Izotróp vektor

Az izotróp vektor ( nullvektor ) egy pszeudoeuklideszi vektortér nullától eltérő vektora (a valós számok mezeje felett ) vagy unitáris vektortér ( a komplex számok mezeje felett ), amely önmagára merőleges , vagy ennek megfelelően nulla hosszúság a vizsgált tér skaláris szorzatának értelmében. Az izotróp elnevezés az izotrópia fizikai fogalmához kapcsolódik .

Az euklideszi terekben nincsenek ilyen vektorok – csak a nullával egyenlő vektorok nulla hosszúságúak. A pszeudoeuklideszi terekben izotróp vektorok léteznek, és izotróp kúpot alkotnak . Ugyanis egy vektortér vektora egy nem degenerált bilineáris alakzatú valós vagy komplex számok mezője felett , amelyet skaláris szorzatként adunk meg aláírással , akkor izotróp, ha . $\xi \neq 0$ $E$ $F$ $\Phi :E\times E\to F$ $(p,q)$ $\Phi (\xi ,\xi )=0$

Kapcsolódó fogalmak

Egy pszeudoeuklideszi vagy unitárius vektortér izotróp kúpja egy halmaz, amely az adott tér összes nulla hosszúságú vektorából, azaz minden izotróp vektorból és egy nulla vektorból áll.

Az izotróp altér egy pszeudoeuklideszi vagy egységes vektortér olyan altere, amely teljes egészében ennek a térnek az izotróp kúpjában található, vagyis teljes egészében nulla hosszúságú vektorokból áll. Egy altér akkor és csak akkor izotróp, ha bármelyik két vektora merőleges egymásra [1] . Egy pszeudoeuklideszi szintúratér izotróp alterének maximális mérete nem haladja meg a [2] -ot . $(p,q)$ ${\megjelenítési stílus \min(p,q)}$

A degenerált altér egy pszeudo-euklideszi vagy unitárius vektortér altere, amelyre a skaláris szorzatkényszer degenerált. Egy altér akkor és csak akkor degenerált, ha tartalmaz legalább egy izotróp vektort, amely merőleges ennek az altérnek az összes többi vektorára [1] . Nyilvánvaló, hogy bármely izotróp altér degenerált, de ennek az ellenkezője nem igaz.

Példák

A legegyszerűbb példa az izotróp vektorok és egy izotróp kúp egy pszeudoeuklideszi aláírási térben (2.1). Egy vektor hosszának négyzetét az adja meg . Az izotróp kúp egy jobb oldali körkúp . Az izotróp alterek a rajta elhelyezkedő egyenesek (generátorok), a degenerált alterek (az izotrópok kivételével) olyan síkok, amelyek egy izotróp kúpot érintenek, vagyis pontosan egy közös vonallal rendelkeznek. Az összes többi sík vagy euklideszi (ha csak annak csúcsában metszi az izotróp kúpot), vagy pszeudo-euklideszi aláírású (1,1) (ha két különböző egyenes mentén metszi egymást) [3] . $\mathbb {R} _{1}^{3}$ $e=(x,y,z)$ $|e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2}$ $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

A legfontosabb példa az izotróp vektorok és egy izotróp kúp a Minkowski-térben, egy pszeudoeuklideszi aláírási térben (1,3), amelyet a speciális relativitáselmélet tér-idejének geometriai értelmezéseként használnak . Ebben a térben minden e vektornak négy koordinátája van: , ahol a fénysebesség , és hosszának négyzetét a képlet adja meg . A Minkowski-tér izotróp kúpját fénykúpnak , az izotróp vektorokat pedig fénynek vagy fényszerűnek nevezzük . A fénykúpon belüli vektorokat ( ) időszerűnek , a fénykúpon ( ) kívüli vektorokat térszerűnek nevezzük . ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{4))$ $e=(ct,x,y,z)$ $c$ $|e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ $|e|^{2}>0$ $|e|^{2}<0$

Jegyzetek

↑ 1 2 Remizov A. O. A pszeudoeuklideszi terek izomorfizmusairól , Mat. oktatás, 2018, 2(86), 15–39. (17. o.).
↑ Remizov A. O. A pszeudoeuklideszi terek izomorfizmusairól , Mat. obrazovanie, 2018, 2(86), 15–39. (27. o., 2. Lemma).
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, - Fizmatlit, Moszkva, 2009 (7. fejezet, 7. bekezdés)

Irodalom

Izotróp vektor - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . A. B. Ivanov
B. A. Dubrovin , S. P. Novikov , A. T. Fomenko Modern geometria: módszerek és alkalmazások. - 4. kiadás. - M. : Szerkesztői URSS, 1998. - T. 1. Felületek geometriája, transzformációk csoportjai és mezők. - S. 49-52. — 320 s. — ISBN 5-901006-02-X .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, - Fizmatlit, Moszkva, 2009 (7. fejezet, 7. bekezdés).
Remizov AO A pszeudoeuklideszi terek izomorfizmusairól , Mat. oktatás, 2018, 2(86), 15–39.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb