Geometria (Descartes)

Geometria

Címlap
Általános információ
Szerző René Descartes
Típusú irodalmi mű
Műfaj esszé
Eredeti verzió
Név fr.  La Geometry
Nyelv Francia
Megjelenés helye Leiden
A kiadás éve 1637
Oldalak 106
Orosz változat
Tolmács A. P. Juskevics
Kommentelő A. P. Juskevics
Megjelenés helye M.-L.
Kiadó Gostekhizdat
A kiadás éve 1938
Oldalak 297

A "geometria" ( fr.  La Géométrie ) René Descartes munkája , amelyet 1637 -ben adtak ki Leidenben (Hollandia) , Descartes " Módszerbeszéd " című filozófiai értekezésének harmadik mellékleteként . Oldalszám: 106. Az első kiadásban a szerző neve nem szerepelt. Ez Descartes egyetlen olyan munkája, amelyet teljes egészében a matematikának szentel; általános módszerei alkalmazásának példájának tekintette a szerző. 1637 után a Geometry a Discourse on Method [1] -től elkülönítve jelent meg .

Descartes „geometriája” fordulópontot jelentett az új matematika fejlődésében, a 17. század legnagyobb matematikusainak referenciakönyve volt. Legfőbb értéke az volt, hogy a könyv a matematika - analitikus geometria egy új szakaszát mutatta be, amely lehetővé tette a geometriai feladatok koordinátarendszer segítségével algebrai nyelvre történő lefordítását, és ezáltal nagymértékben leegyszerűsítette azok tanulmányozását és megoldását. Ezenkívül Descartes kényelmes matematikai szimbolikát használt a geometriában , amely ettől a pillanattól kezdve általánosan elfogadottá vált a tudományban. Végül a „geometria” elindította a matematikusok figyelmét a numerikus értékek tanulmányozásáról a köztük lévő kapcsolatok tanulmányozására - a modern terminológiában a függvények [2] .

A matematikában a „geometriában” végrehajtott forradalmi átalakítások lehetővé tették Descartes számára, hogy számos olyan problémát megoldjon, amelyek a régi módszerek számára elérhetetlenek voltak. A karteziánus megközelítés szolgált alapul Newton és Leibniz matematikai elemzésének a 17. század végére .

Háttér

Bizonyos értelemben azt mondhatjuk, hogy Descartes megfordította az algebra és a geometria prioritásait, kijavítva az ókori görög matematikusok stratégiai hibáját . A Kr.e. V. században e. kitört az első válság a matematika alapjaiban [3] - a pitagoreusok felfedezték, hogy egy négyzet átlója összemérhetetlen az oldalával, vagyis arányuk ( ) nem fejezhető ki sem természetes számmal , sem törttel . Az ókori matematikusok azonban nem ismertek fel más numerikus objektumokat, kivéve a természetes számokat, még a törtet is nem számnak, hanem aránynak ( aránynak ) tekintették. A Kr.e. IV. században sikerült megtalálnia a kiutat . e. Cnidusi Eudoxus - bevezette a számokkal együtt a geometriai mennyiségek (hosszúságok, területek, térfogatok) fogalmát. A homogén mennyiségekre a numerikushoz hasonló aritmetikai műveleteket határoztunk meg. Eudoxus elméletét Eukleidész fejtette ki Principiája ötödik könyvében , és Európában a 17. századig használták. Euklidésznek újra kellett bizonyítania a számokra vonatkozó tételeket a mennyiségekre vonatkozóan, és a mennyiségek aritmetikája sokkal gyengébb volt, mint a numerikus aritmetika, már csak azért is, mert csak homogén mennyiségekre vonatkozott [4] [5] .

A modern időkben világossá vált, hogy a numerikus algebra geometria alapján történő felépítése hiba volt. Például a geometria szempontjából a és kifejezéseknek még geometriai értelmezésük sem volt (az eredményérték fizikai dimenziója nem volt definiálva), ezért nem volt értelme; ugyanez vonatkozik a negatív számokra is [6] .

Descartes más utat választott – ahelyett, hogy az algebrát geometriára redukálta volna, a geometriát algebrává redukálta, és ez az út sokkal termékenyebbnek bizonyult. Ennek lehetővé tétele érdekében Descartes kibővítette a szám fogalmát - minden valós számot elnyelt , beleértve az irracionálisakat is , és elvont , azaz elválasztott a geometriától [7] . Ekkor feleslegessé válik a geometriai mennyiség külön fogalma. A geometria algebrazálása lehetővé tette a geometriai feladatokban teljesen függetlennek tűnő közös vonások felfedezését is [8] [9] .

François Vieta szimbolikus algebrájával és az addigra már jól kidolgozott algebrai jelölésrendszerrel (amelynek kidolgozásában maga Descartes is részt vett) ez az újítás lehetővé tette soha nem látott mélységű és általánosságú matematikai vizsgálatok elvégzését. . Descartes először 1619. március 26-án vázolta fel a matematika ilyen reformjának tervét Isaac Beckmann holland matematikusnak írt levelében . További anyagok, amelyeket Descartes optikai tanulmányai során kapott [10] .

Elődök

Descartes gyakorlatilag nem hivatkozik más tudósok munkáira a geometriában, ami okot adott Wallisnak és számos más matematikusnak arra, hogy megvádolja őt más algebraisták, különösen Harriot és Girard ötleteinek plagizálásával . Descartes azonban megépítette másik értekezését, a Dioptriát is, mintha előtte senki sem tanult volna matematikai optikát [11] [12] .

Descartes-ra kétségtelenül François Viète , a szimbolikus algebra megalapítója volt. Mint fentebb említettük, Descartes már 1619-ben elkezdte kidolgozni reformja fő gondolatait, így programjának kulcspontjain teljesen független. Ezt kiterjedt levelezése is megerősíti. Girard, mielőtt Descartes megfogalmazta az algebra alaptételét (1629), és Harriot volt az első, aki egy polinom lineáris tényezőkre való felbomlását vizsgálta (1631). Descartes nem használta Girard és Herriot matematikai szimbolikáját, és a Geometria megjelenése után ismerkedett meg Harriot könyvével. Descartes aktívan levelezett Pierre Fermat -val , aki az analitikus geometria felfedezésének megtiszteltetését is magáénak tudhatja, de Fermat hatása nem érződik Descartes írásain. Egyik előd sem javasolta a matematika olyan radikális reformját, mint Descartes [13] [14] .

A descartes-i megközelítés ideológiai jellemzői

Univerzális módszer a problémák megoldására

Az analitikus geometria megalkotásának fontossága ellenére Descartes egy sokkal nagyobb célt akart elérni a Geometry publikálásával – a matematikai problémák legáltalánosabb megoldásának megadását. Ezt az általános (ahogyan hitte) módszert Descartes a következőképpen fejti ki. A legtöbb matematikai probléma végső soron algebrai egyenletekre vagy ilyen egyenletrendszerekre redukálható . Ezért a probléma megoldása egyszerűen ezen egyenletek gyökereinek kiszámítása . Ha egy probléma megoldása során nem algebrai, hanem más ( transzcendentális ) egyenletek merülnek fel, akkor ezekre – vélte Descartes – nincs általános megoldási módszer. A gyökök tényleges kiszámításához Descartes grafikus módszert használ - a gyököket egyenesek, körök és más algebrai görbék metszéspontjaként kapja meg [15] . Descartes tudta, hogy a két fokos görbék felépítése lehetővé teszi bizonyos fokos egyenlet megoldását [16] .

Például az egyenlet megoldásához:

Descartes rendszerként ábrázolta:

Az első egyenlet egy parabolát ad az (x, z) síkon , a második egy kört , és meg kell találni a metszéspontjukat. Descartes megmutatta, hogy lehetséges ötöd- és hatodrendű egyenleteket is megoldani analóg módszerekkel, amelyekre nem létezik a Cardano -képlethez hasonló algebrai képlet [17] .

Az egyenletben szereplő összes kifejezést Descartes áthelyezte a bal oldalra, így a jobb oldal mindig nullával egyenlő; ez a technika a vizsgálatot a bal oldali polinom gyökeinek megkeresésére és ezeknek a gyököknek az egyenlet együtthatóival való kapcsolatának vizsgálatára redukálta [16] .

A szám fogalmának általánosítása

Mint fentebb látható, Descartes az ókori szerzőkkel ellentétben számokat és geometriai mennyiségeket kombinált. Ugyanakkor háromféle számtípust különböztetett meg: egész , tört és irracionális ( latin  surdus , szó szerint: „süket”); Descartes nem tett szignifikáns különbséget közöttük, mivel a folytonos görbék és algebrai képeik vizsgálata nem kompatibilis a racionális számokra vonatkozó Pythagore-i korlátozással [18] . Descartes is tett egy lépést a negatív számok legalizálása felé azzal, hogy a pozitív számokkal ellentétes szegmensként ábrázolta őket. Noha a hagyomány szerint Descartes még mindig "hamis"-nak nevezte a negatív gyökereket, már az "igaz"-val, vagyis a pozitívmal kombinálta őket a "valódi gyökerek" általános kategóriájába, szembeállítva őket a képzeletbeli ( összetett ) gyökerekkel [19]. .

Descartes reformja az egész, a tört és az irracionális számok "jogegyenlítését" jelentette. Ezt a hosszú távú folyamatot Newton fejezte be , aki az " Univerzális aritmetikában " (1707) a valós szám klasszikus definícióját a mérési eredmény és az egységszabvány arányaként adta meg [19] [20] :

Számon nem annyira egységek halmazát értjük, mint inkább egy mennyiségnek egy másik, azonos típusú, egységnek vett mennyiséghez való absztrakt kapcsolatát.

Eredeti szöveg  (lat.)[ showelrejt] Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur ratioem intelligimus.

Analitikus geometria

A történészek a koordináta-módszer kezdeteit Pergai Apollonius ( Kr. e. 3. század ) „kúpszelvényeiben” fedezték fel. Descartes legkésőbb 1632 -ben dolgozta ki az analitikus geometria alapgondolatait . A geometriai tulajdonságok algebrai nyelven történő megfogalmazásának elvét Descartes-szal egyidejűleg egy másik kiváló francia matematikus, Pierre Fermat dolgozta ki, de munkája a szerző életében nem jelent meg. Fermat megközelítése hasonló volt a karteziánushoz, bár az áttekinthetőség és az előadás mélysége tekintetében elmaradt az utóbbitól [21] .

Descartes koordinátarendszere némileg eltért a modernétól. Descartes rögzíti a koordináták origóját és a pozitív koordináta tengelyét a síkon (csak pozitív koordinátákat vett figyelembe, ordináta tengelye pedig vízszintes), majd erre a tengelyre merőlegesen vagy eltérő fix szögben vetíti ki a vizsgált görbe pontjait. , tulajdonképpen megkapjuk a második koordinátát ( abszcissza ), mint a vetületi szakasz hosszát. Továbbá Descartes erre a görbére egy összefüggést vezet le, amely összeköti az abszcisszákat és az ordinátákat ( görbeegyenlet ). Ezt követően egy adott görbére vonatkozó bármely geometriai állítás tisztán algebrai úton levezethető a görbe egyenletéből, rajzok igénybevétele nélkül. Descartes azonban az ősi hagyomány előtt tisztelegve rendszerint geometriai értelmezést ad az egyenleteiről. Vegyük észre, hogy a mai értelemben vett abszcissza, ordináta, koordináta kifejezések jóval később jelentek meg Leibniznél, és a második koordinátatengelyt először Descartes Claude Rabuel kommentátora ( Claude Rabuel , 1669-1728) vezette be a Geometry posztumusz kiegészítésében ( 1730) [22] [23] [24] [25] .

Descartes minden folytonos görbét geometriai és mechanikai görbékre osztott ; az előbbiek abban különböznek egymástól, hogy egy algebrai egyenlettel írhatók le . A mechanikai görbék, mint például a spirálok vagy négyszögletesek , kikerültek Descartes tanulmányának hatóköréből. Ő végezte el a különböző fokú sík algebrai görbék első osztályozását , amelyet ezt követően Newton javított és egészített ki [21] . Descartes tisztában volt azzal, hogy algebrazását rejtett veszély fenyegeti – amikor a koordináták képletéből következtetéseket vonunk le, elvileg minden alkalommal ellenőrizni kell, hogy ezek a következtetések nem függenek-e a koordinátarendszer megválasztásától, és nem az aktuális koordinátarendszer valamely jellemzőjének véletlen következménye . Descartes e témával kapcsolatos érvelése megalapozta az invariánsok elméletét [9] .

Descartes jelölése

Descartes- szal az algebrai szimbolika szinte modern megjelenést kapott; A „geometria” a történelem első könyve, a képletek, amelyekben a modern olvasó minden nehézség nélkül felfogja. Descartes az ábécé kezdőbetűinek használatát javasolta ismert paramétereknél : ismeretlen paramétereknél pedig az utolsó betűket: Descartes ugyanazt a hármast használta koordináta szimbólumként a gráfok ábrázolásakor ; Maga Descartes azonban a lapos görbékre szorítkozott, a térbeli koordináták aktív használata később kezdődött, mint Clairaut [26] [7] .

Descartes a hatványozás modern jelölését alkotta meg , például: a kitevő jobbra és a változó szimbólum felett van . A század vége felé Newton kiterjesztette ezt a jelölést a tört- és negatív kitevőkre. F. Cajori az algebra legsikeresebb és legrugalmasabb szimbolikájaként jellemzi a fokozatok karteziánus jelölését - egyszerű, kompakt és világos, megkönnyíti a transzformációkat, és ami a továbbiakban különösen fontosnak bizonyult, ösztönözte a fokozatok kiterjesztését. a hatványozás fogalma negatív, tört vagy akár összetett kitevőkre, valamint a hatvány- és exponenciális függvény matematikai megjelenése ; mindezeket az eredményeket nehéz lett volna elérni a 16. századi elnevezésekkel [27] .

Descartes algebrai szimbolikáját szinte teljesen átvették a tudósok következő generációi, csak a szokatlan karteziánus egyenlőségjelet Robert Record sikeresebb szimbóluma váltotta fel . Ezenkívül megszűntek az együtthatók korlátozásai, amelyeket Descartes mindig nem negatívnak tartott, és az e szabály alóli kivételeket egy speciális jel tükrözte [28] . Johann Hudde holland matematikus már 1657-ben megengedte, hogy a szó szerinti változók bármilyen előjelű értékeket vegyenek fel [29] . Newton „ Univerzális aritmetika ” (1707) monográfiája Descartes jelölését és Record egyenlőségjelét használja. Az algebrai jelölések egységesítése alapvetően a 17. század végére fejeződött be [28] .

Tartalom

A „geometria” három részre oszlik (könyvek). A szerző állításait általában nem kísérik szigorú bizonyítékok, hanem számos példa illusztrálja [16] .

Első könyv: "Azokról a problémákról, amelyeket csak körök és egyenesek segítségével lehet megszerkeszteni" . A szerző már az első fejezetben kijelenti: "A geometria minden problémája könnyen redukálható olyan kifejezésekre, amelyek megalkotásához csak néhány egyenes hosszát kell tudni." Descartes leírja az aritmetikai műveletek és a velük egyenértékű geometriai konstrukciók megfeleltetését, bevezeti az olvasót jelölésrendszerébe. Továbbá ad egy módszert a megoldandó probléma egyenleteinek felépítésére - csak fel kell írni az adatokat a relációs feladat feltételében képletekkel, majd megoldást kell keresni a kapott egyenletekre [30] .

Módszere hatékonyságának példájaként Descartes Pappus klasszikus problémáját vette figyelembe és oldotta meg (a Pappus "Matematikai gyűjtemény" című értekezéséből, VII. könyv): síkban lévő vonalak esetében meg kell találni az ilyen pontok helyét. amely ezekből a pontokból ezekhez az azonos szögű egyenesekhez húzott szakaszok hosszának szorzata adott arányú a fennmaradó egyenesekre húzott szakaszok hosszának hasonló szorzatához. Papp megállapította, hogy a kívánt lokusz egy kúpszelvény , de nem adott teljes bizonyítást; Descartes nemcsak az általános esetet, hanem a speciális helyzeteket is figyelembe vette (a tanulmány egy részét a második könyvben helyezi el) [22] [23] [31] .

Második könyv: "A görbe vonalak természetéről" . Ez a könyv az algebra geometriában való alkalmazásaival foglalkozik. Itt Descartes egy általános módszert mutatott be az algebrai görbék normáljainak és érintőinek rajzolására , amelyet aztán az optika bizonyos problémáira alkalmazott . A differenciálszámítás még nem készült el, és Descartes a határozatlan együtthatók módszerét alkalmazza , amit az ellipszis , a Dioklész-ciszoid és az ovális [32] példája szemléltet . Amikor Pierre Fermat tájékoztatta Descartes-t az érintők rajzolásának differenciális módszeréről, egyszerűbb és gyakorlatilag modernebb, elutasította, mint az algebra határait, bár a cikloid és a logaritmikus spirál tanulmányozása során ő maga olyan módszereket alkalmazott, amelyek nem illeszkedtek egymáshoz. a karteziánus ideológiába (például az oszthatatlanok módszere ) [33] [34] .

Descartes ebben a fejezetben pesszimizmusát fejezte ki egy tetszőleges görbe ívhosszának kiszámításának lehetőségével kapcsolatban („ görbe kiegyenesítése ”, ahogy akkor mondták): véleménye szerint „az egyenesek és a görbék közötti kapcsolat ismeretlen, és gondolkozz, nem is ismerhetik az emberek ” [35 ] [36] Akkoriban valóban egyetlen görbét sem lehetett kiegyenesíteni , kivéve egy kört . A pesszimizmus indokolatlannak bizonyult - húsz évvel később (1657-ben) William Neil elvégezte Neil parabolájának helyesbítését , egy évvel később pedig Wren megtalálta egy nem algebrai cikloid ívének hosszát . Továbbá a matematikai elemzés egy általános elméletet hozott létre az ív hosszának meghatározására, amelyet azonnal felhasználtak sokféle görbére [37] .

A második rész végén Descartes ezt írja: "Most már úgy gondolom, hogy a kezdetektől nem mulasztottam el semmit, ami a görbe vonalak ismeretéhez szükséges." Valójában az analitikus geometria által feltárt határtalan lehetőségek csak a kezdetei voltak az új geometria lenyűgöző fejlődésének [23] .

Harmadik könyv: "A testi vagy az azt meghaladó testi feladatok felépítéséről" . A harmadik könyvben Descartes felvázolta az ebben az időszakban felhalmozott algebrai alaptételeket és az egyenletmegoldási módszereket, amelyeket egyetlen rendszerbe kapcsolt, kényelmes általános szimbolikával és terminológiával. Konkrétan az algebra alaptételét fogalmazta meg : egy egyenletnek annyi különböző gyöke lehet, ahány foka (Descartes a komplex gyököket "képzetesnek" nevezte, és kevés figyelmet fordított rájuk) [38] .

A következőkben (bizonyítás nélkül) adjuk meg a Descartes-féle előjelek szabályait a pozitív és negatív gyökök számának meghatározására egy polinom együtthatóiból (melyet Lagrange csak a 18. században igazolt szigorúan ), valamint a valós helyzetének meghatározására vonatkozó szabályok. gyökerei a valós tengelyen . Egy évszázaddal Etienne Bezout előtt Descartes megmutatta, hogy ha egy polinom gyöke , akkor ennek a polinomnak van egy faktora , azaz ábrázolható mint . Descartes a szögtriszekció problémáját köbegyenletre redukálja , és a szokásos módszerével, kúpszeletekkel oldja meg [38] .

Descartes azt a véleményét fejezte ki, hogy a harmadfokú és magasabb fokú egyenletek nem oldhatók meg iránytűvel és általánosságban véve egyenes vonallal; más szóval, az általános köbegyenlet nem oldható meg csak négyzetgyökök (és nem köb ) használatával. Ez az állítás igaznak bizonyult, bár a szerző érvelése ebben a témában nem meggyőző, és nincs bizonyító ereje. Descartes azonban helyesen megjegyezte, hogy az egész együtthatókkal és 1-es vezető együtthatóval rendelkező köbegyenlet iránytűvel és egyenes éllel megoldható, ha ennek az egyenletnek van valódi gyöke (ami nyilvánvalóan egész szám lesz ). Descartes is kimerítően megoldott egy hasonló kérdést egy 4. fokú egyenletre úgy, hogy megszerkesztette annak 3. rendű rezolválóját [39] [40] .

Történelmi hatás

A „geometriát” befejezve Descartes viccesen megjegyezte [41] :

És remélem, hogy utókorunk nem csak azért lesz hálás nekem, amit itt kifejtettem, hanem azért is, amit önként kihagytam, hogy örömet szerezzenek nekik, hogy megtalálják maguknak.

Descartes munkássága ugyanis, különösen latin fordításának (1649, Frans van Schoten ) megjelenése után, azonnal számos támogatóra tett szert, és számos publikációt eredményezett, amelyek szerzői a Descartes által jelzett utat követték és ötleteit aktívan fejlesztették. A „geometria” a 17. században négy újranyomást kibírt Hollandiában és Németországban. Descartes szövegét minden új kiadással benőtték a nehéz helyek kiterjedt kiegészítései és pontosításai, már a második kiadás is két kötetet foglalt el [1] . Maga Descartes a „geometria” után bizonyos mértékig eltávolodott a matematikától, és inkább metafizikai természetfilozófiájának fejlesztését részesítette előnyben (bár baráti leveleiben számos probléma megoldását adta meg) [33] .

Descartes első ideológiai követői közé tartozott van Schoten , Erasmus Bartholin , Johann Hudde , Florimond de Beaune . John Wallisra (1655) kétségtelenül Descartes volt hatással , aki „Általános matematika vagy teljes számtani kurzus” címmel értekezést adott ki ( Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum , 1657), amelyet később Algebráról szóló traktátusként dolgoztak át (1685). . Wallis kiterjesztette az algebrazációt az oszthatatlanok módszerére (korábban tisztán geometriaira), közel egy integrálszámításhoz [42] .

Isaac Newton fiatal korában olvasta Descartes "Geometriáját", sőt Eukleidész " Kezdetei " fölé helyezte . Newton " Univerzális aritmetikájában " (1707) az algebra és a geometria elválasztása végérvényesen megtörtént [38] [43] [44] . Amint azt Carl Boyer történész megjegyezte, Gottfried Leibniz korai elemzési publikációiban , tudatosan vagy sem, a karteziánus geometria stílusát utánozta [45] ; egyik levelében Leibniz Galileit , Descartes-t és Huygenst nevezi meg tanáraiként [46] .

Bár a 17. század végén a matematikai elemzés megalkotása leértékelte Descartes tézisét az algebrai megközelítés egyetemességéről, ennek a tézisnek az új, analitikus alapokra történő kiterjesztése megőrizte mindazt a legjobbat, ami Descartes úttörő munkájában volt. az új matematika számos természettudományban sikeresen alkalmazható [47] .

Publikációk

Első kiadások

Online szöveg

Orosz fordítás

Jegyzetek

  1. 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. harminc.
  2. Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 257.
  3. Matvievskaya G.P. A számtan a középkori Közel- és Közel-Keleten. - Taskent: FAN, 1967. - S. 28. - 344 p. A könyv a cím ellenére nyomon követi a számfogalom történetét a legősibb idők óta.
  4. Kolmogorov A. N. Érték // Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977. - T. 1.
  5. A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
  6. Bashmakova I. G. Előadások a matematika történetéről az ókori Görögországban // Történelmi és matematikai kutatás . - M .: Fizmatgiz , 1958. - 11. sz . - S. 309-323 .
  7. 1 2 Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 279-282.
  8. Scott, JF René Descartes tudományos munkája. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .
  9. 12 Mac Tutor .
  10. A XVI-XVII. századi algebra történetéből, 1979 , p. 147-148.
  11. A XVI-XVII. századi algebra történetéből, 1979 , p. 143-144.
  12. Stillwell D. Matematika és története. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - P. 127. - 530 p.
  13. Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 205, 227, 290-292.
  14. Zeiten G. G., 1938 , p. 211.
  15. Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 33, 43.
  16. 1 2 3 Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 281-282.
  17. Vileitner G., 1960 , p. 58.
  18. Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 283.
  19. 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 35-36.
  20. Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 293.
  21. 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 103-104.
  22. 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 106-109.
  23. 1 2 3 Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 287.
  24. Geometria, 1938 , p. 215.
  25. Vileitner G., 1960 , p. 232, 247.
  26. Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 113.
  27. Matematikai jelölések története, vol. 1, 2007 , 315. §.
  28. 1 2 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 40-46.
  29. Matematikai jelölések története, vol. 2, 2007 , 392. §.
  30. Geometria, 1938 , p. tizennégy.
  31. Vileitner G., 1960 , p. 216-218.
  32. Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 285.
  33. 1 2 Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 289.
  34. Vileitner G., 1960 , p. 218-221.
  35. Geometria, 1938 , p. 49.
  36. ^ Eredeti francia idézet : "la ratio, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes", lásd Descartes, René. Discours de la method ... - 1637. - S. 340.
  37. Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 191-192.
  38. 1 2 3 Matematika története, II. kötet, 1970 , p. 42-45.
  39. Rybnikov K. A. A matematika története két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1960. - T. I. - S. 135.
  40. Zeiten G. G., 1938 , p. 221-223.
  41. Geometria, 1938 , p. 113.
  42. Zeiten G. G., 1938 , p. 228-230.
  43. Vileitner G., 1960 , p. 222-238.
  44. Stillwell D. Matematika és története. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - P. 166. - 530 p.
  45. Boyer C. B. A kalkulus története és fogalmi fejlődése. - Dover Publications, inc, 1949. - P. 207-208. — 346 p.
  46. Filippov M. M. Leibniz: Élete és munkássága: társadalmi, tudományos és filozófiai tevékenység. fejezet III. - Szentpétervár.  : Szerk. F. Pavlenkova. — 96 p. - ( ZhZL ; 129. szám).
  47. Juskevics A. P. Descartes és matematika, 1938 , p. 292-293.

Irodalom

Linkek