, és . Tekintsük a következő két részhalmazt : $G$ $H$ $P=G\times H$ $P$

{\displaystyle G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\))

és .

{\displaystyle H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\))

Mindkét részhalmaz alcsoport , és kanonikusan izomorf és kanonikusan izomorf . Ha azonosítjuk őket rendre , akkor feltételezhetjük, hogy a közvetlen szorzat tartalmazza az eredeti csoportokat és alcsoportokat. $P$ $G^{\prime }$ $G$ $H^{\prime }$ $H$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$

Ezek az alcsoportok a következő három fontos tulajdonsággal rendelkeznek:

A kereszteződés triviális . $G\cap H$
A -ból származó minden elem egyedileg ábrázolható egy -ból származó elem és egy -ból származó elem szorzataként . $P$ $G$ $H$
Minden eleme ingázik minden elemével a -ban . $G$ $H$

Ez a három tulajdonság együtt teljesen meghatározza a közvetlen szorzat algebrai szerkezetét . Más szóval, ha van olyan csoport, amelyik rendelkezik alcsoportokkal , és kielégíti a fenti tulajdonságokat, akkor izomorf az és közvetlen szorzatával . Ebben a helyzetben néha alcsoportjainak belső közvetlen szorzatának nevezik és . $P$ $P$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$

Bizonyos esetekben a fenti tulajdonságok közül a harmadik helyébe a következő lép:

3'. és normálisak a -ban .

G

H

P

Ez a tulajdonság ekvivalens a 3-as tulajdonsággal, mivel két triviális metszéspontú normál részcsoport elemei szükségszerűen ingáznak, amit a kommutátor figyelembevételével bizonyíthatunk , ahol bármely elem a -ban és bármely eleme -ben . $[g,h]$ $g$ $G$ $h$ $H$

Példák a belső közvetlen termékre

Legyen a négy Klein-csoport : $V$ V
∙ egy a b c
egy egy a b c
a a egy c b
b b c egy a
c c b a egy
Ekkor a kételemű részcsoportok belső közvetlen szorzata és . $V$ ${\displaystyle \{1,a\))$ ${\megjelenítési stílus \{1,b\))$
Legyen egy ciklikus rendű csoport , ahol és viszonylag prímszámok. Ezután a és a rendelések ciklikus alcsoportjai , illetve , és ezeknek az alcsoportoknak a belső közvetlen terméke. $\langle a\rangle$ $mn$ $m$ $n$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $m$ $n$ $\langle a\rangle$
Legyen a nullától eltérő komplex számok csoportja a szorzási művelettel . Ekkor a modulusú komplex számokból álló körcsoport és a szorzási művelettel rendelkező pozitív valós számok csoportjának belső közvetlen szorzata. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times ))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times ))$ $\mathbb {T}$ $egy$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+))$
A komplex teljes lineáris csoport a speciális lineáris csoport és az összes skaláris mátrixból álló alcsoport belső közvetlen szorzata . $GL(n,\mathbb {C} )$ $SL(n,\mathbb {C} )$
Ha páratlan szám, akkor a valódi teljes lineáris csoport a speciális lineáris csoport és az összes skaláris mátrixból álló részcsoport belső közvetlen szorzata . $n$ $GL(n,\mathbb {R} )$ $SL(n,\mathbb {R} )$
Hasonlóképpen, ha páratlan, az ortogonális csoport a speciális ortogonális csoport és a kételemű alcsoport belső közvetlen szorzata , ahol az azonosságmátrixot jelöli . $n$ $O(n,\mathbb {R} )$ $SO(n,\mathbb {R} )$ ${\displaystyle \{-I,I\))$ $én$
A kocka szimmetriacsoport a kockaforgatás alcsoport és a kételemes csoport belső közvetlen szorzata , ahol az azonosságelem és a kocka közepén áthaladó pontreflexió. Hasonló tény igaz az ikozaéder szimmetriacsoportjára is . ${\displaystyle \{-I,I\))$ $én$ $-ÉN$
Legyen páratlan, és legyen diéder sorrendű csoport : $n$ ${\displaystyle D_{4n))$ $4n$ $D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$ Ekkor egy részcsoport (amely izomorf -vel ) és egy kételemű részcsoport belső közvetlen szorzata . ${\displaystyle D_{4n))$ $\langle r^{2},s\rangle$ $D_{2n}$ $\{1,r^{n}}\}$

∙	egy	a	b	c
egy	egy	a	b	c
a	a	egy	c	b
b	b	c	egy	a
c	c	b	a	egy

Közvetlen termékbemutatók

Az algebrai szerkezettel a direkt szorzat ábrázolható a prezentációk és a . Konkrétan tegyük fel $G\time H$ $G$ $H$

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

és

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

ahol és a csoport (diszjunkt) generáló halmazai , és a és a generátorok közötti kapcsolatok halmazai. Akkor $S_{G}$ $S_{H}$ $R_{G}$ $R_{H}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

ahol azoknak a relációknak a halmaza, amelyek meghatározzák, hogy a -ban lévő minden elem ingázik a -ban lévő minden elemmel . $R_{P}$ $S_{G}$ $S_{H}$

Például ha

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

és

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

akkor

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Normál szerkezet

Mint fentebb említettük, a és alcsoportok normálak a . Különösen a függvényeket és képleteket lehet meghatározni $G$ $H$ $G\time H$ $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$

\pi _{G}(g,h)=g~

és .

~\pi _{H}(g,h)=h

Ekkor és vetületi homomorfizmusok kernelekkel és ill . $\pi _{G}$ $\pi _{H}$ $H$ $G$

Ebből következik, hogy ez egy kiterjesztése -val (vagy fordítva). Abban az esetben, ha véges csoport , a csoport összetételi tényezői pontosan a csoport összetételi tényezőinek és a csoport összetételi tényezőinek egyesülése . $G\time H$ $G$ $H$ $G\time H$ $G\time H$ $G$ $H$

További tulajdonságok

Általános tulajdonság

A közvetlen termék a következő univerzális tulajdonsággal jellemezhető . Legyen és projekciós homomorfizmusok. Ezután bármely csoportra és bármely homomorfizmusra van egy egyedi homomorfizmus , amely megfelel a következő kommutatív diagramnak : $G\time H$ $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$ $P$ $f_{G}:P\rightarrow G$ $f_{H}:P\rightarrow H$ $f:P\rightarrow G\times H$

Más szóval, a homomorfizmust a képlet adja meg $f$

f(p)=(f_{G}(p),f_{H}(p))

Ez a kategóriaelméleti termékek univerzális tulajdonságának egy speciális esete .

Alcsoportok

Ha alcsoportja és alcsoportja , akkor a közvetlen szorzat a -nek egy alcsoportja . Például az in izomorf másolata a szorzat , ahol a triviális alcsoport . $A$ $G$ $B$ $H$ $A\-szer B$ $G\time H$ $G$ $G\time H$ ${\displaystyle G\times \{1\))$ $\{egy\}$ $H$

Ha és normálisak, akkor a normál alcsoportja . Ezenkívül a közvetlen szorzatok faktorcsoportja izomorf a hányadosok közvetlen szorzatával: $A$ $B$ $A\-szer B$ $G\time H$

{\megjelenítési stílus (G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)}

Megjegyzendő, hogy általában nem igaz, hogy a(z) minden egyes alcsoportja a (z) alcsoport alcsoportjának szorzata . Például, ha egy nem triviális csoport, akkor a terméknek van egy átlós alcsoportja $G\time H$ $G$ $H$ $G$ $G\times G$

{\displaystyle \triangle =\{(g,g):g\in G\))

amely nem két alcsoport közvetlen szorzata . $G$

A közvetlen termékek alcsoportjait a Goursat lemma írja le .

Konjugácia és központosítók

Az and két elem akkor és csak akkor konjugált -ben, ha és -ben konjugált és egyidejűleg , és -ben konjugált . Ez azt jelenti, hogy minden -ben lévő konjugáltsági osztály a -ben lévő konjugált osztály és a -ben lévő konjugáltsági osztály Descartes szorzata . $(g_{1},h_{1})$ $(g_{2},h_{2})$ $G\time H$ $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h_1$ $h_2$ $H$ $G\time H$ $G$ $H$

Hasonlóképpen, ha , akkor a központosító a központosítók és a szorzata : $(g,h)\in G\times H$ $(g,h)$ $g$ $h$

C_{G\times H}(g,h)=C_{G}(g)\times C_{H}(h)

Ezenkívül a középpont a központok és a : $G\time H$ $G$ $H$

Z(G\time H)=Z(G)\times Z(H)

A normalizálók bonyolultabb módon viselkednek, mivel a közvetlen termékek nem minden alcsoportja bomlik le közvetlen termékekre.

Automorfizmusok és endomorfizmusok

Ha egy automorfizmus , és egy automorfizmus , akkor a képlettel meghatározott függvények szorzata $\alpha$ $G$ $\beta$ $H$ $\alpha \times \beta :G\times H\rightarrow G\times H$

(\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))

egy automorfizmus . Ebből következik, hogy a közvetlen szorzattal izomorf alcsoportot tartalmaz . $G\time H$ $\operatorname {Aut} (G\times H)$ $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$

Általában nem igaz, hogy minden automorfizmusnak megvan a fenti formája. Például, ha bármely csoport, akkor létezik a csoport automorfizmusa , amely két tényezőt felcserél, azaz $G\time H$ $G$ $\sigma$ $G\times G$

\sigma (g_{1},g_{2})=(g_{2},g_{1})

Egy másik példa: egy csoport automorfizmuscsoportja az összes olyan mátrix csoportja, amelyek mérete egész számmal és determinánssal egyenlő . Az automorfizmusok ezen csoportja végtelen, de csak véges számú automorfizmust adunk meg . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ $GL(2,\mathbb {Z} )$ $2\times 2$ $\pm 1$ $\alpha \times \beta$

Általában minden endomorfizmus felírható méretmátrixként $G\time H$ $2\times 2$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmátrix))

ahol endomorfizmus , endomorfizmus és és homomorfizmusok. Ennek a mátrixnak rendelkeznie kell azzal a tulajdonsággal, hogy a kép minden eleme ingázik a kép minden elemével , és a kép minden eleme a kép minden elemével ingázik . $\alpha$ $G$ $\delta$ $H$ $\beta :H\rightarrow G$ $\gamma :G\rightarrow H$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$

Amikor és felbonthatatlan csoportok triviális centrumokkal, akkor a közvetlen szorzat automorfizmus csoportja viszonylag egyszerű: , ha és nem izomorf, és , ha , ahol a koszorúterméket jelöli . Ez része a Krull–Schmidt tételnek , általánosabb esetben véges közvetlen szorzatokra érvényes. $G$ $H$ $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$ $G$ $H$ $\operatorname {Aut} (G)~wr~2$ $G\cong H$ $wr$

Általánosítások

Véges közvetlen termékek

Egyszerre több mint két csoport közvetlen szorzatát vehetjük fel. Csoportok véges sorozata esetén a közvetlen szorzat $G_{1},...,G_{n}$

{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n))

a következőképpen van meghatározva:

Az elemek sorok , ahol bármely . ${\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{n))$ $(g_{1},...,g_{n})$ $g_{i}\in G_{i}$ $én$
A on művelet komponensenként van meghatározva: ${\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{n))$ $(g_{1},...,g_{n})(g'_{1},...,g'_{n})=(g_{1}g'_{1}, ...,g_{n}g'_{n})$ .

Számos olyan tulajdonsággal rendelkezik, amelyekkel két csoport közvetlen szorzata rendelkezik, és algebrailag is hasonló módon jellemezhető.

Végtelen közvetlen termékek

Az is lehetséges, hogy végtelen számú csoport közvetlen szorzatát vegyük. Csoportok végtelen sorozata esetén ez pontosan ugyanúgy definiálható, mint egy véges közvetlen szorzat esetében, ahol a végtelen közvetlen szorzat elemei végtelen sorok. $G_{1},G_{2},...$

Általánosabban, egy indexelt csoportcsalád esetében a közvetlen termék meghatározása a következő: $\{G_{i}\}_{i\in I}$ ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i))$

Az elemek a halmazok végtelen derékszögű szorzatának elemei ; azaz egy végtelen Descartes-szorzat elemei olyan függvényekként értelmezhetők, amelyeknek a tulajdonsága bármely . ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i))$ $GI}$ ${\displaystyle f:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}G_{i))$ $f(i)\in G_{i}$ $én$
Két elem szorzatát komponensenként határozzuk meg: $f, g$ $(f\cdot g)(i)=f(i)\cdot g(i)$ .

A véges közvetlen szorzattal ellentétben a végtelen közvetlen szorzatot nem izomorf alcsoportok elemei generálják . Ehelyett ezek az alcsoportok a végtelen közvetlen összeg néven ismert közvetlen szorzat alcsoportot eredményezik , amely minden olyan elemből áll, amely csak véges számú nem azonos összetevőt tartalmaz. ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i))$ $\{G_{i}\}_{i\in I}$

Egyéb munkák

Semidirect termékek

Emlékezzünk vissza, hogy egy és alcsoportokkal rendelkező csoport izomorf egy közvetlen termékkel , és ha megfelel a következő három feltételnek: $P$ $G$ $H$ $G$ $H$

A kereszteződés egy triviális csoport. $G\cap H$
A -ból származó minden elem egyedileg ábrázolható egy -ból származó elem és egy -ból származó elem szorzataként . $P$ $G$ $H$
És , és normálisak a . $G$ $H$ $P$

A és a félig közvetlen szorzatot a harmadik feltétel gyengítésével kapjuk úgy, hogy a két alcsoport közül csak az egyiknek kell normálisnak lennie. A kapott szorzat továbbra is rendezett párokból áll , de egy kicsit bonyolultabb szorzási szabállyal. $G$ $H$ $G$ $H$ $(g,h)$

Lehetőség van a harmadik feltétel teljes ellazítására is anélkül, hogy bármelyik alcsoportnak normálisnak kellene lennie. Ebben az esetben a csoportot a és a csoportok Zappa-Sep szorzatának nevezzük . $P$ $G$ $H$

Ingyenes művek

Az és a csoportok szabad szorzata , általában jelöléssel , hasonló a közvetlen szorzathoz, azzal a különbséggel, hogy az alcsoportok és csoportok nem kötelesek ingázásra. Mégpedig ha $G$ $H$ $G*H$ $G$ $H$ $G*H$

G=\langle ~S_{G}~|~R_{G}~\rangle

és ,

H=\langle ~S_{H}~|~R_{H}~\rangle

akkor a és a bemutatói $G$ $H$

G*H=\langle ~S_{G}\cup S_{H}~|~R_{G}\cup R_{H}~\rangle

A direkt terméktől eltérően az ingyenes termék elemei nem ábrázolhatók rendezett párokban. Ezenkívül bármely két nem triviális csoport szabad szorzata végtelen. Az ingyenes termék, furcsa módon, a csoportok kategóriájának társterméke .

Szubdirekt termékek

Ha és csoportok, akkor a és szubdirekt szorzata bármely olyan alcsoport , amely szürjektív módon leképeződik a projekciós homomorfizmusokba és azok alá. A Goursat lemma szerint minden szubdirekt termék szálas. $G$ $H$ $G$ $H$ $G\time H$ $G$ $H$

Rétegzett termékek

Legyen , és csoportok, és legyen és homomorfizmusok. A szálas termékek a következő alcsoportba tartoznak : $G$ $H$ $K$ $\varphi :G\rightarrow Q$ $\chi :H\rightarrow Q$ $G$ $H$ $K$ $G\time H$

{\displaystyle G\times _{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\))

Ha és epimorfizmusai , akkor ez egy szubdirekt szorzat . $\varphi :G\rightarrow Q$ $\chi :H\rightarrow Q$

Jegyzetek

↑ Joseph Gallian. Modern absztrakt algebra. - 7. kiadás - Cengage Learning, 2010. - 157 p. — ISBN 9780547165097 .

Irodalom

Michael Artin. Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-89871-510-1 .
Izrael Nathan Herstein. Absztrakt algebra. - 3. kiadás - Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., 1996. - ISBN 978-0-13-374562-7 .
Izrael Nathan Herstein. Témák az algebrában. - 2. kiadás - Lexington, Massachusetts: Xerox College Publishing, 1975.
Serge Leng. Algebra. - átdolgozott 3. kiadás. - New York: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 978-0-387-95385-4 .
Serge Leng. egyetemi algebra. - 3. kiadás - Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. - ISBN 978-0-387-22025-3 .
Derek John Scott Robinson. Csoportelméleti tanfolyam. - New York: Springer-Verlag, 1996. - ISBN 978-0-387-94461-6 .