Sorszáma

A halmazelméletben a sorszám vagy az ordinális ( latin ordinalis - ordinal) a teljesen rendezett halmaz sorszámtípusa . Általános szabály, hogy a sorszámokat örökletesen tranzitív halmazokkal azonosítják . Az ordinálisok a természetes számok egyik kiterjesztése , amely különbözik az egész számoktól és a kardinálisoktól . Más típusú számokhoz hasonlóan ezek is összeadhatók, szorozhatók és hatványra emelhetők. A végtelen sorszámokat transzfinitnek nevezzük ( lat. transz - for, a +finitio - él, határ). Az ordinálisok kulcsszerepet játszanak a halmazelmélet számos tételének bizonyításában , különösen a kapcsolódó transzfinit indukció elve miatt .

A sorszámokat Georg Cantor vezette be 1883-ban a végtelen sorozatok leírására, valamint a bizonyos rendezett szerkezettel rendelkező halmazok osztályozására. [1] Véletlenül fedezte fel a sorszámokat, miközben egy trigonometrikus sorozatot érintő feladaton dolgozott .

A és halmazok ugyanazzal a sokféleséggel rendelkeznek , ha lehetséges közöttük bijektív megfelelést létrehozni (vagyis olyan függvényt jelezni , amely injektív és szürjektív is : mindegyik megfelel az egyetlennek , és mindegyik az egyetlen képe. / ). $S$ $S'$ $f$ $x$ $S$ $y = f(x)$ $S'$ $y$ $S'$ $x$ $S$

Tételezzük fel, hogy a és halmazok részleges parancsokat és ill. Ezután a részlegesen rendezett halmazokat rendtartó izomorfnak mondjuk , ha létezik olyan bijektív térkép , amely megőrzi az adott sorrendet. Más szóval, akkor és csak akkor, ha . Bármely jól rendezett halmaz sorrendmegőrző izomorf a sorszámok természetes rendezett halmazához képest, amely kisebb, mint valamely határozott sorszám (egyenlő az ordinális típussal ). $S$ $S'$ $<$ $<'$ $(S,<)$ $(S',<')$ $f$ $f(a)<'f(b)$ $a<b$ $(S,<)$ $(S,<)$

A véges sorszámok (és kardinális számok) a természetes sorozatok számai: 0, 1, 2, ..., mivel egy véges halmaz bármely két teljes rendezése izomorf a sorrend megőrzésével . A legkisebb végtelenül nagy sorszámot a kardinális számmal azonosítjuk . A -nál nagyobb transzfinit számok esetén azonban a sorszámok – a kardinális számokhoz képest – lehetővé teszik, hogy a halmazok finomabb osztályozását fejezzük ki a sorrendjükre vonatkozó információk alapján. Míg az összes megszámlálható halmazt egy számmal egyenlő bíboros szám írja le , a megszámlálható sorszámok száma végtelenül nagy, és ráadásul megszámlálhatatlan: $\omega$ $\aleph_0$ $\omega$ $\aleph_0$

\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{ 3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega )),\dots ,\varepsilon _{0},...

Ebben az esetben az összeadás és a szorzás nem rendelkezik kommutatív tulajdonsággal: például egybeesik, de eltér attól ; hasonló , de nem ugyanaz . Az összes megszámlálható sorszám halmaza alkotja a bíborszámnak megfelelő első megszámlálhatatlan sorszámot (a következő szám után ). A jól rendezett kardinális számokat a kezdeti sorszámukkal azonosítjuk , azaz a megfelelő számosság minimális sorszámával . A sorszám hatványa a sorszámok és a kardinális számok osztályai közötti több-egy megfelelést határozza meg. $1+\omega$ $\omega$ $\omega +1$ $2\cdot \omega =\omega$ $\omega \cdot 2$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Általában egy tetszőleges sorszámot a nál szigorúan kisebb sorszámok halmazának sorszámtípusaként határoznak meg . Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy bármely sorszámot önmagánál szigorúan kisebb sorszámok halmazaként ábrázoljunk. Minden sorszám három kategóriába sorolható: nulla, következő sorszám és határérték (ez utóbbit a végességük különbözteti meg ). Egy adott sorszámosztályhoz megadhatjuk annak th elemét, vagyis az osztály elemei indexelhetők (számlálhatók). Egy ilyen osztály zárt és korlátlan lesz, feltéve, hogy az indexelési függvény folyamatos és soha nem áll le. Cantor normálalakja lehetővé teszi, hogy bármely sorszámot egyedileg ábrázoljunk sorszámhatványok véges összegeként . Ez a forma azonban nem használható egy univerzális ordinális jelölési rendszer alapjául a benne található önreferenciális reprezentációk miatt: például . Egyre nagyobb sorszámokat definiálhat, de ahogy nőnek, leírásuk bonyolultabbá válik. Bármely sorszám reprezentálható topológiai térként , ha sorszámú topológiát rendelünk hozzá . Egy ilyen topológia akkor és csak akkor lesz diszkrét , ha a megfelelő sorszám nem haladja meg a megszámlálható kardinális számot, azaz kisebb vagy egyenlő, mint . Egy részhalmaz akkor és csak akkor lesz nyitva a sorrend topológiában, ha kofinit , vagy nem tartalmaz elemet. $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\omega$ $\varepsilon _{0}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}}$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega$

A sorszámok a természetes számok halmazának kiterjesztéseként

A természetes számoknak (amelyek ebben az esetben a 0 -t is tartalmazzák ) két fő felhasználási területük van: egy halmaz méretének leírására és egy elem helyzetének leírására egy adott sorozatban. Véges halmazok esetén ezek a fogalmak egybeesnek; az izomorfizmusig csak egyféleképpen lehet egy véges halmaz elemeit sorozatként rendezni. A végtelen halmazok esetében meg kell különböztetni a méret fogalmát és a hozzá tartozó kardinális számokat a pozíció fogalmától, amelynek általánosítását a jelen cikkben ismertetett sorszámok jelentik. Ez azzal magyarázható, hogy egy végtelen halmaz, amelynek egyedi mérete ( számosság ) van, több nem izomorf módon is jól rendezhető .

Míg egy halmazhoz társított bíborszám fogalma nem igényel semmilyen struktúrát, a sorszámok szorosan kapcsolódnak egy speciális halmazhoz, amelyet jól rendezettnek neveznek (valójában ezek a fogalmak annyira közel állnak egymáshoz, hogy egyes matematikusok nem különbséget tenni közöttük). különbségek). A kifejezés lineárisan rendezett halmazra vonatkozik (vagyis olyan halmazra, amely valamilyen egységes módon választja ki egy tetszőleges elempár legkisebb és legnagyobb értékét), amelyben nincsenek végtelenül csökkenő sorozatok (bár lehetnek végtelenül növekvő sorozatok), vagy egy ekvivalens megfogalmazásban olyan halmaz, amelyben bármely nem üres részhalmaz tartalmazza a legkisebb elemet. A sorszámok egyaránt használhatók bármely adott jól rendezett halmaz elemeinek jelölésére (a legkisebb elem 0, a következő 1, a következő 2, "és így tovább"), és a " mérete" a teljes halmaz legkisebb sorszámának megadásával, amely nem a halmaz egyetlen elemének sem a címkéje. Ezt a "méretet" a halmaz ordinális típusának nevezzük .

Bármely sorszámot megelőző sorszámok halmaza határoz meg: valójában a sorszám legáltalánosabb definíciója azt megelőző sorszámok halmazával azonosítja . Így a 42 sorszámú sorszám az előző sorszámok halmazának sorszámtípusa, vagyis a 0-tól (a legkisebb sorszám) 41-ig (a 42 közvetlen elődjéig) terjedő sorszámok, és általában a halmazzal azonosítják . Ennek a fordítottja is igaz: a sorszámok minden lefelé zárt halmaza – vagyis olyan, hogy bármely ordinális és bármely rendszám esetében az ordinális is elem – maga is sorszám (vagy azzal azonosítható). ${\displaystyle \{0,\,1,\,2,\ldots ,\,41\))$ $S$ $\alpha \in S$ $\beta <\alpha$ $\beta$ $S$

Eddig csak a véges sorszámokat említettük, amelyek megegyeznek a természetes számokkal. Rajtuk kívül vannak még végtelen sorszámúak is: a legkisebb közülük a természetes számok sorszámú típusa (véges sorszámok) , amely akár magával a természetes számok halmazával is azonosítható (sőt: a természetes számok halmaza lefelé zárt). és, mint minden sorszámhalmaz, teljesen rendezett, - ezért azonosítható a megfelelő sorszámmal, amely pontosan megfelel a definíciójának ). $\omega$ $\omega$

Talán intuitívabb elképzelést kaphatunk a sorszámokról, ha figyelembe vesszük néhány első képviselőjüket: amint fentebb említettük, a sorszámok halmaza természetes számokkal kezdődik. A természetes számok után van az első végtelen sorszám , amelyet a következő követ . , , és így tovább. (Az összeadás pontos jelentését később definiáljuk, ezért tekintsük ezt a jelölést egyszerű jelölésnek) Miután minden ilyen szám (azaz ), , , és így tovább, akkor , és utána - . Továbbá a sorszámok halmazának, amely , ahol és természetes számokként írható fel , szintén rendelkeznie kell egy megfelelő sorszámmal: ez a szám lesz . Ezt követi a , ,…, , majd - jóval később - ( "epszilon-nulla" ) (a felsorolt példák viszonylag kis számsorszámokról adnak képet). Ez a folyamat a végtelenségig folytatható. A legkisebb megszámlálhatatlan sorszám az összes megszámlálható sorszám halmaza, és jelölése . $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots$ $\omega$ $\omega +1$ $\omega +2$ $\omega +3$ $\omega \cdot 2$ $\omega +\omega$ $\omega \cdot 2 + 1$ $\omega \cdot 2+2$ $\omega \cdot 3$ $\omega \cdot 4$ $\omega \cdot m+n$ $m$ $n$ $\omega ^{2}$ $\omega ^{3}$ $\omega ^{4}$ $\omega^\omega$ $\omega ^{{\omega ^{2}}}$ $\varepszilon_{0}$ $\omega_{1}$

Definíciók

A kisbetűs görög betűket általában a sorszámok jelölésére használják . Ez a cikk ehhez a jelöléshez kapcsolódik. $\alpha ,\beta ,\dots$

Jól rendezett készletek

Egy jól rendezett halmaz minden nem üres részhalmaza tartalmazza a legkisebb elemet. A függő választás axiómájától függően ez egyenértékű azzal, mintha azt mondanánk, hogy a halmaz lineárisan rendezett , és nem tartalmaz végtelenül csökkenő szekvenciákat – ez utóbbi megfogalmazás valószínűleg könnyebben megjeleníthető. A gyakorlatban a jól rendezettség fogalmának fontosságát a transzfinit indukció alkalmazásának lehetősége magyarázza , melynek fő gondolata az, hogy minden olyan tulajdonságnak, amely egy elem elődjeiből önmagába megy át, minden elemre ki kell elégítenie. adott jól rendezett készletben). Ha a számítási állapotok (egy számítógépes program vagy játék) teljesen rendezhetők úgy, hogy minden következő lépés "kevesebb" legyen, mint az előző, akkor a számítási folyamat garantáltan befejeződik.

Továbbá nem kívánunk különbséget tenni két jól rendezett halmaz között, ha csak "elemeik címkézésében" különböznek egymástól, vagy formálisabban, ha az első halmaz elemei a második elemeihez köthetők. úgy, hogy egy halmaz tetszőleges elempárjában az első akkor és csak akkor kisebb, mint a második, ha ugyanaz a reláció áll fenn a második halmaz megfelelő partnerei között. Az ilyen egy-egy megfeleltetést rend-megőrző izomorfizmusnak nevezzük , két jól rendezett halmazt pedig rend-megőrző izomorfnak vagy hasonlónak (az ilyen hasonlóság nyilvánvalóan ekvivalenciareláció ). Ha két jól rendezett halmaz izomorf a sorrend megőrzésével, akkor a megfelelő izomorfizmus egyedi: ez a körülmény lehetővé teszi, hogy az említett halmazokat gyakorlatilag azonosnak érzékeljük, és alapul szolgál az izomorfizmustípusok (osztályok) „kanonikus” reprezentációjának kereséséhez. ). A sorszámok nemcsak egy ilyen ábrázolás szerepét töltik be, hanem bármely jól rendezett halmaz elemeinek kanonikus címkézését is biztosítják.

Más szóval, be akarjuk vezetni az ordinális fogalmát, mint a jól rendezett halmazok izomorfizmusainak osztályát, azaz a "rendmegőrző izomorfizmus" reláción alapuló ekvivalenciaosztályt . Ezzel a megközelítéssel azonban van egy technikai nehézség: az így definiált ekvivalenciaosztály túl nagynak bizonyul ahhoz, hogy beleférjen a halmaz definíciójába a halmazelmélet standard Zermelo-Fraenkel formalizálása értelmében . Ez a bonyolultság azonban nem okoz komoly problémákat. Ordinálisnak nevezzük az ilyen osztályban lévő tetszőleges halmaz ordinális típusát .

Sorszámok meghatározása ekvivalencia osztályokként

A sorszám eredeti definíciójában, amely például a Principia Mathematicában található, néhány kútsorrend sorszámú típusa alatt az összes hozzá hasonló kútsorrend halmazát értjük (izomorf a sorrend megőrzésével). ): más szóval a sorszám valóban egy ekvivalenciaosztály jól rendezett halmaza. A ZFC elméletben és a kapcsolódó halmazelméleti axiomatikus rendszerekben ez a meghatározás elfogadhatatlan, mivel a megfelelő ekvivalenciaosztályok túl nagyok ahhoz, hogy halmazoknak tekintsék. Ez a meghatározás azonban használható a típuselméletben és a Quine-féle axiomatikus halmazelméletben ( New Foundations ), valamint más hasonló rendszerekben (amelyekben lehetővé teszi, hogy egy alternatív és meglehetősen váratlan módot fogalmazzunk meg a Burali-Forti paradoxon feloldására sorszáma).

Sorszámok meghatározása von Neumann szerint

Ahelyett, hogy egy sorszámot jól rendezett halmazok ekvivalenciaosztályaként határoznánk meg, egy konkrét halmazzal azonosítjuk, amely ennek az osztálynak a kanonikus reprezentációjaként szolgál. Így egy sorszám valami jól rendezett halmaz lesz, és bármely jól rendezett halmaz pontosan egy sorszámhoz hasonlít.

A Neumann által javasolt standard definíció a következő: bármely sorszám egy jól rendezett halmaz, amely minden nála kisebb sorszámból áll . Szimbolikus jelöléssel: . [2] [3] Formálisabb értelemben $\lambda =[0,\lambda )$

Egy halmaz akkor és csak akkor ordinális, ha egy reláció szigorúan jól rendezett, és S minden eleme egyben annak részhalmaza.

S

\ban ben

Vegye figyelembe, hogy e meghatározás szerint a természetes számok sorszámok. Tehát a 2 a 4 = {0, 1, 2, 3}-hoz tartozik, ugyanakkor egyenlő a {0, 1} értékkel, vagyis a {0, 1, 2, 3} részhalmaza.

Transzfinit indukcióval kimutatható, hogy bármely jól rendezett halmaz olyan, mint pontosan egy ordinális – más szóval rend-megőrző bijektív megfeleltetés hozható létre közöttük.

Sőt, bármely sorszám elemei maguk is sorszámok. Ha és tetszőleges sorszámúak, akkor akkor és csak akkor tartozik hozzá, ha a megfelelő részhalmaza . Továbbá bármely sorszámra és az egyik relációra teljesül: vagy , vagy , vagy . Így a sorszámok bármely halmazának lineáris a sorrendje , és ráadásul jól is van rendezve. Ez az eredmény a jól rendezett természetes számok általánosítása. $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S$ $T$ $S\in T$ $T\in S$ $S=T$

Ez azt jelenti, hogy egy tetszőleges sorszám elemei pontosan egybeesnek a nál szigorúan kisebb sorszámmal . Például minden sorszámhalmaznak van egy szuprémumja , amely egyenlő az adott halmazban található összes sorszám uniójával. Az egyesülési axióma értelmében ilyen sorszám mindig létezik, függetlenül az eredeti halmaz méretétől. $S$ $S$

Az összes sorszám osztálya nem halmaz. Ellenkező esetben be lehetne bizonyítani, hogy egy ilyen halmaz maga is sorszám, tehát saját eleme, ami ellentmond a szigorú -sorrendnek. Ezt az állítást Burali-Forti paradoxonnak nevezik . A sorszámok osztályát többféleképpen jelöljük: "Ord", "ON" vagy "∞". $\ban ben$

Egy sorszám akkor és csak akkor véges , ha nemcsak a természetes, hanem az ellenkező sorrendben is teljesen rendezett - ez a feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha minden részhalmaza tartalmazza a legnagyobb elemet.

Egyéb meghatározások

A modern matematikában más megközelítések is léteznek a sorszámok meghatározására. Tehát a szabályosság axiómája szerint az x halmazra vonatkozó következő állítások egyenértékűek:

x egy sorszám,
x egy tranzitív halmaz trichotómia relációval $\ban ben$
x egy tranzitív halmaz , amelyet a reláció lineárisan rendez . Egy halmazhoz definiálunk egy kéthelyes relációt , amely olyan párokból áll , hogy vagy . Egy halmazt tranzitívnek nevezünk, ha abból következik . Egy halmazt sorszámúnak nevezünk, ha tranzitív és jól rendezett halmaz. [négy] $\subseteq$ $x$ $\epsilon(X)$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle \in X^{2))$ $a\in b$ $a=b$ $x$ $b\X-ben$ $b\subseteq X$ $\alpha$ $\langle \alpha ,\epsilon (\alpha )\rangle$
x egy tranzitív halmaz, melynek elemei egyben tranzitív halmazok is.

A felsorolt definíciók nem alkalmazhatók az alapozási axióma nélküli halmazelméletekben . Az urelemekkel rendelkező elméletekben a definíciókat pontosítani kell, mivel az urelemek egy sorszám elemei közül valók.

Transfinite sorozat

Ha egy határérték sorszám , és valamilyen halmaz, akkor egy -indexelt elemsorozat egy -tól -ig függvény . Ily módon bevezetve a transzfinit sorozat vagy egy sorszámmal indexelt sorozat definíciója a sorozat fogalmának általánosítása . A szokásos sorrend az esetnek felel meg . $\alpha$ $x$ $\alpha$ $x$ $\alpha$ $x$ $\alpha=\omega$

Tulajdonságok

Ha egy sorszám, akkor minden elem egy sorszám. $\alpha$ $\alpha$
Bármelyik esetén pontosan az alábbi összefüggések egyike érvényesül: $\alpha ,\beta$ $\alpha \in \beta ,\alpha =\beta ,\beta \in \alpha .$
A sorszámok bármely halmazát jól rendezi a reláció (különösen minden halmaznak tekintett sorszámot jól rendezi a reláció ), és a halmaz legkisebb eleme , egy sorszám, amely nagyobb vagy egyenlő, mint bármelyik a készlet elemei . A és a sorszámok kifejezései egyenértékűek. Az alábbiakban feltételezzük, hogy a sorszámokat a reláció segítségével hasonlítjuk össze $\ban ben$ $\ban ben$ $\bigcap x$ $x$ $\bigcup x$ $x$ $\alpha <\beta$ $\alpha \beta$ $\ban ben .$
Minden jól rendezett halmazhoz létezik egy egyedi ordinális izomorf (különösen minden sorszámhalmazhoz van egy egyedi sorszámizomorf). $x$ $x$
Bármelyik egybeesik a -nál kisebb sorszámok halmazával . $\alpha$ $\alpha$
Bármely sorszám kezdő szegmense egy sorszám.
Az üres halmaz a legkisebb sorszám (ami azt jelenti, hogy bármely más sorszám eleme). $\varnothing$
$\alpha$ korlátlannak nevezzük, ha egyenlő a -val , vagy közvetlenül előtte van egy , vagyis ha létezik, de más sorszám nem illeszthető közéjük. Ez utóbbi esetben azt mondják , hogy egy sorszám , amely a következőt követi , és írd: sorszámok összegére). $\varnothing$ $\beta ;$ $\beta<\alpha ,$ $\beta <\gamma <\alpha .$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha =\beta {\pont +}1$ $\alpha=\beta+1,$
Azokat a sorszámokat, amelyek nem korlátozó jellegűek, határértékes sorszámoknak nevezzük (néha limitált sorszámoknak is nevezik). $\varnothing$
$\alpha {\pont +}1=\alpha \cup \{\alpha \}.$
Az összes véges sorszám halmaza izomorf a nem negatív egész számok halmazával , és ugyanazt a jelölést használják rájuk, mint az egész számokra. Ebben az esetben a sorszámok összeadási, szorzási és hatványozási műveletei átkerülnek az egész számokra vonatkozó megfelelő műveletekbe. Néhány első sorszám:

{\begin{aligned}&0=\varnothing ;\\&1=\{0\}=0\cup \{0\}=\{\varnothing \};\\&2=\{0,1\}=1 \cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\};\\&3=\{0,1,2\}=2\cup \{2\}=\{\varnothing , \{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\};\\&\dots \end{aligned))

Az összes véges sorszám halmazát jelöljük . Ez a legkisebb határérték és a legkisebb végtelen (nevezetesen megszámlálható ) sorszám. A következő sorozatszám az $\omega .$ $\omega {\pont +}1=\omega \cup \{\omega \}.$
A véges feltétel felírható vagy, ami ugyanaz, $\alpha$ $\alpha <\omega$ $\alpha \in \omega .$
A sorszámoknak végtelen halmaza van , de nincs minden sorszámból álló halmaz . Más szavakkal, az összes sorszámú számok összessége egy megfelelő osztály .
A sorszámok mindegyik halmaza felülről korlátos, és rendelkezik a legkisebb felső korláttal , amelyet a következővel jelölünk $A$ $\sup A.$ $A\subseteq \sup A.$
Ha a korlátozó sorszám vagy , akkor egyébként $\alpha$ $\varnothing$ $\up \alpha =\alpha ,$ $\up \alpha <\alpha .$
A megszámlálható sorszámok megszámlálható halmazának legkisebb felső korlátja megszámlálható [5] .
Minden α sorszámnak egyedi ábrázolása van Cantor normál alakban , ahol , , és sorszámok. Az űrlap lehetővé teszi, hogy megtalálja a következőkhöz hasonló bővítményeket: $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_ {k}$ $k\in {\mathbb {N}}$ $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {N}$ $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ $\omega ^{\left(\omega ^{\left(\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42\right)}\cdot 1729+\omega ^{9}+88\jobbra) }\cdot 3+\omega ^{\left(\omega ^{\omega }\right)}\cdot 5+65537$

Ordinális aritmetika

Műveletdefiníciók

A sorszámok összegét rekurzív módon a következőképpen definiáljuk:

{\begin{aligned}&\alpha +0=\alpha \\&\alpha +(\beta {\dot {+}}1)=(\alpha +\beta ){\pont {+}} 1\\&\alpha +\gamma =\sup\{\alpha +\beta \mid \beta <\gamma \},\end{igazított))

ahol a harmadik szabály érvényes, mikor a korlátozó sorszám .

\gamma

Ugyanezt a jelölést használva definiáljuk a szorzás műveletét:

{\begin{aligned}&\alpha \cdot 0=0\\&\alpha \cdot (\beta {\pont +}1)=\alpha \cdot \beta +\alpha \\&\alpha \cdot \gamma =\sup\{\alpha \cdot \beta \mid \beta <\gamma \}.\end{aligned}}

Ugyanezt a jelölést használva definiáljuk a hatványozási műveletet:

{\begin{aligned}&\alpha ^{0}=1\\&\alpha ^{{\beta {\pont +}1}}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha \\&\alpha ^{\gamma }=\sup\{\alpha ^{\beta }\mid \beta <\gamma \}.\end{igazított))

Működési tulajdonságok

Az ordinális összeadás nem kommutatív; különösen, $1+\omega =\omega \neq \omega +1.$
A sorszámok összeadása asszociatív: ez lehetővé teszi több tag összegének zárójelek nélküli felírását. $\alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma ,$
Az összeg a jobb tag növekedésével növekszik, és nem csökken a bal tag növekedésével: ebből következik és ${\displaystyle \beta _{1}>\beta _{2))$ ${\displaystyle \alpha +\beta _{1}>\alpha +\beta _{2))$ $\beta _{1}+\alpha \geqslant \beta _{2}+\alpha .$
Ha akkor van egyedi sorszám , amelyre $\alpha \geqslant \beta ,$ $\gamma$ $\beta +\gamma =\alpha .$
A sorszámok szorzása nem kommutatív; különösen, $2\cdot \omega =\omega \neq \omega \cdot 2.$
A sorszámok szorzása asszociatív: ez lehetővé teszi több tényező szorzatának zárójelek nélküli felírását. $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma )=(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma,$
Az összeadás és a szorzás balra disztributív: $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=\alpha \cdot \beta +\alpha \cdot \gamma .$
$\alpha +0=0+\alpha =\alpha .$
$\alpha +1=\alpha {\pont +}1.$
$\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha +\omega =\omega .$
$\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0.$
$\alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha .$
$\alpha \in \omega \land \alpha \neq 0\leftrightarrow \alpha \cdot \omega =\omega .$
$\alpha +\beta =0\leftrightarrow \alpha =0\land \beta =0.$
$\alpha \cdot \beta =0\leftrightarrow \alpha =0\vagy \beta =0.$
$\alpha ^{0}=1.$
$\alpha ^{1}=\alpha .$
$\alpha \neq 0\leftrightarrow 0^{\alpha }=0.$
$1^{\alpha }=1.$
$\alpha \in \omega \land \alpha >1\leftrightarrow \alpha ^{\omega }=\omega .$
$\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^({\beta +\gamma }}).$
$(\alpha ^{\beta })^{\gamma }=\alpha ^({\beta \cdot \gamma }}).$
$\alpha >1\land \beta >\gamma \leftrightarrow \alpha ^{\beta }>\alpha ^{\gamma }.$
$\beta \in \omega \to \alpha +\beta =\alpha \underbrace {{\pont +}1{\pont +}1{\pont +}\pontok {\pont +}1}_{\beta } .$
$\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta =0\underbrace {+\alpha +\alpha +\dots +\alpha }_{\beta }.$
$\beta \in \omega \to \alpha ^{\beta }=1\underbrace {\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha }_{\beta }.$
Véges argumentumok esetén az összeadás, szorzás és hatványozás az egész számok megfelelő műveleteibe kerül (végeredményekkel).
Megszámlálható argumentumok esetén az összeadás, szorzás és hatványozás eredménye is megszámlálható.

Lásd még

tőszám

Jegyzetek

↑ Részletesebb leírást Levy (1979) és Yeh (2003) adott.
↑ Neumann, 1923
↑ Levy (1979, 52. o.) szerint ez az ötlet Zermelo egy kiadatlan munkájára (1916), valamint Neumann több, az 1920-as években írt tanulmányára nyúlik vissza.
↑ Ershov, 1987 , p. 84.
↑ N. K. Verescsagin, A. Shen. A halmazelmélet kezdetei . - 3. - M . : MTSNMO, 2008. - P. 96. Archív másolat 2019. október 20-án a Wayback Machine -nél

Irodalom

Ershov Yu.L. , Palyutin E.A. Matematikai logika. — M .: Nauka, 1987. — 336 p.
Cantor, Georg (1883), Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. , Mathematische Annalen vol. 21 (4): 545–591, doi : 10.1007 / bf01446819 , . Külön kiadva: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre .
Cantor, Georg (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II , Mathematische Annalen vol. 49 (2): 207–246 , ,BF01444205/10.1007:doi .
Conway, John H. & Guy, Richard (2012), Cantor's Ordinal Numbers , The Book of Numbers , Springer, p. 266–7, 274, ISBN 978-1-4612-4072-3
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite , Harvard University Press , ISBN 0-674-34871-0
Ewald, William B., szerk. (1996), Immanuel Kanttól David Hilbertig : A Source Book in the Funds of Mathematics, 2. kötet , Oxford University Press , ISBN 0-19-850536-1
Ferreirós, José (1995), „Mi erjedt bennem éveken át”: Cantor felfedezése a transzfinit számokról , Historia Mathematica 22. kötet: 33–42, doi : 10.1006/hmat.1995.1003 , < http://www.sciencedirect.com /science/article/pii/S0315086085710038 > Archiválva : 2019. április 11. a Wayback Machine -nél
Ferreirós, José (2007), A Gondolat labirintusa: A halmazelmélet története és szerepe a matematikai gondolkodásban (2. felülvizsgált kiadás), Birkhäuser , ISBN 3-7643-8349-6
Hallett, Michael (1986), Kantori halmazelmélet és méretkorlátozás , Oxford University Press, ISBN 0-19-853283-0
Hamilton, A.G. (1982), 6. Sorrendi és kardinális számok, számok, halmazok és axiómák: a matematikai apparátus , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5
Kanamori, A. , Halmazelmélet Cantortól Cohenig, Irvine, Andrew & Woods, John H., The Handbook of the Philosophy of Science , vol. 4 Mathematics, Cambridge University Press Archivált : 2012. április 4., a Wayback Machine – Megjelenik.
Levy, A. (2002), Basic Set Theory , Springer-Verlag , ISBN 0-486-42079-5
Jech, Thomas (2013), Halmazelmélet (2. kiadás), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7 , < https://books.google.com/books?id=GHjmCAAAQBAJ >
Sierpiński, W. (1965), Cardinal and Ordinal Numbers (2. kiadás), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe Az ordinális műveleteket is a Cantor Normal Form szempontjából határozza meg.
Suppes, P. (1960), Axiomatic Set Theory , D. Van Nostrand, ISBN 0-486-61630-4
Tait, William W. (1997), Frege versus Cantor és Dedekind: On the Concept of Number , William W. Tait, Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein , Open Court, p. 213–248, ISBN 0-8126-9344-2 Archiválva : 2018. október 24. a Wayback Machine -nél
von Neumann, Johann (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum vol. 1: 199–208 , < http://huacto.fyx.how/Cactafyx . .action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style= > Archiválva : 2014. december 18. a Wayback Machine -nél
von Neumann, John (2002. január), A transzfinit számok bevezetéséről , Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (3. kiadás), Harvard University Press, p. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 , < http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674324497 > Archiválva 2017. augusztus 20-án a Wayback Machine -nél - Neumann 1923 angol fordítása ,

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion