Riemann integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Riemann-integrál a határozott integrál legszélesebb körben használt formája . Nagyon gyakran a „határozott integrál” kifejezés a Riemann-integrálra utal, és a matematikai elemzés minden kurzusában a legelső határozott integrálként tanulmányozzák. [1] Bernhard Riemann vezette be 1854- ben , és ez az integrál fogalmának egyik első formalizálása . [2]

Informális leírás

A Riemann-integrál a gráf alatti terület fogalmának formalizálása. Bontsuk fel véges számú részre azt a szegmenst, amely felett a területet keressük. Mindegyik részszegmensen kijelölünk a grafikon egy bizonyos pontját, és megszerkesztünk egy függőleges téglalapot, amely az alszegmens az alapja a grafikon pontjának. Tekintsünk egy ilyen téglalapokból kapott ábrát. Egy ilyen, meghatározott hosszúságú szegmensekre osztott ábra S területét a következő összeg adja: $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \sigma =\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i))

Intuitív módon világos, hogy ha csökkentjük ezeknek az alszegmenseknek a hosszát, akkor egy ilyen alakzat területe egyre jobban megközelíti a grafikon alatti területet. Ez a megjegyzés vezet a Riemann-integrál meghatározásához. [3]

Definíció

Klasszikus definíció

Legyen egy valós értékű függvény definiálva az intervallumon . számolni fogunk . $[a,b]$ $f$ $a<b$

Egy integrál definiálásához először is meg kell határozni a szegmens felosztásának fogalmát és a hozzá kapcsolódó egyéb definíciókat.

Egy szakasz (jelöletlen) partíciója a szegmens véges ponthalmaza , amely tartalmazza a és a pontokat . A definícióból látható, hogy egy partíció mindig legalább két pontot tartalmaz. Az osztási pontok növekvő sorrendbe rendezhetők: . Egy szegmens összes partíciójának halmazát jelöli . $[a,b]$ $[a,b]$ $a$ $b$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\pontok <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ $[a;b]$ $T[a;b]$

Azokat az osztási pontokat, amelyek között nincs más osztási pont, szomszédosnak nevezzük . Az olyan szakaszt, amelynek végei szomszédos felosztási pontok vannak, részleges felosztásnak nevezzük . Az ilyen szegmenseket jelöljük . A partíció egy részleges szegmensének hosszát jelöli . A szegmensek közül a legnagyobb hosszát válaszfalátmérőnek nevezzük . Partícionálás esetén az átmérője a következővel lesz jelölve . $\Delta _{i}=[x_{i-1};x_{i}]$ $\Delta _{i}$ $\Delta x_{i}$ $\tau$ $d(\tau )$

A partíciójelölés egy véges rendezett halmaz , amely . A partíció összes jelölésének halmaza a következővel lesz jelölve . $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ ${\displaystyle \xi _{i}\in \Delta _{i))$ $\tau$ $\Xi (\tau )$

A címkézett partíció egy rendezett pár , ahol van egy címkézetlen partíció és egy címkézés . A szegmens összes megjelölt partíciójának halmaza a következővel lesz jelölve . $(\tau ,\xi )$ $\tau$ $\xi$ $\tau$ $[a;b]$ $T'[a;b]$

Mindezen meghatározások után továbbléphetünk a Riemann-integrál közvetlen definíciójához.

Adjunk meg valamilyen címkézett partíciót . Egy címkézett partíción lévő függvény Riemann-integrális összegét nevezzük . A Riemann-integrál lesz a határa ezeknek az összegeknek, mivel a partíció átmérője nullára hajlik. Van azonban itt egy finomság: ez a határértéke annak a függvénynek, amelyben a partíciók argumentumként vannak megjelölve, nem számok, és a szokásos határérték egy ponthoz közeledve itt nem érvényes. Formális leírást kell adni arról, hogy mit értünk a "nullára hajló válaszfalátmérő határértéke" kifejezés alatt. $(\tau ,\xi )$ $f$ $(\tau ,\xi )$ ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i))$

Legyen egy függvény, amely valamilyen számot rendel a címkézett partícióhoz. Azt a számot nevezzük a függvény határértékének, amikor a partíció átmérője nullára hajlik, ha $g:T'[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ,\xi )\in T'[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau ,\xi )-c|<\varepszilon

Kijelölés: $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau ,\xi )$

Az ilyen korlát az alaphatár speciális esete . Valójában az összes címkézett partíció halmazát jelöljük, amelyek átmérője kisebb, mint . Ekkor a halmaz egy bázis a halmazon , és a fent meghatározott limit nem más, mint a bázis feletti limit. Így az ilyen határértékeknél az alaphatárokban rejlő összes tulajdonság teljesül. $\delta$ ${\displaystyle D'_{\delta ))$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{D'_{\delta }|\delta >0\))$ $T'[a;b]$

Végül definiálhatjuk a Riemann-integrált. Egy függvény Riemann-integrálja a -tól ig terjedő tartományban $f$ $a$ $b$ egy függvény Riemann integrál összegének határa egy nullára hajló partícióátmérőjű szegmens feliratozott partícióin . Az integrál jelölést használva ez a következőképpen írható: $f$ $[a;b]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Az esetre a Riemann integrál is definiálva van . Mert úgy van meghatározva $a\geq b$ $a>b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx

Hogy hogyan $a=b$

\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0

[négy]

Darboux integrálokon keresztül

A Riemann-integrál alternatív módon definiálható Darboux integrálok segítségével. Általában egy ilyen definíciót tulajdonságként bizonyítanak, és az egyenértékűségükről szóló tételt Darboux tételének nevezik . Egy ilyen definíció előnye, hogy lehetővé teszi számunkra, hogy eltekintsünk a címkézett partíció fogalmától, a partíciókorláttól, és világosabb képet ad az integrálhatóság fogalmáról.

Egy címkézetlen partíciónál jelöljük a függvény legkisebb infimumát a szegmensen , és jelöljük a legnagyobb felsőbbséget. $\tau$ $m_i$ $f$ $\Delta _{i}$ $M_{i}$

Az alsó Darboux összeget . ${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))$

Darboux felső összegét nevezzük . [5] $S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$

Az alsó Darboux integrált . $I_{*}=\sup _{\tau \in T[a;b]}s(f,\tau )$

A felső Darboux integrált . [6] $I^{*}=\inf _{\tau \in T[a;b]}S(f,\tau )$

Darboux integrálok léteznek minden olyan függvényhez, amely az integrációs intervallumra korlátozódik. Ha a Darboux integrálok egybeesnek és végesek, akkor a függvényt Riemann integrálhatónak nevezzük az intervallumon , magát ezt a számot pedig Riemann integrálnak. [7] $f$ $[a;b]$

A Darboux integrál a címkézetlen partíciók határértékeként is meghatározható, ahol a partíció átmérője nulla. A címkézetlen partíciók korlátja hasonlóan van meghatározva, mint a címkézett partíciók korlátja, de ezt a fogalmat is formalizáljuk. Legyen egy függvény, amely számot rendel egy címkézetlen partícióhoz. Azt a számot nevezzük a függvény határértékének, amikor a partíció átmérője nullára hajlik, ha $g:T[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau \in T[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau )-c|<\ varepszilon

Megnevezés: [8] $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau )$

Az ilyen limit az alaplimit speciális esete is. Az alap itt a készlet lesz , ahol . [9] Akkor: ${\mathfrak {B}}=\{D_{\delta }|\delta >0\}$ ${\displaystyle D_{\delta }=\{\tau \in T[a;b]|d(\tau )<\delta \))$

Az alsó Darboux integrált . $I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$

A felső Darboux integrált . [tíz] $I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$

Integrálható funkciók

Azt a függvényt, amelyre a Riemann-integrál a tól -ig terjedő határokon belül létezik (ha a határ egyenlő a végtelennel, akkor az integrál nem létezik) , az [a;b] szakaszon Riemann integrálhatónak nevezzük . [11] Az intervallumon integrálható függvények halmazát az intervallumon integrálható függvények halmazának nevezzük , és jelöljük . $a$ $b$ $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $[a;b]$ $[a;b]$ $R[a;b]$

Az integrálhatóság fő és legkényelmesebb feltétele a Lebesgue-kritérium: az intervallumon integrálható függvények halmaza pontosan azon függvények halmaza, amelyek ezen az intervallumon szinte mindenhol korlátosak és folytonosak . Ez a kritérium lehetővé teszi, hogy szinte azonnal megszerezzük az integrálhatósághoz szükséges legtöbb feltételt. Ennek az állításnak a bizonyítása azonban meglehetősen bonyolult, ezért a módszeres bemutatásból gyakran kimarad, és a további bizonyítások a Riemann-kritériumon alapulnak. A Riemann-integrál létezésének bizonyítása a Riemann-kritérium alapján nehezebb, mint a Lebesgue-kritérium alapján.

Integrálhatósági feltételek

Cauchy-kritérium . Egy függvény Riemann integrálható egy szegmensre, ha $[a,b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\in T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepszilon

[12] Ez a kritérium nem más, mint a Cauchy-féle konvergencia-kritérium rögzítése a Riemann-integrál esetének alapjában.

Darboux-kritérium. A függvény akkor és csak akkor Riemann integrálható az intervallumon , ha a felső Darboux integrál egybeesik az alsóval, és véges. [13] $[a,b]$

A Riemann-integrál egy alternatív definíciója ezen a kritériumon alapul.

Riemann-kritérium . Egy függvény oszcillációját a halmazon így definiáljuk . [tizennégy] $f(x)$ $E$ $\omega (f,G)=\sup _{x\in E}f(x)-\inf _{x\in E}f(x)=\sup _{x,y\in E} |f(x)-f(y)|$

Ekkor egy partíción lévő függvény -összegét nevezzük . [15] [16]

\Omega

f

\tau

\Omega (f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}\omega (f,\Delta _{i})=S(f,\tau )-s(f,\ tau)

Egy függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann szerint, ha korlátos, és az -összegek határa, mivel a partíció átmérője nullára irányul, egyenlő . [17]

\Omega

0

Riemann infinum kritériuma. A Riemann-kritériumnak van egy olyan változata is, amely a határ helyett az egzakt él fogalmát használja: a függvény akkor és csak akkor integrálható, ha . [18] [19] $\inf _{\tau \in T[a;b]}\Omega (f,\tau )=0$
Speciális Riemann-kritérium. Valójában a Riemann-kritériumban gyengébb feltételek is megkövetelhetők.

Jelölje a szakasz egyenlő szegmensekre való felosztásával . A függvény akkor és csak akkor integrálható ezen a szegmensen, ha a sorozat nullára hajlik. [húsz]

\tau_n

n

\Omega (f,\tau _{n})

Riemann speciális infinum kritériuma. Egy függvény akkor és csak akkor integrálható egy szegmensbe . [21] $\inf _{n\in \mathbb {N} }\Omega (f,\tau _{n})=0$
Dubois-Reymond kritérium. Határozzuk meg egy függvény fluktuációját egy pontban , mint egy függvény ingadozásainak értékének pontos alsó korlátját e pont közelében (ha a függvény tartománya nem tartalmazza a pont teljes szomszédságát, akkor csak a szomszédság azon pontjait veszik figyelembe, amelyek a definíciós tartományba tartoznak).

\omega (f,x_{0})=\inf _{U(x_{0})}\omega (f,U(x_{0})\cap X)

[tizennégy] Valójában egy függvény rezgése egy pontban a különbség a függvény és a folytonos között. A folytonossági pontban egyenlő , a folytonossági pontban pedig nagyobb, mint .

0

0

Egy függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-nal, ha korlátos, és bármely olyan pont halmazára, ahol nulla Jordan-mérték (vagyis bármely esetén lefedhető egy véges intervallumhalmazsal , amelynek teljes hossza kisebb, mint ). [22]

\varepsilon

x\in[a;b]

\omega (f,x)\geq \varepsilon

\delta>0

\delta

Lebesgue-kritérium. Egy függvény akkor és csak akkor integrálható egy szegmensbe , ha erre a szegmensre korlátos, és a pontok halmaza, ahol nem folytonos , nulla Lebesgue-mértékkel rendelkezik (vagyis bármely esetén lefedhető egy megszámlálható intervallumcsaláddal teljes hossza kisebb, mint ). [23] $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Elegendő feltételek az integrálhatósághoz

Az alább felsorolt összes elégséges integrálhatósági feltétel szinte azonnal következik a Lebesgue-kritériumból.

Egy intervallumon folytonos függvény integrálható rá [24]
Egy intervallumra korlátos függvény, amely véges számú pontjában nem folytonos, ezen az intervallumon integrálható [25]
Monoton funkció egy intervallumon, integrálható rá [26]
Egy integrálható függvény és egy szám szorzata integrálható [27]
Az integrálható függvények összege integrálható [27]
Az integrálható függvények szorzata integrálható [28]
Ha két integrálható függvény aránya korlátos, akkor integrálható. Különleges eset, ha a nevezőértékek halmazának nincs határpontja. [tizennégy] $0$
Az integrálható függvény modulusa integrálható. [29]
A függvények összetétele , ahol folyamatos a szegmensen , és integrálható -on , integrálható -on . [harminc] $f(g(x))$ $f$ $[\inf g(x),\sup g(x)]$ $g$ $[a;b]$ $[a;b]$
Ha egy függvény valamilyen intervallumon integrálható, akkor bármelyik alszegmensében integrálható. [31]
Legyen és függvény integrálható és -re . Ezután integrálható a . [32] $a<b<c$ $f$ $[a;b]$ $[b;c]$ $[a;c]$

Tulajdonságok

A további tulajdonságok csak akkor érvényesek, ha a megfelelő integrálok léteznek.

Az integrálhatóság szükséges feltétele. Egy szegmensre integrálható függvény arra van határolva. [33] $[a;b]$
Nem-negativitás. Az intervallum nem negatív függvénye esetén $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ [34]
Pozitivitás. Nem negatív és folytonos függvényhez egy , szakaszon , amely legalább egy pontban nem nulla $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx>0$ [35]
Linearitás. $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a }^{b}g(x)\,dx$ [27]

Mindhárom integrál létezéséhez elegendő kettőnek a létezése. Bárkinek

\lambda \in \mathbb {R}

\int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx

[27] A jobb oldali integrál létezése magában foglalja a bal oldali integrál létezését. Ha , akkor a baloldal létezése a jobboldal létezését jelenti.

\lambda \neq 0

Additivitás. Tetszőleges számokhoz $ABC$ $\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f( x)\,dx$ [32]

Mindhárom integrál létezéséhez elegendő vagy egy nagyobb szegmens feletti integrál, vagy két kisebb.

Monoton. Hadd és tovább . Akkor $a<b$ $f(x)\leq g(x)$ $[a;b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$ [34]
Fokozat. Legyen , , . Akkor $a<b$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$

m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba)

[36]

Modul értékelés. Hadd . $a<b$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ [29]

E két integrál létezéséhez elegendő a bal oldali integrál létezése. Ennek a tulajdonságnak van egy változata tetszőleges és .

a

b

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right |\,dx\jobbra|

[37]

Az átlagérték tétel . A jobb megértés érdekében először az átlagérték tételt fogalmazzuk meg kissé leegyszerűsített megfogalmazásban.

Egy függvény átlagos értékét egy szegmensen nevezzük .

f

[a;b]

{\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Az átlagérték tétel azt mondja, hogy egy szakaszon folytonos függvény a középértékét ezen a szakaszon egy bizonyos ponton veszi fel.

\exists c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{ba))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Ezt a feltételt osztás nélkül is felírhatja, hogy lefedje azt az esetet, amikor .

ba

a=b

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)

Egy ilyen jelölésben az átlagérték tétel igaz a és bármely értékére .

a

b

Valójában egy sokkal általánosabb feltétel igaz. Legyen integrálható , , . Akkor

f

[a;b]

m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)

M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)

\exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (ba)

[36] Ezt a tételt néha integrált középérték tételnek is nevezik , hogy megkülönböztessük a következőktől. [38]

Általánosított átlagérték tétel . Legyen a függvény,szegmensre,a függvény pedigintegrálható és állandó előjelű. Akkor $f$ $[a;b]$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$ $g$

\exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g (x)\,dx

[39] A tétel ismét igaz bármely és -ra .

a

b

Ehhez a tételhez a folytonosság esetén is megadhatunk egy variációt . [40]

f

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)\,dx

Néha ezt a tételt, és nem az előzőt, átlagérték tételnek nevezik. Továbbá, hogy megkülönböztessük a következőtől, ezt a tételt az első középérték tételnek nevezzük . [41]

A második középérték tétel . Legyen a függvényintegrálható az intervallumon, a függvény pedigmonoton. Akkor $f$ $[a;b]$ $g$

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx

[42] A második átlagérték tételnek vannak változatai a nem negatív függvényekre . Legyen a függvény integrálható a szegmensre , és a függvény legyen nem negatív és nem növekvő. Akkor

g

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx

[43] Legyen a függvény integrálható az intervallumon , és a függvény legyen nem negatív és nem csökkenő. Akkor

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b} f(x)\,dx

[43]

Függetlenség a nulla mértékhalmazoktól. Ha két függvény integrálható egy intervallumon, és azon szinte mindenhol egyenlő, akkor az integráljaik is egyenlők. Így a Riemann-integrál értéke nem függ a függvény értékétől egy nulla mértékhalmazon. Léte azonban függ: például a nulla és a Dirichlet-függvény szinte mindenhol egyenlő, de az első függvény integrálja létezik, a másodiké nem.

Integrál felső változó határértékkel

Az integrál segítségével definiált függvény az alábbiak szerint $h(x)$

h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

felső változóhatárú integrálnak nevezzük . [38]

Tulajdonságok:

A definíciós tartomány az az intervallum, amelybe a pont belép. $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $a$
A felső változóhatárú integrál folytonos. [38] $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
Ráadásul a felső változóhatárral rendelkező integrál egy Lipschitz-függvény
Azokon a pontokon , ahol folytonos, a felső változóhatárral rendelkező integrál differenciálható, deriváltjának értéke pedig egyenlő . [44] $x$ $f(x)$ $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $f(x)$

Az utolsó tulajdonság lehetővé teszi egy felső változó korláttal rendelkező integrál használatát egy függvény antideriváltjának felírásához. Így viszonyítja a határozatlan integrált és a következő összefüggés által meghatározott integrált:

\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C

Ez az egyenlőség akkor is igaz, ha integrálható, és antiderivált van rajta . [45] $f$ $[a;b]$

Számítás

A Riemann-integrálok kiszámításához a legegyszerűbb esetekben a Newton-Leibniz képletet használjuk, amely egy felső változóhatárú integrál tulajdonságainak következménye.

Newton-Leibniz képlet . Legyenfolyamatos on,antideriváltja pedig,. Akkor $f(x)$ $[a;b]$ $F(x)$ $[a;b]$ $a \neq b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[46]

A gyakorlati számítások során a következő módszereket is használják:

Változó helyettesítés . Legyen szükséges az integrál kiszámításához

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Megtörténik a csere , amely után újraszámítják az integrálási határokat és a differenciálművet:

x=\varphi (t)

a=\varphi (\alpha ),b=\varphi (\beta ),dx=\varphi '(t)\,dt

Akkor

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt

Ahhoz, hogy egy ilyen helyettesítés törvényes legyen, folytonosságra és folyamatos differenciálhatóságra és szigorú monotonitásra van szükség . [47]

f

\varphi

Integráció alkatrészek szerint . A részenkénti integráció módszere a következő képlet alkalmazásából áll:

\int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du

A képlet legális, ha és folyamatosan differenciálható. [48]

u

v

Valójában a Newton-Leibniz képlet és a fenti két módszer számos meghatározott feltétele redundáns, és jelentősen gyengülhet. [49] [48] [50] Az ilyen feltételek azonban bonyolultabbak lesznek, ráadásul a legtöbb gyakorlati esetre ezek a feltételek elegendőek. Ráadásul redukált formában ezek a feltételek garantálják az összes integrál meglétét is, ami lehetővé teszi, hogy a megfelelő módszerek alkalmazása előtt csak ezeket az egyszerű feltételeket ellenőrizzük.

Páratlan függvény integrálása . Legyen egy páratlan függvény integrálható egy szegmensre. Akkor $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0

[51]

Páros függvény integrálása . Legyen egy intervallumra integrálható páros függvény. Akkor $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx

[51]

Periodikus függvény integrálása . Legyen periódusa , és legyen integrálható rajta . Ezután bármilyen intervallumra és bármelyre integrálható $f$ $T$ $[0;T]$ $a$

\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx

[51]

Történelem

Az integrál fenti definícióját Cauchy [52] adta, és csak folytonos függvényekre alkalmazta.

Riemann 1854-ben (1868-ban jelent meg [2] , oroszul először 1914-ben [53] [54] ) ugyanezt a meghatározást adta a folytonosság feltételezése nélkül. Riemann elméletének modern formáját Darboux (1879) adta.

Változatok és általánosítások

Részlegesen adott függvények Riemann-integrálja. Néha van értelme a Riemann-integrált definiálni az intervallumon részben definiált függvényekhez . Meghatározható, hogy egy függvény bármely kiterjesztésekor egy teljesen adott függvényre az integrálja megegyezik-e ugyanazzal az értékkel. Ebben az esetben ezt az értéket tekintjük a részben adott függvény Riemann-integráljának. Például: figyelembe vehet olyan függvényeket, amelyek nincsenek véges számú pontban definiálva. Ha ráadásul az összes többi ponton szinte mindenhol folytonosak, akkor egy teljesen adott függvény bármely kiterjesztése integrálható, és értékeik egyenlőek, mivel az integrál értéke nem függ egy mértékhalmaz értékétől. nulla. Az ilyen függvényekre még a Newton-Leibniz képlet általánosítása is létezik. [55] Ez azonban még egy megszámlálható halmaz esetében sem mindig így van. Vegyünk egy csak az irracionális számok halmazán definiált függvényt . Különböző módon bővíthető a Dirichlet funkcióig és egészen a Dirichlet funkcióig. Az egyik esetben integrálható, a másikban nem. Másrészt, ha figyelembe vesszük a -t, amely határozatlan a Cantor halmazban , akkor egy ilyen függvény bármely befejezése integrálható lesz. $[a;b]$ $0$ $0$ $0$
A vektorértékű függvények Riemann-integrálja. A Riemann-integrál olyan függvényekhez definiálható, amelyek értéke bármely feletti topológiai vektortérben van . Például figyelembe vehetjük a vektorfüggvények integrálját (a függvények az euklideszi térben lévő értékekkel ). Az ilyen függvények koordinátaszerűen integrálva vannak, ezért szinte minden tulajdonság átkerül rájuk is. [56] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Riemann helytelen integrálja . Néha szükség van egy végtelen intervallumon vagy egy korlátlan függvényből származó integrálra. A nem megfelelő integrál a Riemann-integrál általánosítása ilyen esetekre. Végtelen intervallumok esetén a nem megfelelő integrált a következőképpen definiáljuk:

\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty }\int _{a}^{y}f(x)\, dx

Olyan véges intervallumok esetén, amelyeknek a felső határ közelében van korlátlan függvénye, a következőképpen definiáljuk:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx

A többi esetet hasonlóan határozzák meg. Ha az intervallumon belül végtelen szakadási pont van, vagy mindkét határérték végtelen, akkor az additív integrál több részre szakad. Ennek a definíciónak az a fő jellemzője, hogy az integrálható függvények esetében az ilyen határértékek egybeesnek a szokásos (a nem megfelelőtől való megkülönböztetés érdekében megfelelő) integrálokkal. Így a helytelen Riemann-integrál csak a saját általánosítása.

Több Riemann integrál . A többszörös integrált számos változó függvényeiből veszik bizonyos részhalmazokon. Ezeknek a halmazoknak a Jordan mérhető részhalmazokra történő felosztását figyelembe. Pontokat jelölünk bennük, és integrál összegeket állítunk össze (az intervallumok hossza helyett a megfelelő részhalmazok Jordan mértékét veszik fel). Egy ilyen partíció részhalmazának átmérője a pontok közötti távolságok felső értéke. Maga a partíció átmérője a részhalmaz partíciók minimális átmérője. Az integrálösszegek határát, mivel a válaszfalak átmérője nullára hajlik, többszörös integrálnak nevezzük. $\mathbb {R} ^{n}$

A több integrál sok tulajdonsága egybeesik a megszokottakkal, de vannak olyanok, amelyek nem (például a változók változási képlete). A közkeletű tévhittel ellentétben ezek nem a Riemann-integrál egzakt általánosításai, mivel a többszörös integrált egy irányítatlan halmaz veszi át, a szokásos pedig a szegmens irányának beállítását igényli.

Görbevonalú integrál . Hasonlóan a többszörös integrálhoz, több változó függvényéből vesszük, de már egy görbe mentén. A görbe részgörbékre is fel van osztva, a függvény értékeit megszorozzuk a megfelelő részgörbék hosszával, és összeadjuk.
Felületi integrál . Majdnem hasonló a görbe vonalú integrálhoz, azzal a különbséggel, hogy átveszi a felületet, és a megjelölt pontokban lévő függvények értékeit megszorozzuk a megfelelő szakaszok területével.
Lebesgue integrál . Alternatív megközelítés az integrál meghatározásához. Itt az integrálható függvény definíciós tartományának felosztása helyett az értékek tartománya felosztásra kerül, majd a felosztási pontokat megszorozzák ezen szegmensek inverz képeinek mértékével, és összeadják egymás között. Ahogy a partíció felső pontja nő, az alsó csökken, és az átmérője nullára hajlik, az ilyen összegek a Lebesgue integrálhoz hajlanak.

Lásd még

A Lebesgue-integrál és a megfelelő Daniel -integrál , a Young-integrál
Stieltjes integrál
Több Riemann integrál
Nem megfelelő integrál

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 107.
↑ 1 2 Riemann (cikk), 1868 , p. 101-103.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 104.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 218.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 190.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 204-205.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 208.
↑ Iljin, 1985 , p. 337.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 189.
↑ Iljin, 1985 , p. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 186-188.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 539.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 553.
↑ 1 2 3 Kudrjavcev, 2003 , p. 556.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 224.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 181.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 180.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 185.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 205.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 186.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 187.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 563.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 567.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 548.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 549.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 198.
↑ 1 2 3 4 Kudrjavcev, 2003 , p. 573.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 574.
↑ 1 2 Kudrjavcev, 2003 , p. 578.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 203.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 571.
↑ 1 2 Kudrjavcev, 2003 , p. 572.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 179.
↑ 1 2 Kudrjavcev, 2003 , p. 576.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 577.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , p. 125.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 579.
↑ 1 2 3 Kudrjavcev, 2003 , p. 587.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 126.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 127.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 583.
↑ Fikhtengolts, 2003 , p. 132.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , p. 215.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 588.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 590.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 591.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 596.
↑ 1 2 Kudrjavcev, 2003 , p. 600.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 593.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 601.
↑ 1 2 3 Vilenkin, 1979 , p. 72.
↑ Cauchy, 1831 .
↑ Riemann (könyv), 1914 .
↑ Arkhipov, 1999 , p. 196.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 595.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 607.

Irodalom

V.A. Iljin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matematikai elemzés. Kezdő tanfolyam. - 2., átdolgozott. - M . : Moszkvai Egyetem Kiadója, 1985. - T. 1. - 660 p.
Fikhtengol'ts G. M. Differenciál- és integrálszámítás tanfolyam három kötetben. - Szerk. 8. - M. : Nauka, 2003. - T. 2. - 864 p.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Előadások a matematikai elemzésről / Szerk. V. A. Sadovnichy. - 1. kiadás - M . : Felsőiskola , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. 3 kötetben. T. 1. Egy változó függvényeinek differenciál- és integrálszámítása - M. : Drofa, 2003. - 704 p.
Vilenkin N.Ya., Kunitskaya E.S., Mordkovich A.G. Matematikai elemzés. Integrálszámítás. - M . : Prosveschenie, 1979. - 176 p.
Cauchy AL Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. – Torino, 1831.
Riemann B. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1868. - Kt. 13. - P. 87-132.
Riemann B. Egy függvény trigonometrikus sorozattal történő kifejezésének lehetőségéről // Függvények felbontása trigonometrikus sorozatokban / Lejeune-Diriclet, Riemann, Lipschitz; Per. G. A. Gruzintsev és S. N. Bernstein. - Harkov: Kharkov Mathematical Society, 1914. - (Kharkov Mathematical Library. B sorozat; 2. sz.).

Linkek

Határozatlan és határozott integrálok táblái - EqWorld: Matematikai egyenletek világa.
A Riemann-integrál szigorú meghatározása .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph135430

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái