Ramanudzsán théta funkciója

A Ramanujan théta függvény általánosítja a Jacobi théta függvényeket anélkül, hogy megsemmisítené alapvető tulajdonságaikat. A Jacobi tripla termék különösen elegáns formát ölt, ha a Ramanujan théta funkcióval írják. A funkció a Srinivasa Ramanujan Iyengora nevet viseli .

Definíció

A Ramanujan theta függvény a következőképpen van definiálva

f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2 }

mert | ab | < 1. A Jacobi hármas termékazonosság ekkor formát ölt

f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.

Itt a kifejezés a Pochhammer q szimbólumot jelenti . Az ebből következő identitások ${\displaystyle (a;q)_{n))$

f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={(-q;q^{2})_{\infty }^{2}(q^{2};q^{2})_{\infty ))

f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={(q^{2};q^ {2})_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}

{\displaystyle f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2 }=(q;q)_{\infty ))

Az utolsó azonosság az Euler-függvény , amely szorosan kapcsolódik a Dedekind eta függvényhez . A Jacobi théta függvény a Ramanujan theta függvény segítségével írható fel:

\vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})

Alkalmazás a húrelméletre

A Ramanujan theta függvény a kritikus dimenziók meghatározására szolgál a bozonikus húrelméletben , a szuperhúrelméletben és az M-elméletben .

Jegyzetek

Irodalom

Bailey WN általánosított hipergeometriai sorozat. - Cambridge: Cambridge University Press, 1935. - V. 32. - (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics).
Alap hipergeometrikus sorozat. — 2. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - V. 96. - (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-83357-4 .
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Ramanujan-függvény , Matematikai enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Michio Kaku. Hipertér: Tudományos odüsszea párhuzamos univerzumok, időgörbék és tizedik dimenzión keresztül. - Oxford: Oxford University Press, 1994. - ISBN 0-19-286189-1 .
Weisstein, Eric W. Ramanujan Theta Functions (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .