Tripla Jacobi termék

A Jacobi hármasszorzata egy matematikai azonosság:

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\ left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2 }}y^{2n},

x és y komplex számokhoz és -vel . $|x|<1$ $y\neq 0$

Az identitást Carl Gustav Jacob Jacobi [1] javasolta a Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarumban (Új alapelvek az elliptikus függvények elméletében).

A Jacobi hármas szorzatazonosság a Macdonald-azonosság egy A 1 típusú rendszer affin gyökereihez, és a Weyl-képlet a megfelelő affin Kac-Moody algebra [en] nevezőihez .

Tulajdonságok

Jacobi bizonyítása az Euler -féle ötszögű számtételen alapul , amely maga is gyakori esete a Jacobi-hármas szorzatazonosságnak.

Hagyjuk és . Akkor van $x=q{\sqrt {q))$ $y^{2}=-{\sqrt {q))$

\phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2)).

A Jacobi tripla szorzat lehetővé teszi a Jacobi théta függvény végtelen szorzatként történő átírását is:

Hagyjuk és ${\displaystyle x=e^{i\pi \tau ))$ $y=e^{i\pi z}.$

Ezután a Jacobi théta függvény

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}

formában átírható

\sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2)).

A Jacobi tripla termékidentitás használatával a théta függvényt írhatjuk fel szorzatként

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\ bal[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\jobbra]\left[1+e^{(2m- 1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\jobbra].

A Jacobi tripla termék kifejezésére számos különböző jelölést használnak. Rövid formát ölt, ha Pochhammer q -szimbólumaival fejezzük ki :

\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z));q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },

hol van a végtelen q -Pochhammer szimbólum. ${\displaystyle (a;q)_{\infty ))$

A képlet különösen elegáns formát ölt, ha a Ramanujan theta függvényben fejezzük ki . Átírható rá mint $|ab|<1$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)} {2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.

Bizonyítás

Az elemzési esethez lásd az Apostol könyvét [2] , amelynek első kiadása 1976-ban jelent meg. Lásd még az alábbi linket a fizikusok által ösztönzött bizonyítékért.

Jegyzetek

↑ Jacobi, 1829 .
↑ Apostol, 1976 , p. 14.6. tétel.

Irodalom

Andrews GE Jacobi hármas termékazonosságának egyszerű bizonyítéka // Proc. amer. Math. Soc.. - American Mathematical Society , 1965. - V. 16 . — ISSN 0002-9939 .
Tom M. Apostol. 14. fejezet, 14.6. tétel // Bevezetés az analitikus számelméletbe. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - (Matematika alapképzési szövegei). — ISBN 978-0-387-90163-3 .
Peter J. Cameron. Kombinatorika: témák, technikák, algoritmusok . - Cambridge University Press , 1994. - ISBN 0-521-45761-0 .
Jacobi CGJ Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum . — Újranyomta a Cambridge University Press 2012, nyelv: latin. - Königsberg: Borntraeger, 1829. - ISBN 978-1-108-05200-9 .
Carlitz L. Megjegyzés a Jacobi-théta-formulához // Bull. amer. Math. Soc.. - American Mathematical Society , 1962. - V. 68 , No. 6 . - S. 591-592. .
Wright EM Jacobi azonosságának felsoroló bizonyítéka // Journl of the London Mathematical Society. - London Mathematical Society , 1965. - T. s1-40 , no. 1 . - S. 55-57 .

Linkek

Az azonosság rövid kombinatorikus bizonyítása , fizikusok ösztönzésére.