Köbös egyenlet

A köbös egyenlet egy harmadfokú  algebrai egyenlet , amelynek általános formája a következő:

Itt az együtthatók valós vagy komplex számok .

Egy köbös egyenlet elemzéséhez és megoldásához megrajzolhatja a bal oldali grafikont egy derékszögű koordinátarendszerben , az így kapott görbét köbös parabolának nevezzük (lásd az ábrákat).

Egy általános köbös egyenlet kanonikus alakra redukálható a változóval való osztással és a változó megváltoztatásával , így az egyenlet egyszerűsített formáját kapjuk:

ahol

Egy köbös egyenlet megoldható gyökökben , lásd Cardano képletét .

Történelem

Ókori időszak

A köbös egyenleteket az ókori egyiptomiak, babilóniaiak, ókori görögök, kínaiak és indiaiak ismerték [1] [2] . Az óbabiloni időszak (i. e. XX-XVI. század) ékírásos tábláira bukkantak, amelyek kocka- és kockagyökértáblázatokat tartalmaztak [3] [4] . A babilóniaiak felhasználhatták ezeket a táblázatokat köbös egyenletek megoldására, de nincs bizonyíték arra, hogy ezt tették volna [5] .

A kockakettőzési probléma a legegyszerűbb és legrégebbi köbös egyenletet használja, és az ókori egyiptomiak nem hitték, hogy létezik rá megoldás [6] . A Kr.e. ötödik században Hippokratész ezt a problémát arra redukálta, hogy két átlagos arányt találjon az egyik és a másiknál ​​kétszer akkora szegmens között, de nem tudta megoldani iránytűvel és egyenes éllel [7] , ami, mint ma ismeretes, lehetetlen. csináld.

Az i.sz. 3. században az ókori görög matematikus , Diophantus egész és racionális megoldásokat talált néhány két ismeretlennel rendelkező köbös egyenletre ( Diofantie egyenletek ) [2] [8] . Úgy gondolják, hogy Hippokratész , Menechmosz és Arkhimédész közelebb került a kocka kúpszeletekkel történő megkettőzésének problémájának megoldásához [7] , bár egyes történészek, például Reviel Netz szerint nem ismert, hogy a görögök gondolkodtak-e a köbegyenletekről, vagy egyszerűen olyan problémákról, amelyek köbegyenletekhez vezethetnek. Mások, például Thomas Heath , Arkhimédész összes fennmaradt művének fordítója és kommentátora nem ért egyet, rámutatva arra a bizonyítékra, hogy Arkhimédész valóban két kúp keresztezésével oldotta meg a köbös egyenleteket [9] .

A köbös egyenletek megoldására szolgáló numerikus módszerek a Mathematics in Nine Books című kínai matematikai szövegben jelennek meg, amelyet Kr.e. 2. század körül állítottak össze, és Liu Hui kínai matematikus kommentálta a harmadik században [1] .

A 7. században, a Tang-dinasztia idején Wang Xiaotong csillagász és matematikus Jigu Suanjing című matematikai értekezésében 25 alakú köbegyenletet fogalmazott meg és oldott meg , ebből 23 -ban és két egyenletben [10] .

Középkor

A 11. században Omar Khayyam (1048-1131) perzsa költő és matematikus jelentős előrelépést tett a köbös egyenletek elméletében. A köbös egyenletekkel foglalkozó korai munkái során felfedezte, hogy egy köbegyenletnek két megoldása is lehet (a három gyök esetét észrevétlenül hagyta [11] ), és azzal érvelt, hogy az egyenlet nem oldható meg iránytűvel és egyenessel. Talált egy geometriai megoldást is [12] [13] . Későbbi munkájában, a Treatise on the Demonstration of Problems in Algebra című művében a köbegyenletek teljes osztályozását írta le általános geometriai megoldásaikkal a kúpszeletek metszéspontjait használva [14] [15] .

A 12. században II. Bhaskara indiai matematikus sok sikertelenül próbálta megoldani a köbös egyenleteket. Azonban adott egy példát egy köbös egyenlet megoldására [16] :

Ugyanebben a 12. században Sharaf al-Din perzsa matematikus megírta az Al-Mu'adalat-t ( Transzátum az egyenletekről ), amely nyolcféle köbös egyenletről beszél pozitív megoldásokkal és ötféle pozitív megoldásokkal. A később „ Ruffini  - Horner ” elnevezésű megközelítést használta egy köbös egyenlet gyökerének numerikus közelítésére . Kidolgozta a függvény deriváltjának és a görbe szélsőértékének koncepcióját is olyan köbös egyenletek megoldására, amelyeknek nincs pozitív értéke [17] . Megértette a köbös egyenlet diszkriminánsának fontosságát bizonyos speciális típusú köbös egyenletek algebrai megoldásának megtalálásához [18] .

A középkori Európában egészen a 16. századig nem jártak sikerrel a köbegyenletek megoldása. A pisai Leonardo, más néven Fibonacci (1170-1250), képes volt pozitív megoldásokat találni egy köbös egyenletre babiloni számok segítségével . Megjelölte a megoldást , amely szabványos jelöléssel egyenlő , és mindössze három trilliaddal tér el a pontos megoldástól. [19]

Luca Pacioli „Az aritmetika, a geometria, az arányok és az arányok összege” című értekezésében (1494) azt írta, hogy a köbegyenletek általános megoldása „ a tudomány mai állása szerint éppoly lehetetlen, mint egy kör négyzetre emelése iránytűvel és vonalzóval ” . 20] .

Del Ferro-Tartaglia felfedezése

A 16. század elején Scipio del Ferro olasz matematikus általános módszert talált a köbös egyenletek egy fontos osztályának megoldására, nevezetesen a nemnegatív n és m alakú egyenletekre . Valójában minden köbegyenletet le lehet redukálni ebbe a formába, ha megengedjük annak lehetőségét, hogy negatívak legyenek, de a negatív számokat akkor még nem tartották elfogadhatónak. Del Ferro egészen addig titokban tartotta felfedezését, amíg halála előtt el nem mondta tanítványának, Antonio Fiore-nak.

1535-ben Niccolo Tartaglia két feladatot kapott köbös egyenletek formájában Zuanne da Coitól, és bejelentette, hogy meg tudja oldani őket. Hamarosan kihívást kapott Fiore-tól egy matematikai versenyre, amely a befejezése után vált híressé. Mindegyiküknek bizonyos számú feladatot kellett felkínálnia az ellenfélnek a megoldásra. Kiderült, hogy a Tartaglia által kapott összes feladatot a típusú köbegyenletekre redukáltuk . Nem sokkal a határidő lejárta előtt Tartagliának sikerült egy általános módszert kidolgoznia az ilyen típusú köbös egyenletek megoldására (újrafelfedezni del Ferro módszerét), valamint általánosítani két másik típusra ( és ). Ezt követően gyorsan megoldott minden neki javasolt feladatot. Fiore viszont Tartagliától kapott feladatokat a matematika különböző ágaiból, amelyek közül sok kiderült, hogy meghaladta az erejét; ennek eredményeként Tartaglia nyerte a versenyt.

Később Gerolamo Cardano (1501-1576) többször is megpróbálta meggyőzni Tartagliát, hogy fedje fel a köbös egyenletek megoldásának titkát. 1539-ben sikerült is neki: Tartaglia beszámolt a módszeréről, de azzal a feltétellel, hogy Cardano nem tárta fel senki előtt Tartaglia saját köbegyenletekről szóló könyvének megjelenéséig, amelyen dolgozott, és ahol a módszert publikálni fogja. Hat évvel később Tartaglia soha nem adta ki könyvét, és Cardano, aki addigra megismerte Ferro munkásságát, lehetségesnek találta del Ferro módszerének közzétételét (Tartaglia nevének megemlítésével, mint aki önállóan fedezte fel) az Ars Magna című könyvében 1545-ben. . Cardano azzal indokolta magát, hogy megígérte, hogy senkinek sem árulja el Tartaglia eredményeit, és nem del Ferro-t. Tartaglia azonban úgy vélte, hogy Cardano megszegte ígéretét, és kihívást küldött neki a versenyre, amit Cardano nem fogadott el. A kihívást végül Cardano tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fogadta el, és ő bizonyult a győztesnek [21] .

Cardano észrevette, hogy Tartaglia módszere néha (nevezetesen, ha három valós gyökről van szó) megköveteli egy negatív szám négyzetgyökének felvételét. Még az Ars Magnában is számításokat végzett ezekkel a komplex számokkal , de nem igazán értette a problémát. Rafael Bombelli részletesen tanulmányozta ezt a problémát, ezért a komplex számok felfedezőjének tartják.

François Viète (1540–1603) egymástól függetlenül levezetett egy három valós gyökű köbös egyenlet megoldását. Megoldása a trigonometrikus képlet alapján készült

Különösen a helyettesítés eredményezi az egyenletet

az elmének

Később René Descartes (1596-1650) elmélyítette Vieta munkásságát [22] .

Egyenletgyökök

Az egyenletet azonossággá alakító számot az egyenlet gyökének vagy megoldásának nevezzük . Ez egyben egy harmadfokú polinom gyöke is , amely a kanonikus jelölés bal oldalán található.

A komplex számok mezején az algebra alaptétele szerint a köbegyenlet

mindig 3 gyöke van (a többszörösséget figyelembe véve).

Mivel minden páratlan fokú valós polinomnak van legalább egy valós gyöke, a köbegyenlet gyökeinek összetételének minden lehetséges esete az alábbiakban leírt háromra korlátozódik.

Ezeket az eseteket megkülönböztető jellel különböztetjük meg :

Három eset lehetséges:

A Vieta-tétel szerint a köbegyenlet gyökei a következő összefüggésekkel kapcsolódnak az együtthatókhoz [23] :

Ha ezeket az arányokat elosztjuk egymással, még több arányt kaphatunk:

Megoldási módszerek

Általános pontos megoldási módszerek:

Egyes speciális típusú köbös egyenletek esetében speciális módszerek léteznek a megoldásukra. Lásd például:

Az egyenletek megoldására numerikus módszereket is alkalmazhat .

Helyettesítés Vieta

Mint fentebb említettük, bármely köbös egyenlet a következő alakra redukálható:

Helyettesítésként cserélünk:

Ennek eredményeként a következő egyenletet kapjuk:

Ha megszorozzuk -vel , megkapjuk a hatodik fokának egyenletét , ami valójában a következő másodfokú egyenlete :

Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy . Ha , és három kockagyök , akkor az eredeti egyenlet gyökeit a képletekkel kaphatjuk meg

és

Omar Khayyam döntése

A grafikonon látható módon a harmadik fokú egyenlet megoldására , ahol Omar Khayyam egy parabolakört épített , amelynek átmérője a pozitív féltengely szegmense , valamint egy függőleges vonal, amely a parabola és a kör metszéspontján halad át. A megoldást a vízszintes szakasz hossza az origótól a függőleges egyenes tengellyel való metszéspontjáig határozza meg .

Az építés egyszerű modern bizonyítása: szorozd meg az egyenlettel és csoportosítsd a kifejezéseket

A bal oldal a parabola értéke . A kör egyenlete egybeesik az egyenlet jobb oldalával, és megadja a kör értékeit.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 John Crossley, Anthony W.-C. Lun. A kilenc fejezet a matematikai művészetről: Kísérő és kommentár. - Oxford University Press, 1999. - P. 176. - ISBN 978-0-19-853936-0 .
  2. ↑ 12 Van der Waerden . Az ókori civilizációk geometriája és algebrája . - Zürich, 1983. - p. 4. fejezet - ISBN 0-387-12159-5 .
  3. ↑ Roger Cooke. A matematika története. - John Wiley & Sons, 2012. - P. 63. - ISBN 978-1-118-46029-0 .
  4. ↑ Karen Rhea Nemet-Nejat. Mindennapi élet az ókori Mezopotámiában. - Greenwood Publishing Group, 1998. - P. 306. - ISBN 978-0-313-29497-6 .
  5. ↑ Roger Cooke. Klasszikus algebra: természete, eredete és felhasználása. - John Wiley & Sons, 2008. - P. 64. - ISBN 978-0-470-27797-3 .
  6. ↑ Guilbeau, 1930 kijelenti, hogy "az egyiptomiak lehetetlennek tartották a megoldást, de a görögök közelebb kerültek a megoldáshoz."
  7. ↑ 1 2 Guilbeau, 1930
  8. ↑ Thomas L. Heath. Alexandriai Diophantus: Tanulmány a görög algebra történetéből. - Martino Pub, 2009. - ISBN 978-1578987542 .
  9. ↑ Archimedes (TL Heath fordítása). Archimedes művei. - Nyomtatási vázlat, 2007. - ISBN 978-1603860512 .
  10. ↑ Yoshio Mikami. A matematika fejlődése Kínában és Japánban. — 2. kiadás. - New York: Chelsea Publishing Co., 1974. - S. 53-56. - ISBN 978-0-8284-0149-4 .
  11. ↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 225.
  12. ↑ Omar Khayyam munkája, Scripta Math. 26 (1963), 323-337
  13. ↑ O'Connor és Robertson Omar Khayyam, MacTutor Matematikatörténeti archívuma, St Andrews Egyetem, olvasható. Ez a probléma vezette Khayyamot az x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000 köbös egyenlethez , és talált egy pozitív gyökeret ez az egyenlet egy egyenlő szárú hiperbola és egy kör metszéspontjaként. Ezután trigonometrikus táblázatok interpolálásával hozzávetőleges numerikus megoldást találtunk .
  14. ↑ JJ O'Connor és E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam archiválva 2012. március 1-én a Wayback Machine -nél , MacTutor Archives for the History of Mathematics kijelenti: „Úgy tűnik, Khayyam volt az első, aki a köbök általános elméletére gondolt. egyenletek."
  15. ↑ Guilbeau, 1930 kijelenti: "Omar Al Hay Khorasan 1079 körül sokat tett az algebrai egyenletek metszőkúpszelvények segítségével történő megoldásának módszereinek fejlesztéséért."
  16. ↑ Datta, Singh. A hindu matematika története. - Delhi, India, 2004. - S. 76,. — ISBN 81-86050-86-8 . 76. o., Felsőfokú egyenlet; Bharattya Kala Prakashan
  17. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor Matematikatörténeti archívum, St Andrews Egyetem.
  18. ↑ JL Berggren. Innováció és hagyomány Sharaf al-Din al-Tusi Muadalatjában // Journal of the American Oriental Society. - 1990. - 1. évf. 110. - Kiadás. 2 . - P. 304-309. - doi : 10.2307/604533 .
  19. ↑ RN Knott és a Plus Team. A Fibonacci élete és számai // Plus Magazin. — 2013.
  20. ↑ Andronov I. K. Valós és komplex számok matematikája. - Felvilágosodás, 1975. - S. 91-92. — 158 p.
  21. ↑ Victor Katz. A matematika története . - Boston: Addison Wesley, 2004. -  220. o . — ISBN 9780321016188 .
  22. ↑ RWD Nickalls. Viète, Descartes és a köbös egyenlet // Matematikai Közlöny. - 2006. július - T. 90 . - P. 203-208.
  23. ↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematika kézikönyve. - Szerk. 7., sztereotip. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1967. - 139. o.

Irodalom

Linkek

 Algebrai egyenletek