Tarski-axiomatika (geometria)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Tarski-féle axiomatika az elemi euklideszi geometria axiómarendszere, amelyet Alfred Tarski javasolt . Figyelemre méltó, hogy elsőrendű logikával, egyenlőséggel van megfogalmazva, és nem igényel halmazelméletet .

Történelem

Alfred Tarski 1926-tól 1983-ban bekövetkezett haláláig szakaszosan dolgozott az axiomatizálásán; először 1959-ben jelent meg. [1] Tarski különösen bebizonyította, hogy axiomatikája teljes és következetes; Ezenkívül van egy algoritmus, amely lehetővé teszi, hogy megtudja, hogy bármelyik állítás igaz vagy hamis. (Ez a tétel nem mond ellent Gödel hiányossági tételének , mivel Tarski geometriai axiomatikájában nincs mód az aritmetika kifejezésére.)

Tarski és tanítványai főbb ilyen irányú munkáit egy 1983-as monográfia mutatja be. [2] A könyvben bemutatott axiomatika 10 axiómából és egy axióma sémából áll .

Axiómák

Meghatározatlan fogalmak

A Lie Between egy Bxyz hármas reláció , ami azt jelenti, hogy y x és z között van . Más szóval, hogy y egy pont az xz -en . (Ebben az esetben a végek benne vannak, vagyis ahogy az axiómákból következik, a Bxxz igaz).

A kongruencia egy wx ≡ yz tetrad reláció , ami azt jelenti, hogy a wx szegmens kongruens az yz szegmenssel; más szóval, hogy wx hossza egyenlő yz hosszával .

Axiómák

A kongruencia reflexivitása: $xy\equiv yx\,.$

Egybevágósági identitás: $xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

A kongruencia tranzitivitása : $(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

Az identitáskapcsolat a következők között található: $Bxyx\rightarrow x=y.$

Vagyis a szakasz egyetlen pontja maga a pont .

xx

x

Axiom Pasha : $(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).$

Egy konvex négyszög két átlójának egy ponton metszenie kell.

xuvy

A folytonossági axiómák sémája. Legyen és elsőrendű képletek a vagy b szabad változók nélkül . Ne legyenek szabad változók sem -ben, sem -ben . Ekkor a következő típusú kifejezések mindegyike axióma: $\phi(x)$ $\psi (y)$ $x$ $\psi (y)$ $y$ $\phi(x)$ $\exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\ minden y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

Azaz ha leírjuk az a csúcsú nyaláb két ponthalmazát, amelyek közül az első a másodiktól balra van, akkor e halmazok között van egy b pont.

\phi(x)

\psi (y)

Alsó mérethatár : $\exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

Azaz három nem kollineáris pont van. Ezen axióma nélkül az elméletek modellezhetők egydimenziós valós egyenessel, egyetlen ponttal vagy akár üres halmazzal .

Felső mérethatár : $(xu\equiv xv\land yu\equiv yv\land zu\equiv zv\land u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

Ez azt jelenti, hogy bármely három pont két különböző ponttól egyenlő távolságra van egy egyenesen. Ezen axióma nélkül az elmélet többdimenziós (beleértve a háromdimenziós ) térben is modellezhető.

Axióma az ötödik szegmensről: ${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

Vagyis ha a jobb oldali két rajzon 4 jelölt pár szegmensei egyenlőek, akkor az ötödik pár szegmensei egyenlőek egymással.

Szegmens felépítése: $\exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

Ez azt jelenti, hogy bármely pontról, bármilyen irányban elhalaszthatja egy adott hosszúságú szakaszt.

Jegyzetek

↑ Tarski, Alfred (1959), Mi az elemi geometria?, Leon Henkin, Patrick Suppes és Alfred Tarski, Az axiomatikus módszer. Különös tekintettel a geometriára és a fizikára. Az egyetemen tartott nemzetközi szimpózium anyaga. Kalifornia, Berkeley, dec. 26, 1957-jan. 4, 1958 , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, p. 16–29 .
↑ Schwabhäuser, W., Szmielew, W., Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden in der Geometrie . Springer-Verlag.

Linkek

Beklemisev L. D. Elemi geometria a logika szemszögéből. a "Modern Matematika" Nyári Iskola előadásai, 2014. július 20-23.