Theta függvény

A théta függvények több összetett változó speciális függvényei . Számos területen fontos szerepet játszanak, beleértve az Abel-féle változatok elméletét , a modulustereket és a másodfokú formákat . A szolitonok elméletében is alkalmazzák őket . A Grassmann algebrára történő általánosítás után a függvények a kvantumtérelméletben is megjelennek [1] .

A théta függvények leggyakoribb fajtái az elliptikus függvények elméletében találhatók . Az egyik komplex változó (általában z -vel jelölve ) tekintetében a théta függvénynek megvan az a tulajdonsága, hogy összeadja a hozzá tartozó elliptikus függvények periódusait, így kvázi-periodikussá . Az absztrakt elméletben ezt az csepp vonalköteg -feltételéből kapjuk .

Jacobi théta függvény

Számos kapcsolódó függvény létezik, amelyeket Jacobi-théta-függvényeknek neveznek, és sok különböző és inkompatibilis jelölési rendszer. Az egyik Jacobi-théta-függvény ( Carl Gustav Jacobi nevéhez fűződik) két z és , összetett változóból definiált függvény , ahol z tetszőleges komplex szám lehet , és a sík felső felére korlátozódik , ami azt jelenti, hogy a szám pozitív. képzeletbeli rész. A függvényt a képlet adja meg $\tau$ $\tau$

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}} \cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}

hol és . A függvény Jacobi alak . Ha javítjuk , akkor a függvény Fourier-sorozattá válik z 1. periódusú periodikus teljes függvényére . Ebben az esetben a théta függvény kielégíti az azonosságot $q=\exp(\pi {i}\tau )$ $\eta =\exp(2\pi {i}z)$ $\tau$

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

A függvény a kváziperiódus figyelembevételével nagyon szabályosan viselkedik , és kielégíti a funkcionális egyenletet $\tau$

\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),

ahol a és b egész számok.

Segítő funkciók

A fent definiált Jacobi théta függvényt néha három további théta függvénnyel együtt tekintik, ebben az esetben egy további 0 indexszel írják fel:

\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )

A további (félperiodikus) függvényeket a képletek határozzák meg

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2));\tau \right)\\[ 3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{ \tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4} }\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{ \tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{igazított}}

Ezeket a jelöléseket Riemann és Mumford követte . Jacobi eredeti megfogalmazása a nome kifejezés volt , nem . A Jacobi-jelölésben a θ -függvények a következőképpen vannak felírva: ${\displaystyle q=e^{i{\pi }\tau ))$ $\tau$

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&= \vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z; q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{igazított}}

A Jacobi-théta-függvény fenti definíciói messze nem az egyetlenek. Lásd a Jacobi Theta függvények (a jelölés variációi) című cikket a további megbeszélésekért.

Ha betesszük a fenti théta függvényeket, akkor négy, csak a felső félsíktól függő és attól definiált függvényt kapunk (amit néha théta-konstansnak is neveznek.) Ezek segítségével különböző moduláris formákat definiálhatunk , illetve néhány görbét paraméterezhetünk. Különösen a Jacobi identitás $z=0$ $\tau$

\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {négy}

egy negyedik fokú Fermat-görbe .

Jacobi identitások

A Jacobi identitások leírják, hogy a théta függvényeket hogyan alakítja át a moduláris csoport , amelyet a leképezések és a leképezések generálnak . Az első transzformáció azonosságait könnyű megtalálni, mivel ha egyet adunk a k kitevőhöz , akkor az ugyanazt a hatást eredményezi, mint egyet hozzáadni z-hez ( mod 2 ). A második esetben feltesszük $\tau \mapsto \tau +1$ $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}$ $\tau$ ${\tfrac {1}{2))$ $n\equiv n^{2}$

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Akkor

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alfa \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ igazítva}}

A théta nome-ként funkcionál

Ahelyett, hogy a théta függvényeket a z és a kifejezésekkel fejeznénk ki, a w argumentum és az q névszó segítségével fejezhetjük ki , ahol , és . Ebben az esetben a funkciók válnak $\tau$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^ {n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{ 2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }( w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1 }{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{igazított}}

Látjuk, hogy a théta függvények definiálhatók w és q segítségével anélkül, hogy az exponenciális függvényre közvetlenül hivatkoznánk. A képletek ezért használhatók théta-függvények meghatározására más mezők felett, ahol az exponenciális függvény nem mindenhol van definiálva, például a p -adikus számok mezője .

Művek ábrázolásai

A Jacobi hármasszorzat ( a Macdonald-azonosságok speciális esete ) azt mondja nekünk , hogy w és q komplex számokra és és $|q|<1$ $w\neq 0$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\ left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}} .

Ez elemi eszközökkel igazolható, mint például Hardy és Wright Bevezetés a számelméletbe című művében .

Ha a théta függvényt mennyiségekkel és , akkor fejezzük ki ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Ezért kapunk egy szorzatképletet a forma théta függvényéhez

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}) (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

w és q szempontjából :

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left( -{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right) _{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{igazított))

ahol a q -Pochhammer szimbólum és a q -theta függvény . Ha a zárójeleket kinyitjuk, a Jacobi tripla termék alakját veszi fel ${\displaystyle (~~;~~)_{\infty ))$ $\theta (~~;~~)$

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2) }\jobbra)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

ami át is írható mint

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi) z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\jobbra).

Ez a képlet igaz az általános esetre, de különösen érdekes a valós z esetében . Hasonló termékképletek további théta függvényekhez

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\ left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\jobb),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)& =2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\jobbra),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2) \pi z)q^{2m}+q^{4m}\jobbra).\end{igazított}}

Egész számok ábrázolása

A Jacobi théta függvényeknek a következő integrál reprezentációi vannak:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u ^{2)){\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)))}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z; \tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin (\pi u))))\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i \pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1} {4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{igazított}}

Explicit értékek

Lásd Yi (2004) [2] .

{\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})= \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&= {\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{ -2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3 }{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18 {\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-6 \pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3 }}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{ 2)))){6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left ({\frac {3}{4}}\jobbra  )}}}\end{igazított}}

Néhány azonosság a sorozattal

A sorozatok következő két azonosságát Mező István [3] bizonyította :

{\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i))\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _ {4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\jobbra).\end{igazított}}

Ezek az összefüggések minden 0 < q < 1 -re érvényesek . A q értékeket rögzítve a következő paramétermentes összegeket kapjuk

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi )))){2))}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\jobb),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)))&=\ összeg _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{igazított}}}

Jacobi théta függvények nullái

A Jacobi-théta-függvények minden nullája egyszerű nulla, és a következőképpen definiálhatók:

{\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ vége{igazított}}

ahol m , n tetszőleges egész számok.

Reláció a Riemann zéta függvényhez

Hányados

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

Riemann -t használta a Riemann-zéta -függvény funkcionális egyenletének bizonyítására a Mellin-transzformáción keresztül

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2))\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2)){\frac {\ matematika {d} t}{t}}

és kimutatható, hogy a transzformáció invariáns s 1 − s változása alatt . A z ≠ 0 megfelelő integrálját a Hurwitz-zéta-függvényről szóló cikk tartalmazza .

Csatlakozás a Weierstrass elliptikus függvényhez

A théta-függvényeket Jacobi használta (a számítások egyszerűsítésére adaptált formában) elliptikus függvényeinek a fenti négy théta-függvény részeiként való megszerkesztésére, és felhasználhatta a Weierstrass-elliptikus függvényeket is, mivel

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c

ahol a második deriváltot z - re vesszük , és a c állandót úgy definiáljuk, hogy a ℘( z ) függvény Laurent-sorának a z = 0 pontban nulla állandó tagja legyen.

Kapcsolat a q -gamma függvénnyel

A negyedik théta-függvény - majd a többi - a [4] összefüggés révén elválaszthatatlanul kapcsolódik a Jackson q -gamma függvényhez ] .

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x))){\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\jobb) }}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\jobbra).

Kapcsolat a Dedekind eta függvényével

Legyen a Dedekind eta függvény , és legyen a théta függvény argumentuma nom . Akkor $\eta (\tau )$ ${\displaystyle q=e^{\pi {i}\tau ))$

{\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )))={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1))),\\[3pt]\theta _ {4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right )}{\eta (\tau )}},\end{igazított}}

és

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\ tau).

Lásd még a Weber moduláris funkciókról szóló cikket .

Elliptikus modul

A J-invariáns egyenlő

{\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2)){\vartheta _{00}(0,\tau )^{2))))

a járulékos elliptikus modulus pedig az

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}

A termikus egyenlet megoldása

A Jacobi-théta-függvény az egydimenziós hőegyenlet alapvető megoldása térbeli periodikus peremfeltételekkel [5] . Valót véve , valós és pozitív t -vel írhatunk $z=x$ $\tau=it$

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

mi oldja meg a hőegyenletet

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta(x,it).

Ez a théta megoldás 1-periodikus x -ben, és az eloszlások értelmében periodikus delta függvényre vagy Dirac-fésűre hajlamos. $t\to 0$

\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)

A hőegyenlet térbeli periodikus kezdeti értékeivel kapcsolatos probléma általános megoldásait úgy kaphatjuk meg, hogy a kiindulási adatokat összevonjuk a théta függvénnyel. $t = 0$

Kapcsolat a Heisenberg csoporttal

A Jacobi théta függvény invariáns a Heisenberg-csoport diszkrét alcsoportjának hatására . Ezt az invarianciát mutatja be a Heisenberg-csoport théta-reprezentációjáról szóló cikk .

Általánosítások

Ha F másodfokú alak n változóban , akkor az F - hez tartozó théta függvény az

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)))

ℤ n egész számok rácsa feletti összeggel . Ez a théta függvény egy moduláris forma a moduláris csoport súlyával (megfelelően meghatározott alcsoporton) . Fourier-soros bővítésben ${\tfrac {n}{2))$

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

a számokat alakábrázolási számoknak nevezzük . $R_{F}(k)$

Ramanujan théta függvénye

Riemann théta függvény

Hadd

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T)) \,,\,\operátornév {Im} F>0\right\}

szimmetrikus négyzetmátrixok halmaza , amelyek képzeletbeli része pozitív határozott . ℍ n a felső Siegel- féle féltér , és a felső félsík magasabb dimenziós analógja . A moduláris csoport n - dimenziós analógja az Sp(2 n , ℤ ) szimplektikus csoport . számára . A kongruens alcsoportok n - dimenziós analógjának szerepe az $n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ nagy \}}.

Ekkor, ha adott , a Riemann théta függvényt a következőképpen definiáljuk $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{ 2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\jobbra){\bigg )}.

Itt van egy n - dimenziós komplex vektor, a T felső index pedig transzponálást jelent . A Jacobi théta függvény ekkor egy speciális eset és -vel , ahol a felső félsík . $z\in \mathbb {C} _{n}$ $n=1$ $\tau \in \mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$

A Riemann théta függvény abszolút és egyenletesen konvergál kompakt részhalmazokon . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n))$

Egy függvény funkcionális egyenlete

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )

ami érvényes minden vektorra és minden }} és . $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ $z \in \mathbb{C}^n$ $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

Poincare sorozat

A Poincaré sorozat általánosítja a théta sorozatot automorf formákra , ahogyan tetszőleges fuksziánus csoportokra alkalmazzák .

Jegyzetek

↑ Tyurin, 2003 .
↑ Yi, 2004 , p. 381–400.
↑ Mező, 2013 , p. 2401–2410.
↑ Mező, 2012 , p. 692–704.
↑ Ohyama, 1995 , p. 431–450.

Irodalom

Yousuke Ohyama. A théta-függvények differenciális kapcsolatai // Osaka Journal of Mathematics. - 1995. - T. 32 , sz. 2 . — S. 431–450 . — ISSN 0030-6126 .
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. mp. 16.27kk. // Matematikai függvények kézikönyve . - New York: Dover Publications, 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Akhiezer NI Az elliptikus függvények elméletének elemei. - Moszkva: "Nauka" Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1970. - (Mérnöki Fizikai és Matematikai Könyvtár). - ISBN 0-8218-4532-2 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. ch. 6 // Riemann felületek. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 . . (vita a Riemann théta függvényről)
Hardy GH , Wright EM Bevezetés a számelméletbe. — 4. – Oxford: Clarendon Press, 1959.
David Mumford . Tata Lectures on Theta I. - Boston: Birkhauser, 1983. - ISBN 3-7643-3109-7 .
James Pierpont. Egy összetett változó függvényei. – New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta funkciók Riemann felületeken történő alkalmazásokkal. - Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. - ISBN 0-683-07196-3 .
William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WL Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0521192255 ,.
Whittaker ET, Watson GN ch. 21 // Modern elemzési tanfolyam. — 4. - Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (A Jacobi θ -függvények története)
Jinhee Yi. Theta-függvény azonosságok és a théta-függvény explicit képletei és alkalmazásaik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2004. - T. 292 . — S. 381–400 . - doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
Mező István. A q -Raabe formula és a negyedik Jacobi théta függvény integrálja // Journal of Number Theory. - 2012. - T. 133 , sz. 2 . – S. 692–704 . - doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 .
Mező István. Duplikációs képletek Jacobi théta függvényekkel és Gosper q -trigonometrikus függvényeivel // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2013. - T. 141 , sz. 7 . — S. 2401–2410 . - doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 .

Olvasás további olvasáshoz

Theta függvények, Jacobi elliptikus függvények // Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I. V. - Soviet Encyclopedia, 1985. - V. 5. - (Enciklopédia, szótárak, kézikönyvek).
Prasolov VV, Solovjov Yu. P. Algebrai egyenletek és théta függvények. — M. : MK NMU, 1994.

Hershel M. Farkas. A théta függvények a komplex elemzésben és a számelméletben // Felmérések a számelméletben / Krishnaswami Alladi. - Springer-Verlag , 2008. - T. 17. - S. 57–87. — (Matematika fejlesztései). - ISBN 978-0-387-78509-7 .
Bruno Schoeneberg. IX. Theta sorozat // Elliptikus moduláris funkciók. - Springer-Verlag , 1974. - T. 203. - S. 203-226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X .
Tyurin AN Kvantálás, klasszikus és kvantumtérelmélet és théta függvények. - M. , 2003.

Linkek

Moiseev Igor. Elliptikus függvények Matlab és Octave számára . (határozatlan)