Birkhoff axiómái

Birkhoff axiómái négy posztulátumból álló rendszer az euklideszi geometriában. Ezek a posztulátumok olyan állításokon alapulnak, amelyek szögmérővel és vonalzóval végzett mérésekkel ellenőrizhetők .

A posztulátumok megfogalmazásakor valós számokat használunk . Ezért a Birkhoff-féle posztulátumok rendszere az euklideszi geometria modell segítségével történő bevezetéséhez hasonlít .

Történelem

Birkhoff György javaslata [1] . Birkhoff ezzel az axiómarendszerrel járult hozzá egy iskolai tankönyv megírásához. [2] Ez a rendszer befolyásolta a School Mathematics Study Group iskola számára kidolgozott axiómarendszert

Számos későbbi, a geometria alapjairól szóló könyv, a [3] , [4] és [5] könyvek a Birkhoffhoz hasonló axiomatikát használnak.

Posztulátumok

I. posztulátum: Az { A, B , …} pontok halmaza bármely egyenesen megenged egy bijekciót { a, b , … } valós számokra , így

|ba|=d(A,B)

minden A és B pontra .

II. posztulátum: Egy és csak egy ℓ egyenes van , amely két különálló P és Q pontot tartalmaz.

III. posztulátum: A bármely O pontban origó { ℓ,m, n ,…} sugarak halmaza bijekciót enged meg a valós számok modulo 2 π halmazára, így ha A és B pontok (az O -tól eltérő ) a sugarakon. ℓ és m , majd . Ráadásul, ha az m-en lévő B pont folyamatosan mozog egy p egyenes mentén , amely nem tartalmazza az O csúcsot , akkor az a m szám is folyamatosan változik. $a_{m}-a_{\ell }\equiv \angle AOB{\pmod {2\cdot \pi }}$

IV . posztulátum . Tegyük fel, hogy két háromszög , és olyanok, hogy néhány valós szám és , Akkor , és . $ABC$ $A'B'C'$ $d(A',B')=k\cdot d(A,B)$ $d(A',C')=k\cdot d(A,C)$ $k>0$ $\angle B'A'C'=\pm \angle BAC{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $d(B',C')=k\cdot d(B,C)$ $\angle A'C'B'=\pm \angle ACB{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $\angle C'B'A'=\pm \angle CBA{\pmod {2{\cdot }\pi }}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Birkhoff, George David (1932), Posztulátumok a síkgeometriához (skála és szögmérők alapján) , Annals of Mathematics 33. kötet: 329–345 , DOI 10.2307/1968336.
↑ Birkhoff, George David és Beatley, Ralph (2000), Basic Geometry (3. kiadás), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
↑ Kelly, Paul Joseph & Matthews, Gordon (1981), A nem-euklideszi, hiperbolikus sík: szerkezete és konzisztenciája , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9
↑ Martin, George E. A geometria alapjai és a nemeuklideszi sík. ISBN: 0-387-90694-0
↑ Anton Petrunin. Euklideszi sík és rokonai; minimalista bevezetés . - 2017. - ISBN 978-1974214167 .