Euklideszi geometria

Az euklideszi geometria (vagy elemi geometria ) egy axiómarendszeren alapuló geometriai elmélet , amelyet először Euklidesz Elemei ( Kr. e. 3. század ) dolgozott fel .

Alapvető információk

Az elemi geometria  olyan geometria, amelyet főként egy eltolási csoport ( izometria ) és egy hasonlósági csoport határoz meg . Az elemi geometria tartalmát azonban nem merítik ki a jelzett transzformációk. Az elemi geometriához tartozik még az inverziós transzformáció, a gömbgeometria kérdései , a geometriai konstrukciók elemei , a geometriai mennyiségek mérésének elmélete és egyéb kérdések.

Az elemi geometriát gyakran euklideszi geometriának nevezik , mivel eredeti és szisztematikus bemutatása, bár nem elég szigorú, az Euklidész Elemekben volt . Az elemi geometria első szigorú axiomatikáját Hilbert adta . A középiskolában elemi geometriát tanulnak.

Axiomatika

Az elemi geometria axiomatizálásának feladata egy axiómarendszer felépítésében áll úgy , hogy az euklideszi geometria összes állítása ezekből az axiómákból következik, pusztán logikai levezetéssel, rajzok megjelenítése nélkül.

Eukleidész "elemei"-ben egy axiómarendszert adtak meg , amelyen az összes euklideszi geometria alapul:

1. Egy egyenes vonal bármely pontból bármely pontba húzható.
2. A behatárolt vonal egy egyenes mentén folyamatosan meghosszabbítható.
3. Egy kör tetszőleges sugarú középpontból leírható.
4. Minden derékszög egyenlő egymással.
5. Ha egy két egyenest metsző egyenes két derékszögnél kisebb belső egyoldalú szögeket alkot, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög.

Ez a rendszer elegendő volt ahhoz, hogy az egyik matematikus megértse a másikat, de a bizonyításokban implicit módon más, intuitívan nyilvánvaló állításokat is használtak, különösen az úgynevezett Pasch-tételt , amely nem vezethető le Eukleidész posztulátumaiból.

1899 -ben Hilbert javasolta az euklideszi geometria első kellően szigorú axiomatikáját . Gilbert előtt az euklideszi axiomatika javítására Pasch , Schur , Peano , Veronese tett kísérleteket , de Hilbert megközelítése a fogalomválasztásban tanúsított minden konzervativizmusa ellenére sikeresebbnek bizonyult.

Vannak más modern axiomatika is, a leghíresebbek:

• Alekszandrov axiomatikája ;
• Birkhoff axiomatikája , amely mindössze 4 axiómát tartalmaz, de a valós számokat kész fogalomként használja;
• Tarski axiomatikája .

Jelölési rendszerek

Számos versengő jelölési rendszer létezik.

• A pontokat általában latin nagybetűkkel jelölik .
• Az egyenes vonalakat általában kisbetűs latin betűkkel jelölik .
• A és pontok közötti távolságot általában vagy jelöli .
• A és pontok közötti szakaszt általában vagy jelöli .
• A pontból egy ponton keresztül érkező sugarat általában vagy jelöli .
• Az és a pontokon áthaladó vonalat általában vagy jelöli .
• Csúcsokkal rendelkező háromszög , és általában vagy jelöli .
• Az ábra területét általában vagy jelöli .
• A sugarak által alkotott szöget általában jelöli .
• A szög nagyságát általában jelöljük .
  • Ebben az esetben a rövidség kedvéért a szög nagyságát gyakran kis görög betűvel jelölik

Lásd még

• Axióma rendszerek
  • Alekszandrov axiomatikája
  • Birkhoff axiómái
  • Hilbert axiomatikus
• Lobacsevszkij geometriája
• Riemann geometria
• Nem euklideszi geometria
• Analitikus geometria

Jegyzetek

Irodalom

• D. Hilbert A geometria alapjai. Fordítás németből, szerkesztette A. V. Vasziljev. - L . : "Vető", 1923. - 152 p.
• Hadamard J. Elemi geometria. - 1. rész - M . : Uchpedgiz, 1948; 2. rész - M . : Uchpedgiz, 1951.
• Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : " Szovjet Enciklopédia ", 1988.
• Obukhova AI Az elemi geometria története .
• Euklideszi geometria // Nagy szovjet enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.