Központosító és normalizáló

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2018. október 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A matematikában a G csoport S részhalmazának központosítója G azon elemeinek halmaza, amelyek S minden elemével ingáznak , S normalizálója pedig G azon elemeinek halmaza, amelyek "egészében" ingáznak S -sel. Az S központosító és normalizáló G alcsoportjai , és rávilágíthatnak G szerkezetére .

A meghatározás a félcsoportokra is vonatkozik .

A gyűrűelméletben a gyűrű egy részhalmazának központosítóját a félcsoportos művelet (szorzás) függvényében határozzuk meg. Az R részhalmaz központosítója R részhalmaza . Ez a cikk a Lie algebra központosítóiról és normalizálóiról is szól .

Az idealizáló egy félcsoportban vagy gyűrűben egy másik konstrukció, amely ugyanabban az értelemben, mint a központosító és a normalizáló.

Definíciók

Csoportok és félcsoportok

Egy G csoport (vagy félcsoport) S részhalmazának központosítója [1]

\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs

mindenkinek

s\in S\}

Néha kétértelműség hiányában a G csoportot teljesen meghatározza a jelölés. Ha S ={ a } egyetlen elemből álló halmaz, akkor C G ({ a }) redukálható C G -re ( a ). A központosító egy másik, kevésbé gyakori jelölése a Z( a ), amely párhuzamot von a csoport középpontjának jelölésével . Itt ügyelni kell arra, hogy ne keverjük össze G , Z( G ) középpontját egy G - beli g elem központosítójával , amelyet Z( g ) jelölünk.

Az S normalizáló a G csoportban (vagy félcsoportban) definíció szerint egyenlő

\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}

A definíciók hasonlóak, de nem azonosak. Ha g S központosítója , és s S - hez tartozik , akkor azonban, ha g normalizáló, néhány S -beli t - re, amely esetleg különbözik s -től . Ugyanez a konvenció a G és a zárójelek elhagyása egyetlen elemből álló halmazoknál a normalizáló esetében is érvényes. A normalizálót nem szabad összetéveszteni a normál zárással . $gs = vmi$ $gs = tg$

Gyűrűk, algebrák, gyűrűk és Lie algebrák

Ha R egy gyűrű vagy egy algebra, és S egy gyűrű egy részhalmaza, akkor S központosítója pontosan megegyezik a csoportok definíciójával, azzal a különbséggel, hogy G helyére R.

Ha egy Lie algebra (vagy egy Lie gyűrű ) Lie szorzattal [ x , y ], akkor az S részhalmaz centralizálóját a következőképpen definiáljuk: [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$

\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0

mindenkinek

s\in S\}

A Lie gyűrűk központosítóinak meghatározása a következő módon kapcsolódik a gyűrűk definíciójához. Ha R asszociatív gyűrű, akkor R -re beállíthatjuk a zárójeles szorzatot [ x , y ] = xy − yx . Természetesen xy = yx akkor és csak akkor, ha [ x , y ] = 0. Ha az R halmazt zárójeles szorzattal L R -ként jelöljük , akkor egyértelmű, hogy az R- beli S gyűrű központosítója egybeesik a Lie központosítójával. gyűrű S az L R -ben .

A Lie algebra (vagy egy Lie gyűrű) S részhalmazának normalizálóját a [2] egyenlőség adja meg. $\mathfrak{L}$

\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S

mindenkinek

s\in S\}

Bár ez a definíció szabványos a "normalizátor" kifejezésre a Lie algebrában, meg kell jegyezni, hogy ez a konstrukció valójában egy S in halmaz idealizálója . Ha S egy additív részcsoportja , akkor a legnagyobb Lie-algyűrű (vagy Lie-algebra), amelyben S egy Lie - ideál . [2] $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$ $\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)$

Tulajdonságok

Félcsoportok

Legyen S ′ központosító, vagyis mindenre . $S'=\{x\in A: sx=xs\$ $s\in S\}.$

S ′ egy alcsoportot alkot .
$S' = S''' = S''''''$ — a kommutátor annak bikommutánsa .

Csoportok [3]

A központosító és a normalizáló S a G alcsoportjai .
Világos, hogy C G (S)⊆ N G (S). Valójában a C G ( S ) mindig az N G ( S ) normál alcsoportja .
C G ( C G (S)) tartalmaz S -t , de C G (S) nem feltétlenül tartalmaz S -t . C G (S) illeszkedik S -hez , ha st = ts bármely s -re és t -re S -ből . Természetesen, ha H a G egy Abel-alcsoportja , akkor C G (H) H -t tartalmaz .
Ha S a G alcsoportja , akkor N G (S) tartalmazza az S -t .
Ha H a G alcsoportja , akkor a legnagyobb alcsoport, amelyben H normális, az N G (H) alcsoportja.
G középpontja pontosan C G (G), G pedig Abel-csoport akkor és csak akkor, ha C G (G)=Z( G ) = G .
Egy elemből álló halmazoknál C G ( a )= N G ( a ).
A szimmetriaelv alapján, ha S és T G két részhalmaza , akkor T ⊆ C G ( S ) akkor és csak akkor, ha S ⊆ C G ( T ).
Egy G csoport H alcsoportja esetén az N G ( H )/ C G ( H ) faktorcsoport izomorf az Aut( H ) alcsoporttal, a H csoport automorfizmus csoportjával . Mivel N G ( G ) = G és C G ( G ) = Z( G ), ebből az is következik, hogy G /Z( G ) izomorf az Inn( G ), az Aut( G ) összes belső automorfizmusból álló alcsoportjával. a G .
Ha definiálunk egy T : G → Inn( G ) csoporthomomorfizmust a T ( x )( g ) = T x ( g ) = xgx −1 beállításával , akkor N G ( S ) és C G ( S ) leírható az Inn( G ) csoport hatásai a G -n: az Inn( G ) S stabilizátora T ( NG ( S )), az S -t rögzítő Inn(G) alcsoport pedig T ( C G ( S ) ) .

Gyűrűk és algebrák [2]

A gyűrűkben és az algebrákban a központosítók rendre algyűrűk és algebrák, a Lie gyűrűk és a Lie algebrák központosítói pedig Lie részgyűrűk, illetve Lie algebrák.
A Lie gyűrűben lévő S normalizáló tartalmazza az S központosítót .
A C R ( C R ( S )) tartalmaz S -t, de nem feltétlenül azonos vele. A kettős központosítás tétele olyan esetekkel foglalkozik, amikor az eredmény egyezés.
Ha S egy A Lie gyűrű additív alcsoportja , akkor N A ( S ) az A legnagyobb Lie-részcsoportja , amelyben S hazugságideál.
Ha S az A Lie gyűrű Lie részgyűrűje , akkor S ⊆ N A ( S ).

Lásd még

Kapcsoló
Alcsoport stabilizátor
Norma (csoportelmélet)
Szorzók és központosítók (Banach szóközök)
Kettős központosítási tétel
Idealizáló

Jegyzetek

↑ Jacobson, 2009 , p. 41.
↑ 1 2 3 4 Jacobson, 1979 .
↑ Isaacs, 2009 .

Linkek

I. Martin Isaacs. Algebra: posztgraduális képzés. — az 1994-es eredeti újranyomtatása. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — xii+516. — (Matematika diploma). - ISBN 978-0-8218-4799-2 .
Nathan Jacobson. Alap algebra. - 2. - Dover, 2009. - T. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
Nathan Jacobson. Hazugság algebrák. az 1962-es eredeti újraközlése. - New York: Dover Publications Inc., 1979. - P. ix + 331. — ISBN 0-486-63832-4 .